1977全国高中数学联赛题-箐优网高中数学
第一章 空间几何体
一、选择题
1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是
一个( ).
主视图 左视图
俯
视图
(第1题)
A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.正八
面体
2.如果一个水平
放置的平面图形的斜二测直观图是一个底
角为45°,腰和上底均为
1
的等腰梯形,那
么原平面图形的面
积是( ).
A.2+
2
6.在△ABC
中,
AB
=2,
BC
=1.5,∠
ABC
=120°,若使△
ABC
绕直线
BC
旋转一周,则所形成的几何体的体积
是( ).
A.π B.π C.π
D.π
7.若底
面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,
它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面
积是( ).
A.130 B.140 C.150
D.160
8.如图,在多面体
ABCDEF
中,已知平面
ABCD
是边长为3
的正方形,
EF
∥
AB
,
EF
=,且
EF
与平面
ABCD
的距离为2,则
该多面体的体积为( ).
3
2
3
2
9
2
7
2
5
2
1+2
B.
2
2+2
C.
2
9
2
15
D.
2
D.
1+2
3.棱长都是
1
的三棱锥的表面积为( ).
A.
3
B.2
3
C.3
3
D.4
3
4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的<
br>8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ).
A.25π B.50π
C.125π D.都不
对
5.正方体的棱长和外接球的半径之比为( ).
A.
3
∶1 B.
3
∶2 C.2∶
3
D.
3
∶3
(第8题)
A. B.5
C.6
9.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误的是
..
( ).
A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间
图形
B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高
的比例相同
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C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D.水平放置的圆的直观图是椭圆
10.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是
( ).
(第14题)
15.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2
、
3
、6
,则这个长方体的对角线长是___________,它的体积
为_________
__.
16.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球
全部没入水中后,水面升
高9厘米则此球的半径为_________
厘米.
三、解答题
17.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如
它的两底面边长分别等于60
cm和40 cm,求它的深度.
18 *.
已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积
与正方体的体积之比.[提示:过正方体的对角面作截
面]
(第10题)
二、填空题
11.一个棱柱至少有______个面,面数最少的一个棱锥有
___
_____个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱.
12.若三个球的表面积之比是
1∶2∶3,则它们的体积之
比是_____________.
13.正方体
AB
CD
-
A
1
B
1
C
1
D
1 中,
O
是上底面
ABCD
的中心,
若正方体的棱长为
a
,则三棱锥
O
-
AB
1
D
1
的体积为_____________.
14.如图,
E
,
F
分别为正
方体的面
ADD
1
A
1
、面
BCC
1
B<
br>1
的中
心,则四边形
BFD
1
E
在该正方体的面上的
射影可能是
___________.
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19.如图,在四边形
ABCD
中,∠
DAB
=90°,∠
ADC
=135°,
AB
=5,
CD<
br>=2
2
,
AD
=2,求四边形
ABCD
绕
A
D
旋转一周所成
几何体的表面积及体积.
(第19题)
20.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路
上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高4 m,养路
处拟建一个更大的圆锥形仓库,以
存放更多食盐,现有两种方
案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4
m(高不变);二是
高度增加4 m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)哪个方案更经济些?
第
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第一章 空间几何体
参考答案
A组
一、选择题
1.A
解析:从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小
不一样,可以判断可能是棱台.
2.A
解析:原图形为一直角梯形,其面积
S
=(1+
=2+
2
.
3.A
解析:因为四个面是全等的正三角形,则
S
3
表面
而
l
1
2
+
l
2
2
=4
a
2
,即15
2
-5
2
+9
2
-5
2=4
a
2
,
a
=8,
S
侧面
=4×8
×5=160.
8.D
解析:过点
E
,
F
作底
面的垂面,得两个体积相等的四棱锥
和一个三棱柱,
V
=2×
1
×
3
×3×2+
1
×3×2×
3
=
15
.
3
4222
1
2
2
+1)×2
=4×
3<
br>4
=
.
4.B
解析:长方体的对角线是球的直径,
l<
br>=
3
2
+4
2
+5
2
=5
2
,2
R
=5
2
,
R
=
52
2
,
S
=4π
R
2
=50π.
