高中数学学霸错题本-2018年安庆市高中数学竞赛
第二章 数列
一、选择题
1.设
S
n
是等差数
列{
a
n
}的前
n
项和,若
S
S
3
1
=,则
6
=( ).
S
12
S
6
3
1
D.
9
311
A. B.
C.
1038
2.数列{
a
n
}是各项均为正数的等比数列,{<
br>b
n
}是等差数列,且
a
6
=
b
7
,则有( ).
A.
a
3
+
a
9
<b
4
+
b
10
C.
a
3
+
a
9
≠
b
4
+
b
10
B.
a
3
+
a
9
≥
b
4
+
b
10
D.
a
3
+
a
9
与
b
4+
b
10
的大小不确定
3.在等差数列{
a
n
}中,若
a
1
003
+
a
1 004
+
a
1
005
+
a
1 006
=18,则该数列的前2 008项
的和为(
).
A.18 072
048
4.△
ABC
中,
a
,
b
,
c
分别为∠
A
,∠
B
,∠
C
的对边,如果
a
,
b
,
c
成等差数列,
∠
B
=30°,△
ABC
的面积为
A.
1?3
2
B.3 012 C.9 036 D.12
3
,那么
b
=( ).
2
C.
2?3
2
B.1+
3
D.2+
3
5.过圆
x
2
+
y
2
=10
x
内一点(5,3)有
k
条弦的长度组成等差数列,且最小弦长为数
列
11
?
的首项
a
1
,最大弦长为数列的末项
a<
br>k
,若公差
d
∈
?
,
?
,则
k
的取值不可能是(
).
?
32
??
A.4 B.5 C.6 D.7 6.已知等差数列{
a
n
}中,
a
7
+
a9
=16,
a
4
=1,则
a
12
的值是(
).
A.15 B.30 C.31 D.64
7.在等差数列{a
n
}中,3(
a
2
+
a
6
)+2(
a
5
+
a
10
+
a
15
)=24
,则此数列前13项之和为
( ).
A.26 B.13 C.52
D.156
8.等差数列{
a
n
}中,
a
1
+<
br>a
2
+
a
3
=-24,
a
18
+<
br>a
19
+
a
20
=78,则此数列前20项和等
于(
).
A.160 B.180 C.200 D.220
9.在等比数列{
a
n
}中,
a
1
=2,前
n<
br>项和为
S
n
,若数列{
a
n
+1}也是等比数列,则
S
n
等于( ).
A.2
n
+1
-2
B.3
n
C.2
n
D.3
n
-1
10.已知{
a
n
}是等比数列,
a
2
=2,
a
5
=
A.16(1-4
-
n
)
C.
1
,则
a
1
a
2
+
a
2
a
3
+…+a
n
a
n
+1
=( ).
4
B.16(1-2
-
n
)
D.
32
(1-4
-
n
)
3
32
(1-2
-
n
)
3
二、填空题
11.设等比数列{
a
n
}的公比为
q
,前
n项和为
S
n
,若
S
n
+1
,
S
n
,
S
n
+2
成等差数列,则
q
的值为
.
12.设{
a
n
}是公比为
q
的等比数列,
S
n
是它的前
n
项和,若{
S
n
}是等差数列,则<
br>q
=_____.
2
n?1
(n为正奇数)
13.已知数列{
a
n
}中,
a
n
=
则
a
9
=
(用数字作答),
(
2n-1
n为正偶数)
设数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,则
S
9
=
(用数字作答).
14.已知等比数列{
a
n
}的前
10项和为32,前20项和为56,则它的前30项和为 .
15.在等比数列{a
n
}中,若
a
1
+
a
2
+
a
3
=8,
a
4
+
a
5
+
a6
=-4,则
a
13
+
a
14
+
a<
br>15
= ,该数列的前15项的和
S
15
=
.
16.等比数列{
a
n
}的公比
q
>0,已知a
2
=1,
a
n
+2
+
a
n
+1
=6
a
n
,则{
a
n
}的前4项和
S
4
= .
三、解答题
17.设数列{a
n
}是公差不为零的等差数列,
S
n
是数列{
an
}的前
n
项和,且
S
1
2
=9
S<
br>2
,
S
4
=4
S
2
,求数列{
a<
br>n
}的通项公式.
18.设{
a
n
}是一个公差为
d
(
d≠0)的等差数列,它的前10项和
S
10
=110且
a
1,
a
2
,
a
4
成等比数列.
