(完整)高中数学必修5数列习题及答案

第二章 数列
一、选择题
1．设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，若
S
S
3
1
＝，则
6
＝( )．
S
12
S
6
3

1
D．
9
311
A． B． C．
1038
2．数列{a
n
}是各项均为正数的等比数列，{b
n
}是等差数列，且a
6
＝b
7
，则有( )．
A．a
3
＋a
9
＜b
4
＋b
10

C．a
3
＋a
9
≠b
4
＋b
10










B．a
3
＋a
9
≥b
4
＋b
10

D．a
3
＋a
9
与b
4
＋b
10
的大小不确定
3．在等差数列{a
n
}中，若a
1 003
＋a
1 004
＋a
1 005
＋a
1 006
＝18，则该数列的前2 008项的和
为( )．
A．18 072 B．3 012 C．9 036 D．12 048
4．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，
∠B＝30°，△ABC的面积为
A．
1?3

2
3
，那么b＝( )．
2
C．
2?3

2
B．1＋
3
D．2＋
3

5．过圆x
2
＋y
2
＝10x内一点 (5，3)有
k
条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列
11
?
的首项a
1
，最大弦长为数列的末项a
k
，若公差d∈
?
，


?
，则
k
的取值不可能是( )．
?
32
??
A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知等差数列{a
n
}中，a
7
＋a
9
＝16，a
4
＝1，则a
12
的值是( )．
A．15 B．30 C．31 D．64
7．在等差数列{a
n
}中，3(a< br>2
＋a
6
)＋2(a
5
＋a
10
＋a
15
)＝24，则此数列前13项之和为
( )．
A．26 B．13 C．52 D．156
8．等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＋a
3
＝－24，a
18
＋a
19
＋a
20
＝78，则此数列前20项和等于
( )．
A．160 B．180 C．200 D．220
第 1 页 共 9 页

9．在等比数列{a
n
}中，a
1
＝2，前n项 和为S
n
，若数列{a
n
＋1}也是等比数列，则S
n
等< br>于( )．
A．2
n
1
－2
＋
B．3n C．2n D．3
n
－1
10．已知{a
n
}是等比数列，a
2
＝2，a
5
＝
A．16(1－4
n< br>)
C．
－
1
，则a
1
a
2
＋a
2
a
3
＋…＋a
n
a
n
＋
1＝( )．
4


B．16(1－2
n
)
D．
－








32
－
(1－4
n
)
3
32
－
(1－2
n
)
3
二、填空题
11．设等比数列{a
n
}的公比为q，前n项和为S
n
，若Sn+1
，S
n
，S
n+2
成等差数列，则q
的值为 .
12．设{a
n
}是公比为q的等比数列，S
n
是它的前n项和 ，若{S
n
}是等差数列，则q＝_____.
2
n?1
(n为正奇数)
13．已知数列{a
n
}中，a
n
＝ 则a
9
＝ (用数字作答)，
(
2n－1
n为正偶数)
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，则S
9
＝

(用数字作答).
14．已知等比数列{a
n
}的前10项和 为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ．
15．在等比数列{a
n
}中，若a
1
＋a
2
＋a
3
＝8，a
4< br>＋a
5
＋a
6
＝－4，则a
13
＋a
14< br>＋a
15
＝ ，
该数列的前15项的和S
15
＝ .
16．等比数列{a
n
}的公比q＞0，已知a
2
＝1，a
n
＋
2
＋a
n
＋
1
＝6a
n，则{a
n
}的前4项和S
4
＝ ．
三、解答题
17．设数列{a
n
}是公差不为零的等差数列，S
n
是数列{a
n
}的前n项和，且
S
1
2
＝9S2
，S
4
＝4S
2
，求数列{a
n
}的通项公 式．






第 2 页 共 9 页 < /p>

18．设{a
n
}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项 和S
10
＝110且a
1
，a
2
，a
4
成 等比数列．
(1)证明a
1
＝d；
(2)求公差d的值和数列{a
n
}的通项公式.





