高中数学概率与随机变量讲义及例题

概率与随机变量
1.概率
随机事件的概率
1、必然事件：一般地，把在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。
2、不可能事件：把在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。
3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。
4、随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件。
5、 频数：在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A
出现的次数nA
为事件A出现的频数。
6、频率：事件A出现的比例
f
(A)=
n
A
。
n
n
7、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

概率的基本性质
1、事件的关系与运算
（1）包含。对于事件A与事件 B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事
件A（或事件A包含于事件B），记作
B?A(或A?B)
。
不可能事件记作
?
。
（2）相等。若
B?A且A?B
，则称事件A与事件B相等，记作A=B。
（3）事件A与事件B的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。
P
(
A
＋
B
)＝
P
(
A
)＋P
(
B
);
（4）事件A与事件B的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。
P
(
A
·
B
)＝
P
(
A
)·P
(
B
)
（5）事件A与事件B互斥：
AIB
为不可 能事件，即
AIB=?
，即事件A与事件B在任
何一次试验中并不会同时发生。 （6）事件A与事件B互为对立事件：
AIB
为不可能事件，
AUB
为必 然事件，即事件A
与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。

2、概率的几个基本性质
（1）
0?P(A)?1
.
（2）必然事件的概率为1.
P(E)?1
.
（3）不可能事件的概率为0.
P(F)?0
.
（4）事件A与事件B互 斥时，P(A
U
B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。

（ 5）若事件B与事件A互为对立事件，，则
AUB
为必然事件，
P(AUB)?1.

古典概型
1、基本事件：
基本事件的特点：（1）任何两个事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本时间的和。
2、古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
具有这两个特点的概率模型称为古典概型。
3、公式：
P(A)=

几何概型
1、几何概型：每个事件发生的 概率只有与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的
概率模型。
2、几何概型中，事件A发生的概率计算公式：
A包含的基本事件的个数

基本事件的总数
P(A)?
构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
以下归纳5个常见考点：
考点 1 考查等可能事件概率计算。
在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。 如果事件A
包含的结果有m个，那么
P(A)?
m
。这就是等可能事件的判断 方法及其概率的计n算公式。
n
例 1从4名男生和2名女生中任3人参加演讲比赛.
(I)求所选3人都是男生的概率；
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.

考点 2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算。
不可能同时发生的两个事件A、B叫 做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，
用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B )计算。
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为AB。用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)计算。

例 2.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙
都 需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为

0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算
这 个小时内至少有一台需要照顾的概率。

考点 3 考查对立事件概率计算。
必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。用概率的减法公式
P(A)=1-P(A)计算其概率。
例 3．(2005 福建卷文）甲、乙两人在罚球线 投球命中的概率分别为
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

考点 4 考查独立重复试验概率计算。
若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其 它各次试验的结果，则此试验叫做
n次独立重复试验。若在1次试验中事件A发生的概率为 P，则在n次独立重复试验中，事
kk
p(1?p)
n?k
。 件A恰好发生 k次的概率为Pn(k)=
P
n
(A)?C
n
12
和
。
25
例 4．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定每盏灯 能否正常
照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2。从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第 二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p1=0.8， p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结
果保留两个有效数字）

考点 5 考查随机变量概率分布与期望计算。
解决此类问题时，首先应明确随机 变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生
概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到 分布列，最后根据分布列和期望、方差
公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和 运用概率知识解决 实际
问题的能力。
例 5．某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位 考试者一年之内最多有4次参加考试的
机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试， 否则就一直考到第4次为
止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6， 0.7，0.8，0.9，
求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内 领到驾照的概
率。

2.随机变量及其分布
离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变 量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等
表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
x
2
，
x
i
，一般地，设离散型随机变量
?
可能取的值为x
1
，……，……，
?
取每一个值
x
（
ii?
1，
2，……）的概率P（
?
?x
i
）=
P
i
，则称下表.
?

x
1

P
1
x
2

P
2
…
…
x
i

P
i

…
…



P
为随机变量
?
的概率分布，简称
?
的分布列.
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
（1）
P< br>i
?0
，
i?
1，2，…;（2）
P
1
?P
2
?
…=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：
（1）二项分布
n
次独立重复试验中，事件A发生的次数
?
是一个 随机变量，其所有可能的取值为0，1，
2，…n，并且
P
k
?P(
?
?k)?C
n
k
p
k
q
n?k
，其中< br>0?k?n
，
q?1?p
，随机变量
?
的分布列如下：
?