(1)证明
a
1
=
d
;
(2)求公差
d
的值和数列{
a
n
}的通项公式.
19.在等差数列{
a
n}中,公差
d
≠0,
a
1
,
a
2
,<
br>a
4
成等比数列.已知数列
a
1
,
a
3,
a
k
1
,
a
k
2
,…,
a
k
n
,…也成等比数列,求数列{
k
n
}的通项
k
n
.
20.在数列{
a
n
}中,
S
n
+1
=4
a
n
+2,
a
1
=1.
(1)设
b
n
=
a<
br>n
+1
-2
a
n
,求证数列{
b
n
}是等比数列;
(2)设
c
n
=
a
n
,求证数列
{
c
n
}是等差数列;
n
2
(3)求数列{
a<
br>n
}的通项公式及前
n
项和的公式.
参考答案
一、选择题
1.A
解析:由等差数列的求和公
式可得
1
S
3
3a+3d
=
1
=,可得
a
1
=2
d
且
d
≠0
3
6a
1<
br>+15d
S
6
所以
3
S
6
6a
1<
br>+15d
==
27d
=.
S
12
12a
1
+66d
90d
10
2.B
解析:解法1:
设等比数列
{
a
n
}的公比为
q
,等差数列{
b
n
}
的公差为
d
,由
a
6
=
b
7
,即
a
1
q
5
=
b
7
.
∵
b
4
+
b
10
=2
b
7
,
∴ (
a
3
+
a
9
)-(
b
4<
br>+
b
10
)=(
a
1
q
2
+
a
1
q
8
)-2
b
7
=(
a
1
q
2
+
a
1
q
8
)-2
a
1
q
5
=
a
1
q
2
(
q
6
-2
q
3
+1)
=
a
1
q
2
(
q
3
-1)
2
≥0.
∴
a
3
+
a
9
≥
b
4
+
b
10
.
解法2:
2
∵
a
3·
a
9
=
a
6
,
b
4
+b
10
=2
b
7
,
∴
a
3
+
a
9
-(
b
4
+
b
10
)=
a
3
+
a
9
-2
b
7
.又
a
3
+
a
9
-2
a
3
?a
9<
br>=(
a
3
-
a
9
)
2
≥0,
∴
a
3
+
a
9
≥2
a
3
·
a
9
.
∵
a
3
+
a
9
-2<
br>b
7
≥2
a
3
?a
9
-2
b
7
=2
a
6
-2
a
6
=0,
∴ a
3
+
a
9
≥
b
4
+
b10
.
3.C
解析:∵
a
1
+
a
2 008
=
a
1
003
+
a
1 006
=
a
1
004
+
a
1 005
,
而
a
1
003
+
a
1 004
+
a
1
005
+
a
1
006
=18,
a
1
+
a
2 008
=9,
∴
S
2 008
=
4.B
1
(
a
1
+
a
2 008
)×2
008=9 036,故选C.
2
解析:∵
a
,
b
,
c
成等差数列,∴
2
b
=
a
+c,
又
S
△
ABC
=
13
ac
sin
30°=,∴
ac
=6,
22
∴ 4
b
2
=<
br>a
2
+
c
2
+12,
a
2
+
c
2
=4
b
2
-12,
又
b
2
=
a
2
+
c
2
-2
ac
cos
30°=4
b
2
-12-6
3
,
∴ 3
b
2
=12+6
3
,
b
2
=4+2
3
=(
1+
3
)
2
.
∴
b
=
3
+1.
5.A
解析:题中所给圆
是以(5,0)为圆心,5为半径的圆,则可求过(5,3)的最小弦长为8,
最大弦长为10,
∴
a
k
-
a
1
=2,即(
k
-
1)
d
=2,
k
=
∴
k
≠4.
6.A
解析:∵
a
7
+
a
9
=
a
4<
br>+
a
12
=16,
a
4
=1,∴
a
12
=15.
7.A
解析:∵
a
2
+
a
6
=2
a
4
,
a
5
+a
10
+
a
15
=3
a
10
,
∴ 6
a
4
+6
a
10
=24,即
a4
+
a
10
=4,
∴
S
13
=
8.B
?
a
1
+a
2
+a
3
=-24
解析:∵
?
a+a+a=78
?
181
9
20
2
+1∈[5,7],
d
13(a
1
+a
13
)13(a
4
+a
10)
==26.