19．在等差数列{a
n
}中，公差d≠0，a
1，a
2
，a
4
成等比数列．已知数列a
1
，a
3
，
a
k
1
，
a
k
2
，…，a
k
n
，…也成等比数列，求数列{
k
n
}的通项k
n
．





20．在数列{ a
n
}中，S
n
＋
1
＝4a
n
＋2，a< br>1
＝1．
(1)设b
n
＝a
n
＋
1
－2a
n
，求证数列{b
n
}是等比数列；
(2)设c
n
＝
a
n
，求证数列{c
n
}是等差数列；
n
2
(3)求数列{a
n
}的通项公式及前n项和的公式.


第 3 页 共 9 页

参考答案
一、选择题
1．A
解析：由等差数列的求和公式可得
1
S
3
3a＋3d
＝
1
＝，可得a
1
＝2d且d≠0
3
S
6
6a
1
＋15d
所以
3
S
6
6a
1
＋15d
＝＝
27d
＝．
S
12
12a
1
＋66d
90d
10
2．B
解析：解法1：
设等比数列{a
n
}的公比为q，等差数列{b
n
}的公差为d，由a
6
＝b
7
，即a
1
q
5
＝b
7
．
∵ b
4
＋b
10
＝2b
7
，
∴ (a
3< br>＋a
9
)－(b
4
＋b
10
)＝(a
1q
2
＋a
1
q
8
)－2b
7

＝(a
1
q
2
＋a
1
q
8
)－2a1
q
5

＝a
1
q
2
(q
6
－2q
3
＋1)
＝a
1
q
2
(q
3
－1)
2
≥0．
∴ a
3
＋a
9
≥b
4
＋b
10
．
解法2：
2
∵ a
3
·a
9
＝a
6，b
4
＋b
10
＝2b
7
，
∴ a
3
＋a
9
－(b
4
＋b
10
)＝a
3＋a
9
－2b
7
．又a
3
＋a
9
－2
a
3
?a
9
＝(
a
3
－
a
9
)
2
≥0，
∴ a
3
＋a
9
≥2
a
3
· a
9
．
∵ a
3
＋a
9
－2b
7
≥2
a
3
?a
9
－2b
7
＝2a
6
－2a
6＝0，
∴ a
3
＋a
9
≥b
4
＋b
10
．
3．C
解析：∵ a
1
＋a
2 008
＝a
1 003
＋a
1 006
＝a
1 004
＋a
1 005
，
而a
1 003
＋a
1 004
＋a
1 005
＋a
1 006
＝18，a
1
＋a
2 008
＝9，
∴ S
2 008
＝
4．B
第 4 页 共 9 页
1
(a
1
＋a
2 008
)×2 008＝9 036，故选C．
2

解析：∵ a，b，c成等差数列，∴ 2b＝a＋c，
又S
△
ABC
＝
13
acsin 30°＝，∴ ac＝6，
22
∴ 4b
2
＝a
2
＋c
2
＋12，a
2
＋c
2
＝4b
2
－12，
又b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos 30°＝4b
2
－12－6
3
，
∴ 3b
2
＝1 2＋6
3
，b
2
＝4＋2
3
＝(1＋
3
)
2
．
∴ b＝
3
＋1．
第 5 页 共 9 页

5．A
解析：题中所给圆是以(5，0)为圆心，5为半径的圆，则可求过( 5，3)的最小弦长为8，
最大弦长为10，
∴ a
k
－a
1＝2，即(
k
－1)d＝2，
k
＝
∴
k
≠4．
6．A
解析：∵ a
7
＋a
9
＝a
4
＋a
12
＝16，a
4
＝1，∴ a
12
＝15．
7．A
解析：∵ a
2
＋a
6
＝2a
4
，a
5
＋a
10
＋a
15
＝3a
10
，
∴ 6a
4
＋6a
10
＝24， 即a
4
＋a
10
＝4，
∴ S
13
＝
8．B
?
a
1
＋a
2
＋a
3
＝－24
解析：∵
?

a＋a＋a＝78
20
?
181
9
2
＋1∈[5，7]，
d
13( a
1
＋a
13
)13(a
4
＋a
10
)< br>＝＝26．
22
∴ (a
1
＋a
20
)＋(a2
＋a
19
)＋(a
3
＋a
18
)＝54，
即3(a
1
＋a
20
)＝54，
∴ a
1
＋a
20
＝18，
∴ S
20
＝
9．C
解析： 因数列{a
n
}为等比数列，则 a
n
＝2q
n
1
．因数列{a
n
＋1}也是等比数 列，
则(a
n
＋
1
＋1)
2
＝(a
n< br>＋1)(a
n
＋
2
＋1)
?
a
n＋1
＋2a
n
＋
1
＝a
n
a
n
＋
2
＋a
n
＋a
n
＋
2

