高中数学必修2第二章知识点+习题+答案

第二章 直线与平面的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（ 1）平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形，

锐角画成 45


，且横边画成邻边的 2

倍长（如图）

（ 2）平面通常用希腊字母 α 、 β 、γ 等表示，如平面 α、平




0

D

C


α

A













面 β 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对



B


的两个顶点的大写字母来表示，如平面

3 三个公理：
AC、平面 ABCD等。


（ 1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈ L

B∈L => L

A∈ α




α

A

α ·
A





A

·


·


B∈ α


公理 1 作用：判断直线是否在平面内



（ 2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为： A、 B、C三点不共线 => 有且只有一个平面 α ，使
A∈ α 、B∈ α 、 C∈ α 。
公理 2 作用：确定一个平面的依据。
直线。

符号表示为： P∈ α∩ β => α ∩ β =L，且 P∈ L

公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据


A B

α ·
C
·
·


（ 3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共



β

α

P




·


L



2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：

不同在任何一个平面内，没有公共点。




2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设 a、b、 c 是三条直线
a∥ b

=>a∥ c




c∥ b


强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a' 与 b' 所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与

；

O 的选择无关，为了简便，点





O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角

θ ∈ (0 ， )
2


第1页共12页

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作






a⊥b；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（ 1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（ 2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（ 3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用

a

α 来表示






















a

α

a

∩α =A

a

∥ α

2
.2.

直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与
此平面平行。








简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

a α
b β

a∥ b

=> a

∥ α

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的 判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面
平行。











符号表示：

a

b

β

β

β∥ α

a∩ b = P

a∥ α

b∥ α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（ 1）用定义；
（ 2）判定定理；
（ 3）垂直于同一条直线的两个平面平行。




2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平
行。






简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

第2页共12页

a∥ α

a β

a

∥ b

α ∩ β = b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α ∥ β

α ∩ γ = a a

β ∩ γ = b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

∥b

2.3.1 直线与平面垂直的判定


1、定义


如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线 L 与平面 α 互相垂直， 记作
L⊥ α ，直线 L 叫做平面 α 的垂线， 平面 α 叫做直线 L 的垂面。 如图，直线与平面垂直时 , 它们
唯一公共点 P 叫做垂足。




















L

p

α

2、判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：

a)

定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学
思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A


梭 l





β

B

α

2、二面角的记法：二面角

α -l-

β 或α -AB- β

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

3、两个平面互相垂直的判定定理：






2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2 性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第3页共12页

第二章 点、直线、平面之间的位置关系















A 组

一、选择题

1．设



l
，
m
为两条不同的直线，且

l

m?

，有如下

的两个命题：①若


∥ ；②若

⊥ ，则

(

)

．


l

m

l

m


A．①是真命题，②是假命题


B．①是假命题，②是真命题


C．①②都是真命题


D．①②都是假命题


2．如图，
ABCD
－
A B CD
为正方体，下面结论错误 的是 ( )

．



1

1

1

1



．．


1

1


A．
BD
∥平面
CBD


B．
AC
1
⊥
BD

C．
AC
1
⊥平面
CB
1
D
1

D．异面直线

AD
与
CB
1

角为

60°

(第2题)

3．关于直线

m
，
n
与平面

①

且

∥ ；

②

且


m

n


m n


mn


⊥
n
；
③
m

n

且

m
⊥
n
；

④
m

n

且

∥
n．

其中真命题的序号是

( )

．

A．①②

B．③④

C．①④

D．②③

4．给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行

②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线
l
1
，
l
2

与同一平面所成的角相等，则

l
1

，
l
2

互相平行

④若直线
l
1
，
l
2

是异面直线，则与

l
1
，
l
2

都相交的两条直线是异面直线

其中假 命题的个数是 ( )

．

．

A．1

B．2

C．3

D．4

5．下列命题中正确的个数是

( )

．

①若直线
l
上有无数个点不在平面

内，则
l

②若直线
l
与平面

平行，则

l
与平面

内的任意一条直线都平行

第4页共12页

m
m

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，


那么另一条直线也与这个平面平行

内的任意一条直线都没有公共点

④若直线
l
与平面

A．0 个

平行，则
l
与平面

B．1 个

C．2 个

D．3 个

．

D．只有两个

6． 两直线
l

1
与
l

2
异面，过

l
1
作平面与

l
2
平行，这样的平面( )

A．不存在


B．有唯一的一个

C．有无数个

7．把正方形

ABCD
沿对角线
AC
折起，当以
A
，
B< br>，
C
，
D
四点为顶点的三棱锥体积最大时，


直线
BD
和平面
ABC
所成的角的大小为

(

A． 90°


)．

C． 45°

．



B． 60°

D． 30°





8．下列说法中不正确的 是 ( )

．．．．

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B．同一平面的两条垂线一定共面


C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内


D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直






9．给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，

直线和交线平行

经过这条直线的一个平面和这个平面相交，

那么这条


②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面



③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行



④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直


其中真命题的个数是

(

)

．3

．

C．2

D．1

A．4








B

10．异面直线

a
，
b
所成的角

60°，直线
a
⊥
c
，则直线
b
与
c
所成的角的范围为

(

A．[30 °， 90°]

120°]

二、填空题

B

．[60 °， 90°]

C．[30 °， 60°]

)

．

D．[30 °，

11．已知三棱锥

P－ABC
的三条侧棱

PA
，
PB
，
PC
两两相互垂直，且三个侧面的面积分别


为
S
1
，
S
2
，
S
3
，则这个三棱锥的体积为









．

O
，连
PA
，
PB
，

12．
P
是△
ABC
所在平面

外一点，过

P
作
PO
⊥平面

PC
．

第5页共12页

(1)