22
∴ (
a
1
+
a
20
)+(
a
2
+
a
19
)+(
a
3
+
a
18
)=54,
即3(
a
1
+
a
20
)=54,
∴
a
1
+
a
20
=18,
∴
S
20
=
9.C
解析: 因数列{
a
n
}为等比数列,则
a
n
=2
q
n
-1
.因数列{<
br>a
n
+1}也是等比数列,
则(
a
n
+1
+1)
2
=(
a
n
+1)(
a
n
+2+1)
?
a
n+1
+2
a
n
+1
=<
br>a
n
a
n
+2
+
a
n
+
a
n
+2
2
20(a
1
+a
20
)
=180.
2
?
a
n
+
a
n
+2
=2
a
n
+1
?
a
n
(1+
q
2
-2
q
)=0
?
(
q
-1)
2
=0
?
q
=1.
由
a
1
=2得
a
n
=2,所以
S
n
=2
n
.
10.C
解析:依题意
a
2
=
a
1
q
=2,
a
5
=a
1
q
4
=
1
1
,两式相除可求得
q
=,
a
1
=4,又因为数
42
列{
a
n<
br>}是等比数列,所以{
a
n
·
a
n
+1
}是
以
a
1
a
2
为首项,
q
2
为公比的等比数
列,根据等比数列
2n
32
前
n
项和公式可得
a
1
a
2
(1-
2
q)
=(1-4
-
n
).
3
1-q
二、填空题
11.-2.
解析
:当
q
=1时,
S
n
+1
+
S
n
+2
=(2
n
+3)
a
1
≠2
na
1=2
S
n
,∴
q
≠1.
由题意2
S
n
=
S
n
+1
+
S
n
+2
?<
br>S
n
+2
-
S
n
=
S
n
-
S
n
+1
,
即-
a
n
+1=
a
n
+2
+
a
n
+1
,
a
n
+2
=-2
a
n
+1
,故
q
=
-2.
12.1.
解析:方法一 ∵
S
n
-
S
n
-1
=
a
n
,又
S
n
为等差数列,∴
a
n
为定值.
∴
{
a
n
}为常数列,
q
=
a
n
=1. <
br>a
n?1
方法二:
a
n
为等比数列,设
a
n
=
a
1
q
n
-1
,且
S
n
为等差数列,
∴ 2
S
2
=
S
1
+
S
3
,2
a
1
q
+2
a
1
=2a
1
+
a
1
+
a
1
q
+a
1
q
2
,
q
2
-
q
=0,
q
=0(舍)
q
=1.
所以答案为1.
13.256,377.
解析:
a
9
=2
8
=256,
S
9=(
a
1
+
a
3
+
a
5
+<
br>a
7
+
a
9
)+(
a
2
+
a
4
+
a
6
+
a
8
)
=(1+
2
2
+2
4
+2
6
+2
8
)+(3+7+
11+15)
=341+36
=377.
14.74.
解析:由{<
br>a
n
}是等比数列,
S
10
=
a
1
+
a
2
+…+
a
10
,
S
20
-
S
10
=
a
11
+
a
12
+…+
a
20
=
q
10
S
10
,
S30
-
S
20
=
a
21
+
a
22
+…+
a
30
=
q
20
S
10
,即
S
10
,
S
20
-
S
10
,
S
30
-
S
20
也成等比数列,
得(
S
20
-
S
10
)
2
=
S
10(
S
30
-
S
20
),得(56-32)
2<
br>=32(
S
30
-56),
(56-32)
2
∴
S
30
=+56=74.
32
1
11
15.,.
2
2
解析:将
a
1
+
a
2
+a
3
=8,
①
②
a
4
+
a
5
+
a
6
=-4.
两式相除得
q
3
=-
1
,
2
?
?
1
?
5
?
8
?
1-
?
-
?
?
4
11
1
?
2
?
?
1
?
=,
S
=
?
??
∴ <
br>a
13
+
a
14
+
a
15
=(a
1
+
a
2
+
a
3
)
q
12
=8·
?
=.
15
-
??
22
1
2
??
1+
2
16.
15
.2
解析:由
a
n
+2
+
a
n
+1
=6
a
n
得
q
n
+1
+
q
n
=6
q
n
-1
,即
q
2
+q
-6=0,
q
>0,解得
q
=2,
1
4<
br>(1-2)
15
1
2
又
a
2
=1,所以a
1
=,
S
4
==.