2
－
20(a
1
＋a
20
)
＝180．
2
?
a
n
＋a
n
＋
2
＝2an
＋
1
?
a
n
(1＋q
2
－2q)＝ 0
?
(q－1)
2
＝0
?
q＝1．
由a
1
＝2得a
n
＝2，所以S
n
＝2n．
10．C
解析：依题意a
2
＝a
1
q＝2，a
5
＝a
1
q
4
＝
1
1
，两式相除可求得q＝ ，a
1
＝4，又因为数列
42
{a
n
}是等比数列，所以{ a
n
·a
n
＋
1
}是以a
1
a
2
为首项，q
2
为公比的等比数列，根据等比数列前
2n
32
－
n项和公式可得
a
1
a
2
(1－
2
q)
＝(1－4
n
)．
3
1－q
第 6 页 共 9 页

二、填空题
11．－2．
解析：当q＝1时，S
n+1< br>＋S
n+2
＝(2n＋3)a
1
≠2na
1
＝2S< br>n
，∴ q≠1．
由题意2S
n
＝S
n+1
＋S< br>n+2
?
S
n+2
－S
n
＝S
n
－ S
n+1
，

即－a
n+1
＝a
n+2
＋ a
n+1
，a
n+2
＝－2a
n+1
，故q＝－2．
12．1．
解析：方法一 ∵ S
n
－S
n
－
1
＝a
n
，又S
n
为等差数列，∴ a
n
为定值．
∴ {a
n
}为常数列，q＝
a
n
＝1．
an?1
方法二：a
n
为等比数列，设a
n
＝a
1
q
n
1
，且S
n
为等差数列，
∴ 2S
2＝S
1
＋S
3
，2a
1
q＋2a
1
＝ 2a
1
＋a
1
＋a
1
q＋a
1
q
2
，q
2
－q＝0，q＝0(舍)q＝1.
所以答案为1．
13．256，377．
解析：a
9
＝2
8
＝256，
S
9
＝(a
1
＋a
3
＋a
5
＋a
7
＋a
9
)＋(a
2
＋a
4
＋a
6
＋a
8
)
＝(1＋2
2
＋2
4
＋2< br>6
＋2
8
)＋(3＋7＋11＋15)
＝341＋36
＝377．
14．74．
解析：由{a
n
}是等比数列，S10
＝a
1
＋a
2
＋…＋a
10
，S
20
－S
10
＝a
11
＋a
12
＋…＋a
20
＝q
10
S
10
，
S
30
－S
20
＝a
21
＋a
22
＋…＋a
30
＝q
20
S
10
，即S
10
，S
20
－S
1 0
，S
30
－S
20
也成等比数列，得(S
20
－ S
10
)
2
＝S
10
(S
30
－S
20
)，得(56－32)
2
＝32(S
30
－56)，
(56－32)
2
∴ S
30
＝＋56＝74．
32
1
11
15．，．
2
2
－
解析：将 a
1
＋a
2
＋a
3
＝8，
a
4
＋a
5
＋a
6
＝－4．
两式相除得q
3
＝－



①
②
1
，
2
第 7 页 共 9 页

?
?< br>1
?
5
?
8
?
1－
?
－
?
?
4
11
1
?
2
?
?
1
?
＝，S＝
?
??
∴ a
13
＋a
14
＋ a
15
＝(a
1
＋a
2
＋a
3
) q
12
＝8·
?
＝．
15
－
??
22
1
2
??
1＋
2
16．
15
．2

－
解析：由a
n+2
＋a
n+1
＝6a< br>n
得q
n
+1
＋q
n
＝6q
n
1< br>，即q
2
＋q－6＝0，q＞0，解得q＝2，
1
4
(1－ 2)
15
1
2
又a
2
＝1，所以a
1
＝， S
4
＝＝．
2
2
1－2
三、解答题
17．解析：设等差数列{a
n
}的公差为d，由前n项和的概念及已知条件得
2
a
1
＝9(2a
1
＋d )，



