高中数学应如何进行教学-教师证考试 高中数学
第八章 随机试验+概率的加法公式
一、学习目标:
1.掌握互斥事件和对立事件的概率及互斥事件的教法公式;
2.灵活应用概率公式解决一些问题。
二、学习重、难点:
1.学习重点:互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的加法公式;
2.学习难点:互斥事件与对立事件的区别与联系。
三、新课过程
1.随机对照试验
随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则,随机对照试验是指随机选
取试验组和
对照组的试验.我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂.
2.概率的加法公式
如果
Ω
的事件
A
1
,
A
2
,…,
A
m
两两互斥,则
P
(
A
1
∪
A
2
∪…∪
A
m
)=
P
(
A
1<
br>)+
P
(
A
2
)+…+
P
(
Am
).
我们把概率的加法公式称为概率的可加性,可加的前提是事件两两互斥.
四、课堂探究
1.概率的可加性的前提是事件两两互斥,互斥与对立有什么异同?
提示:对立事件是互斥事件的一种特殊情况,互斥不一定对立,对立一定互斥.当计算
事件
A<
br>的概率
P
(
A
)比较复杂,困难时,常用公式
P
(<
br>A
)=1-
P
(
A
)求解.
2.必修五古典概型中
我们就接触过概率的加法公式
P
(
A
∪
B
)=
P<
br>(
A
)+
P
(
B
),与本节的概率
加法公式
有什么区别和联系?
提示:本节的概率加法公式是必修中概率加法公式的一个推广,它们有共同的前提
是事
件两两互斥;但必修中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同,本节所述的事件发生的
概率可以不相同,但事件间必须互斥.
五、课堂精讲:
类型一、互斥事件的概率
[例1] (1)由经验得知,在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下:
排队人数
概率
0
0.11
1
0.16
2
0.3
3
0.29
4
0.1
5人及以上
0.04
则至多2人排队的概率为( )
1
A.0.3
C.0.57
B.0.43
D.0.27
[解析] 例(1)记“没有人排队”为事件
A
,“1人排队
”为事件
B
,“2人排队”为事
件
C
,
A
,
B
,
C
彼此互斥.记“至多2人排队”为事件
E
.则
P<
br>(
E
)=
P
(
A
+
B
+
C
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)
+
P
(
C
)=0.11+0.16+0.3=0.57.
1
变式1:围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子
7
12
的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
35
11217
A. B. C.
D.1
73535
[解析]变式1:设“从中取出2粒都是黑子”为事件
A
,
“从中取出2粒都是白子”为事件
B
,
“任意取出2粒恰好是同一色”为事件
C
,
则
C
=
A
∪
B
,且事件
A
与
B
互斥.
112
17
所以
P
(
C
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)=+=.
73535
17
即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
35
[答案] (1)C (2)C
运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分
清事件间是否互斥,同时要学会把一个
事件分拆成几个互斥事件,但应考虑周全,不重不漏.
类型二、对立事件的概率
[例2] 一名射手在某次射击训练中,射中10环、9环、8环、
7环的概率分别为
0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在这次射击中:
(1)射中10环或7环的概率;(2)射中的环数低于7环的概率.
[解]
(1)设“射中10环”为事件
A
,
“射中7环”为事件
B
,
由于在这次射击中,
事件
A
与事件
B
不可能同时发生,
故事件
A
与事件
B
是互斥事件,
“射中10环或7环”的事件为
A
∪
B
.
∴
P<
br>(
A
∪
B
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)=0.21+0.28=0.49.
∴射中10环或7环的概率为0.49.
2
(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况:
射中6环,5环,4环,3环,2环,1环,0环.
但由于这些概率都未知,故不能直接求解.
可考虑从反面入手.
“低于7环”的反面是“大于或等于7环”,
即7环,8环,9环,10环,由于这两个事件必有一个发生,
故是对立事件,故可用对立事件的方法处理.
设“低于7环”为事件
E
,
则事件
E
为“射中7环或8环或9环或10环”.
由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥.
故
P
(
E
)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,
从而P
(
E
)=1-
P
(
E
)=1-0.97=0
.03.
∴射中的环数低于7环的概率为0.03.
解决此类问题的规律是:
(1)①必须分清事件
A
、
B
是否互斥,只有互斥事件才能用概率的
加法公式;②所求事件
必须是几个互斥事件的和.满足以上两点才能用
P
(
A
∪
B
)=
P
(
A
)+
P
(
B
).
(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件的概
率.
变式训练2.某单位36人的血型类别是:A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人.现
从这36人中任选2人,求此2人血型不同的概率.
解:这2人血型不同的情况有:
1人A型1人B型;1人A型1人AB型;
1人A型1人O型;1人B型1人AB型;
1人B型1人O型;1人AB型1人O型.共6种情况。
而其反面是血型相同,只有4种情况.