2
2
1-2
三、解答题
17.解析:设等差数列{
an
}的公差为
d
,由前
n
项和的概念及已知条件得
2
a
1
=9(2
a
1
+
d
),
①
②
4
a
1
+6
d
=4(2
a
1
+
d
).
由②得
d
=2
a
1
,代入①有
a<
br>1
2
=36
a
1
,解得
a
1
=0或
a
1
=36.
将
a
1
=0舍去.
因此
a
1
=36,
d
=72,
故数列{
a
n
}的通项公式
a
n
=36+(
n
-1)·72
=72
n
-36=36(2
n
-1).
2
18.解析:(
1)证明:因
a
1
,
a
2
,
a
4
成等比数列,故
a
2
=
a
1
a
4
, 而{
a
n
}是等差数列,有
a
2
=
a
1
+
d
,
a
4
=
a
1
+3
d
,于是(
a
1
+
d
)
2
=
a
1
(
a
1
+3
d
),
即
a1
2
+2
a
1
d
+
d
2
=<
br>a
1
2
+3
a
1
d
.
d
≠0,化简得
a
1
=
d
.
(2)由条
件
S
10
=110和
S
10
=10
a
1<
br>+
10
?
9
d
,得到10
a
1
+4
5
d
=110,
2
由(1),
a
1
=
d
,代入上式得55
d
=110,故
d
=2,
a
n<
br>=
a
1
+(
n
-1)
d
=2
n.
因此,数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
=
2
n
(
n
=1,2,3,…).
2
19.解析;由题意得
a
2
=
a
1
a
4
,
即(
a
1
+
d
)
2
=
a
1
(
a
1
+3
d
),
d
(
d
-
a<
br>1
)=0,
又
d
≠0,∴
a
1
=
d
.
又
a
1
,
a
3
,
a
k
1
,
a
k
2
,…,
a
k
n
,…,成等比数列,
∴
该数列的公比为
q
=
a
3
3d
==3, ∴
a<
br>k
n
=
a
1
·3
n
+1
.
a
1
d
又
a
k
n
=
a<
br>1
+(
k
n
-1)
d
=
k
n
a
1
,
∴
k
n
=3
n
+1
为数列{
k
n
}的通项公式.
20.解析:(1)由
a
1
=1,及
S
n
+1
=4
a
n
+2, 有
a
1
+
a
2
=4
a
1
+2
,
a
2
=3
a
1
+2=5,∴
b
1
=
a
2
-2
a
1
=3.
由
S
n
+1
=4
a
n
+2 ①,
则当
n
≥2时,有
S
n
=4
a
n
-1+2. ②
②-①得
a
n
+1
=4
a
n
-4
a
n
-1
,∴
a
n
+1
-
2
a
n
=2(
a
n
-2
a
n
-1
).
又∵
b
n
=
a
n
+1
-
2
a
n
,∴
b
n
=2
b
n
-1
.∴
{
b
n
}是首项
b
1
=3,公比为2的等比数列.
∴
b
n
=3×2
n
-1
.
a
n?1
a
n
a
n?1
?2a
n
3?2<
br>n?1
3
b
n
a
n
(2)∵
c
n
=
n
,∴
c
n
+1
-c
n
=
n?1
-
n
==
n?1
==,
2
n?1
2
n?1
2
22
24
c
1
=
a
1
1
13
=,∴
{
c
n
}是以为首项,为公差的等差数列.
24
2
2
(3)由(2)可知数列
?
∴
?
a
n
?
13
是首项为,公差为的等差数列.
?
n
2
24
??
a
n
1
1
33<
br>=+(
n
-1)=
n
-,
a
n
=(3
n
-1)·2
n
-2
是数列{
a
n
}的通项公式
.
n
2
2
44
4
设
S
n
=(3
-1)·2
-1
+(3×2-1)·2
0
+…+(3
n
-1
)·2
n
-2
.
S
n
=2
S
n
-
S
n
=-(3
-1)·2
-1
-3(2
0
+2
1
+…+2
n-2
)+(3
n
-1)·2
n
-1
2
n-1
-1
=-1-3×+(3
n
-1)·2
n
-1
2-1
=-1+3+(3
n
-4)·2
n
-1
=2+(3
n
-4)·2
n
-1
.
∴ 数列{<
br>a
n
}的前
n
项和公式为
S
n
=2+(3<
br>n
-4)·2
n
-1
.