P
0
00n
C
n
pq

1
11n?1
C
n
pq

…
…
k

k
C
n
p
k
q
n?k

…

n

nn0
C
n
pq

称这样 随机变量
?
服从二项分布，记作
?
~B(n,p)
，其中
n
、
p
为参数，并记：
k
C
n
p
k
q
n?k
?b(k;n,p)
.
（2） 几何分布
在独立重 复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数
?
是一个取值为正整数的离
散型随机 变量，“
?
?k
”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量
?
的概率分布为：
?

1
p
2
qp
3
q
2
p

…
…
k
q
k?1
p

…
… P
（3）超 几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取
n(1?n?N)
件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为

P(ξ?k)?
kkC
M
?C
N
n
?
?
M
n
C< br>N
?(0?k?M,0?n?k?N?M)
.〔分子是从M件次品中取k件，从N- M件正品
r
?0
，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 中取n-k件的取法 数，如果规定
m
＜
r
时
C
m
⑵超几何分布的另一种 形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），
则次品数ξ的分布列为
P(ξ?k)?
离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望：
E
?
?x
1
p
1
?x
2
p
2
?
…；期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差：
D
?
?(x
1
?E
?
)
2
p
1
?(x
2
?E
?
)
2p
2
?
…
?(x
n
?E
?
)
2
p
n
?
…；
方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
⑶基本性质：
E(a?
?b)?aE
?
?b
；
D(a
?
?b)?a
2
D
?
.
(4)若
?
～B(n，p)，则
E
?
?np
D
?
=npq（这里q=1-p） ;
如果随机变量
?
服从几何分布，
P(
?
?k)?g (k,p)
，则
E
?
?
1
，D
?
=
q
其中q=1-p.
2
p
n?k
C
k
a
?C
b
C
a?
n
b
k?0,1,?,n.
.
p
标准正态分布
如果随机变量ξ的概率函数为
?
(x)?< br>1
2
?
e
?
x
2
2
(???x?? ?)
，则称ξ服从标准正态分布. 即
?
～
N(0,1)
有
?
(x)?P(
?
?x)
，
?
(x)?1?
?(?x)
求出，而P（a＜
ξ
≤b）的计算则是
P(a?
??b)?
?
(b)?
?
(a)
.
注意：当标准正态分 布的
?(x)
的X取0时，有
?(x)?0.5
当
?(x)
的X取大于0的数时，有
?(x)?0.5
.比如
?(
0.5?
?< br>?
)?0.0793?0.5
则
0.5?
?
?
必然小 于0，如右图.
▲
y
S
正态分布与标准正态分布间的关系：若
?
～
N(
?
,
?
2
)
则ξ的分布函数通
x
?
μ
常用
F(x)
表示，且有
P(ξ?x)?F (x)?
?
()
.
σ
x
a
标准正态分布曲线< br>S
阴
=0.5
Sa=0.5+S


近五年高考真题
（2009年）18.(本题满分12分)
在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：
（I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(910)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。(31120)


（2010年）18．（本题满分12分）

某射手每次射击击中目标的概率是
2
，且各次射击的结果互不影响。
3
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率(40243)
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；(881) （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射
击中，若 有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3
分，记
?为射手射击3次后的总的分数，求
?
的分布列。
（2011年）16．(本小题满分13分)
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装 有
3
个白球，
2
个黑球，乙箱子里装有
1
个
白球，
2
个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出
2
个球，
若摸出的白球不少于
2
个．则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
(Ⅰ) 求在
1
次游戏中，
(ⅰ) 摸出
3
个白球的概率；(15)
(ⅱ) 获奖的概率；(710)
(Ⅱ) 求在
2
次游戏中，获奖次数
X
的分布列及数学期望
E
?X
?
．(75)

（2012年）16．（本小题满分13分） 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味
性，约定：每 个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2
的人去参加甲游戏，掷出点 数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(827)
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(19)
用X，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记
?
?X?Y
，求随机变量
?
的分布列与数学期望
E
?
.(14881)

（2013年）16. (本小题满分13分)
一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张,
编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (67)
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为
X
, 求随机变量
X
的分布列和数学
期望.( 175)