法一:从36人中任选2人,共有C
36
种选法,2人血型不同的概率为:
C
12
C
10
C
12
C
8
C
12
C
6
C
10
C
8
C
10
C
6
C
8
C
6
34
P
=
2
+2
+
2
+
2
+
2
+
2
=.
C
36
C
36
C
36
C
36
C<
br>36
C
36
45
法二:由于“2人血型不同”与“2人血型相同”为对
立事件,
C
12
+C
10
+C
8
+C
6
1134
因而2人血型不同的概率为:
P
=1-=1-=.
2
C
36
4545
2222
1
2
3
六、课堂练习:
1.某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖
单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖
的事件分
别为
A
,
B
,
C
,求:
(1)
P
(
A
),
P
(
B
),
P
(
C<
br>);
(2)1张奖券的中奖概率.
1
解:(1)
P
(
A
)=,
1 000
P
(
B
)=
P
(
C
)=
101
=
,
1 000100
501
=.
1
00020
111
,,.
1 00010020
故事件
A
,
B
,
C
的概率分别为
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、
二等奖.
设“1张奖券中奖”这个事件为
M
,则
M
=
A<
br>∪
B
∪
C
.
∵
A
,
B
,
C
两两互斥,
∴
P
(
M
)=
P
(
A
∪
B
∪
C
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)+<
br>P
(
C
)
=
1+10+5061
=,
1
0001 000
61
故1张奖券的中奖概率约为.
1 000
2、随机抽取的9个同学中,至少有2个同学在同一月份出生的概率是________(默认每
个月的
天数相同,结果精确到0.001).
[解析] 每个同学的生日月份都有12种可能,故9人的生日
月份共有12个.至少有2
个人的生日在同一月份,若正面求解则分类情况复杂,故可化为求其对立事件
的概率.其对
立事件为“所有人的出生月份都不同”有A
12
种可能.
[解:] 总事件数为12个,
至少两人在同一月份出生的对立事件是“所有人出生月份均不相同”,
A
12
则其概率为1-
9
≈1-0.0155
12
=0.9845≈0.985.
答案:0.985
9
9
9
9
4
七、课后作业:
1.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北
四个方向前进,每
人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A.互斥但非对立事件
C.相互独立事件
B.对立事件
D.以上都不对
解析:选A
由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的,故是互
斥事件,但不是对立事件.
2.在所有的两位数(10~99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是( )
542
A. B. C.
653
1
D.
2
602
解析:选C
共90个数字,被2或3整除的数有45+30-15=60,故概率为=.
903
3.从5张500元,3张800元,2张1
200元演唱会的门票中任取3张.则所取3张中
至少有2张价格相同的概率为( )
1793
A. B. C.
41204
D.
23
24
解析:选C
3张中没有价格相同的取法有C
5
C
3
C
2
=30,
则3张中至少有2张相同的概率为1-
303
3
=.
C
1
0
4
111
4.从一批乒乓球产品中任选一个,如果其重量小于2.45
g的概率是0.22,重量不小
于2.50 g的概率是0.20,那么重量在2.45 g~2.50
g范围内的概率是________.
解析:重量在2.45 g~2.50
g范围内的概率是1-0.22-0.20=0.58.答案:0.58
5.同时抛掷两个均匀的正方
体玩具(各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6),则向上的一
面数之积为偶数的概率为____
____.
解析:向上的一面数之积为奇数,当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数,其可C
3
·C
3
1
能出现的结果数为C·C,因此向上的一面数之积
为奇数的概率
P
==,从而向上的
6×64
1
3
1
3
11
133
一面数之积为偶数的概率为:1-
P
=1-=.答案:
444
6.银行部门收费项目多,手续繁琐,营业网点少等是人们比较关心的问题,银行部门虽
增
加了部分自助存取款功能的ATM机,也简化了部分手续,但仍没有彻底扭转这种局面.经统
计,在某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下:
排队人数
概率
0~10人
0.12
11~20人
0.27
21~30人
0.30
31~40人
0.23
41人以上
0.08
计算:(1)至多20人排队的概率;
5
(2)至少11人但不超过40人排队的概率.
解:记“有0~10人排队”
、“有11~20人排队”、“有21~30人排队”、“有31~
40人排队”、“至多20人排队”
、“至少11人但不超过40人排队”的事件分别为
A
,
B
,
C,
D
,
E
,
F
,则
A
与
B<
br>是互斥事件,事件
B
,
C
,
D
两两互斥,从而 (1)
P
(
E
)=
P
(
A
∪
B
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)
=0.12+0.27=0.39;
(2)
P
(
F)=
P
(
B
∪
C
∪
D
)=
P
(
B
)+
P
(
C
)+
P
(
D
)
=0.27+0.30+0.23=0.80.
到绿球的概率为
1
4
.
6
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