9.B
解析:斜二测画法的规则中,已知图形中平行于
x
轴的线
段,在直观图中保持原长度不变;平行于
y
轴的线段,长度为
原来的一半.平行于
z
轴的线段的平行性和长度都不变.
10.D
解析:从三视图看底面为圆,且为组合体,所以选D.
二、填空题
11.参考答案:5,4,3.
解析:符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱
台.
12.参考答案:1∶2
2
∶3
3
.
r
1
∶
r
2
∶
r
3
=1∶
2
∶
3<
br>,
r
1
3
∶
r
2
3
∶
r<
br>3
3
=1
3
∶(
2
)
3
∶(
3
)
3
=1∶2
2
∶3
3
.
13.参考答案:
1
3
a
.
6
5.C
解析:正方体的对角线是外接球的直径.
6.D
解析:
V
=V
大
-
V
小
=π
r
2
(1+1.5-
1)=π.
7.D
解析:设底面边长是
a
,底面的两条对角线分别为l
1
,
l
2
,
而
l
1
2=15
2
-5
2
,
l
2
2
=9
2
-5
2
,
1
3
3
2
解析:画出正方
体,平面
AB
1
D
1
与对角线
A
1
C的交点是对角
线的三等分点,
三棱锥
O
-
AB
1D
1
的高
h
=
=
a
3
.
另
法:三棱锥
O
-
AB
1
D
1
也可以看成三棱锥A
-
OB
1
D
1
,它的
1
6
3
3
a
,
V
=
Sh
=×
1
31
3
3
4
×2
a
2
×
3
3<
br>a
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高为
AO
,等腰三角形<
br>OB
1
D
1
为底面.
14.参考答案:平行四边形或线段.
15.参考答案:
6
,
6
.
解析:设
ab
=
2
,
bc
=
3
,
ac
=
6<
br>,则
V
=
abc
=
=
3
,
a<
br>=
2
,
b
=1,
l
=
3+2+1
=
6
.
16.参考答案:12.
解析:
V
=
Sh
=π
r
三、解答题
17.参考答案:
2
即
a
2
+(
∴
R
=
6
,
c
2
2
a
)
2
=
R
2
.
6
2
6
2
a
,∴
V
半球
=π
a
3
,
V
正方体
=
a
3
.
h
=
4
π
R
3
,
R
=
3
64×27
=12.
3
∴
V
半球
∶
V
正方体
=
6
π∶2.
19.参考答案: <
br>S
表面
=
S
下底面
+
S
台侧面
+<
br>S
锥侧面
=π×5
2
+π×(2+5)×5+π×2×2<
br>=(60+4
2
)π.
V
=
V
台
-
V
锥
1
3
148
=π.
3
2
=π(
r
1
2
+
r
1
r
2
+
r
2
2
)
h
-π
r
2
h
1
3V
S+SS
′
+S
′
V
=(
S
+<
br>1
3
SS
′
+
S
)
h
,
h
==
3×190000
3600+2400+1600
=
1
3
75.
18.参考答案:
如图是过正方体对角
面作的截面.设半球的半径为
R
,正
方体的棱长为
a
,则
C
C'
=
a
,
OC
=
A'
2
2
20.
解:(1)
参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成
16 m,则仓库的体积
256
V<
br>1
=
1
Sh
=
1
×π×(
16
)<
br>2
×4=π(m
3
).
2
33
3
如果按方案二,仓库的高变成8 m,则仓库的体积
a
,
OC'
=
R
.
C'
V
2
=
1
Sh
=
1
×π×(
12
)
2
×8=
2
33
288
π(m
3
).
3
A
O
C
(第18题)
在Rt
△
C'CO
中,由勾股定理,得
CC'
2
+
OC
2
=
OC'
2
,
(2) 参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m,
半径为8 m.
棱锥的母线长为
l
=
8
2
+4
2
=4
5<
br>,
仓库的表面积
S
1
=π×8×4
5
=32
5
π(m
2
).
如果按方案二,仓库的高变成8 m.
棱锥的母线长为
l
=
8
2
+6
2
=10,
仓库的表面积
S
2
=π×6×10=60π(m
2
).
(3) 参考答案:∵
V
2
>
V
1
,
S<
br>2
<
S
1
,∴方案二比方案一更加
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经济些.
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