①
② 4a
1
＋6d＝4(2a
1
＋d )．
由②得d＝2a
1
，代入①有
a
1
2
＝36a
1
，解得a
1
＝0或a
1
＝36．
将a
1
＝0舍去． 因此a
1
＝36，d＝72，
故数列{a
n
}的通项公式a
n
＝36＋(n－1)·72＝72n－36＝36(2n－1)．
2
18．解析 ：(1)证明：因a
1
，a
2
，a
4
成等比数列，故
a
2
＝a
1
a
4
，
而{a
n
}是等差数列，有a
2
＝a
1
＋d，a
4
＝a
1< br>＋3d，于是(a
1
＋d)
2
＝a
1
(a
1
＋3d)，
即
a
1
2
＋2a
1
d＋d< br>2
＝
a
1
2
＋3a
1
d．
d≠0，化简得a
1
＝d．
(2)由条件S
10
＝110 和S
10
＝10a
1
＋
10
?
9
d
，得到10a
1
＋45d＝110，
2
由(1)，a
1
＝d，代入上式得55d＝110，故d＝2，a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝ 2n．
因此，数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n(n＝1，2 ，3，…)．
2
19．解析；由题意得
a
2
＝a
1
a
4
，
即(a
1
＋d)
2
＝a
1(a
1
＋3d)，d(d－a
1
)＝0，
又d≠0，∴ a
1
＝d．
又a
1
，a
3
，
a
k
1
，
a
k
2
，…，
a
k
n，…，成等比数列，
∴ 该数列的公比为q＝
a
3
3d
＝＝3， ∴
a
k
n
＝a
1
·3
n
+1
．
a
1
d
第 8 页 共 9 页

又
ak
n
＝a
1
＋(
k
n
－1)d＝
k< br>n
a
1
，
∴
k
n
＝3
n
+1
为数列{
k
n
}的通项公式．
20．解析：(1)由a1
＝1，及S
n
＋
1
＝4a
n
＋2，
有a
1
＋a
2
＝4a
1
＋2，a
2
＝3 a
1
＋2＝5，∴ b
1
＝a
2
－2a
1
＝3．
由S
n
＋
1
＝4a
n
＋2 ①，则当n≥2时，有S
n
＝4a
n
－
1
＋2． ②
②－①得a
n
＋
1
＝4a
n
－4a
n－
1
，∴ a
n
＋
1
－2a
n
＝2( a
n
－2a
n
－
1
)．
又∵ b
n
＝a
n
＋
1
－2a
n
，∴ b
n
＝2b
n
－
1
．∴ {b
n
}是首项b
1
＝3，公比为2的等比数列．
∴ b
n
＝3×2

n
1
．
－
3?2
n?1
3a
n?1
a
n
a
n?1
?2a
n
a
n
b
n
(2)∵ c
n
＝
n
，∴ c
n
＋
1
－c
n
＝
n?1
－
n
＝＝
n?1
＝＝，
2n?1
2
n?1
222
4
2
c
1
＝< br>a
1
1
13
＝，∴ {c
n
}是以为首项，为公差的等差数列．
24
2
2
(3)由(2)可知数列
?
∴

?
a
n
?
13
是首项为，公差为的等差数列．
?
n
2
24
??
a
n
1
1
33< br>n
－
2
＝＋(n－1)＝n－，a＝(3n－1)·2是数列{a
n< br>}的通项公式．
n
n
2
2
44
4
－－设S
n
＝(3－1)·2
1
＋(3×2－1)·2
0
＋ …＋(3n－1)·2
n
2
．
S
n
＝2S
n
－S
n
＝－(3－1)·2
1
－3(2
0
＋2
1
＋…＋2
n
2
)＋ (3n－1)·2
n
－－－
1
2
n－1
－1
－< br>＝－1－3×＋(3n－1)·2
n
1
2－1
＝－1＋3＋(3n－4)·2
n
1

＝2＋(3n－4)·2
n
1
．
∴ 数列{a
n
}的前n项和公式为S
n
＝2＋(3n－4)·2
n
1
．
－
－
－
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