若





(2)

＝

，

＝ ，则

⊥ ，

为△

的



心；

的


⊥

PA PB PC

O

⊥

，则

ABC


是△



心；

PA

PB

PA PC

PC PB

O


ABC


若点
P
到三边
AB
，
BC
，
CA
的距离相等，
O
是△
ABC
(3)

则

的

(4)

若
PA
＝
PB
＝
PC
，∠
C
＝

90o，则
O
是
AB
边的

(5)

若
PA
＝
PB
＝
PC
，
AB
＝
AC
，则点
O
在△
ABC
的

心；

点；

线上．


13．如图，在正三角形



ABC
中，
D
，
E
，
F
分别为各边的

中点，
G
，
H
，
I
，
J
分别为
AF
，
AD
，
BE
，
DE
的中点，将△
ABC

J

沿
DE
，
EF
，
DF
折成三棱锥以后，
GH
与
IJ
所成角的度数

为．







(第 13题)

14．直线




与平面

所成角为 30°，


，直线

与

所成角的取


l


l

A

m

m

l


值范围

是

．

15．棱长为 1 的正四面体内有一点


P
，由点
P
向各面引垂线，垂线段长度分别为

．

d
1
，
d
2
，


d
3
，
d
4
，则
d
1
＋
d
2
＋
d
3
＋
d
4

的值为


16．直二面角











l

AC

的棱上有一点

A
，在平面

内各有一条射线

AB
，

．

AC
与
l
成

45°，
AB

BAC
＝

三、解答题


17．在四面体

ABCD
中，△
ABC
与△
DBC
都是边长为

4 的正三角形．


(1) 求证：
BC
⊥
AD
；

(2) 若点
D
到平面
ABC
的距离等于

3，求二面角
A
－

BC
－
D
的正弦值；


(3) 设二面角

A
－
BC
－
D
的大小为


猜想

为何

值时，四面体

A
－
BCD
的体积最大．

(

不要求证明

)











(第 17 题)

第6页共12页

18． 如图，在长方体

—



＝ 2，

1

1

1


中，
1



ED
，
EC
，
EB
和
DB
．

(1) 求证：平面
EDB
⊥平面
EBC
；
(2) 求二面角
E
－
DB
－
C
的正切值

.
第7页共12页


1
＝

＝ 1，

1 1
的中点，连结
E

为





(第 18题)

19* ．如图，在底面是直角梯形的四棱锥


－中，

∥ ，∠

＝ 90°，

SA
⊥面
ABCD
，
SA
＝
AB
＝
BC
＝１，
AD
＝

．

2


1
Ｓ

ABCD

AD BC

ABC




(1) 求四棱锥
S
—
ABCD
的体积；
(2) 求面
SCD
与面
SBA
所成的二面角的正切值．
( 提示：延长

BA
，
CD
相交于点
E
，则直线

SE
是


所求二面角的棱

.)









(第 19题)

A

·



























20* ．斜三棱柱的一个侧面的面积为


10，这个侧面与它所对棱的距离等于

6，求这个棱

柱的体积． ( 提示：在

AA
1

上取一点
P
，过
P
作棱柱的截面，使










































AA
1

垂直于这个截面

.)

(第 20题)

第8页共12页

第二章 点、直线、平面之间的位置关系




参考答案




一、选择题


1． D 解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线


n
，

l ?







m?

且
l
∥
n
，
m
⊥
n
，则
m
⊥
l
，显然平面不垂直平面

(第1题)

故②是假命题；命题①显然也是假命题，

2． D解析：异面直线

AD
与
CB
1

角为

45°．


3． D解析：在①、④的条件下，

m
，
n
的位置关系不确定．


4． D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案


D．

5．B 解析：学会用长方体模型分析问题，


A
1
A
有无数点

在平面
ABCD
外，但
AA
1

与平面
ABCD
相交，

①不正确；
A
1
B
1
∥


平面
ABCD
，显然
A
1
B
1

不平行于
BD
，②不正确；
A
1
B
1
∥
AB
，
A
1
B
1
∥


平面
ABCD
，但
AB


平面
ABCD
内，③不正确；
l
与平面

α

平






?





行，则
l
与

无公共点，
l
与平面


内的所有直线



(


都没有公共点，④正确，应选

6．B 解析：设平面

与



B．

第5题)


过
l
1
，且
l
2

3
l
1

上一定点

与

2
P
与
l
2

确定一平面

平行的直线只有一条，即


3
，

有

的交线


3
∥

2
，且

过点

. 又过点

P


l


l


唯一性，所以经过


l

1
和

l
3

的平面是唯一的，即过


l

1

且平行于

l
2

的平面是唯一的

.

DAC
⊥
ABC
，取
AC
的中点
O
，则△

7． C 解析：当三棱锥

D
－
ABC
体积最大时，平面


DBO


l

l


l


P

是等腰直角三角形，即∠

DBO
＝

45°．


8． D 解析： A．一组对边平行就决定了共面；

共面； C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；

了．





B．同一平面的两条垂线互相平行，因而


D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确










9． B 解析：因为①②④正确，故选B．

10．A 解析：异面直线


a
，
b
所成的角为

60°，直线
c
⊥
a
，过空间任一点

P
，作直线






a
’∥
a
，
b
’∥
b
，
c
’∥
c
.

若
a
’，
b
’，
c
’

共面则
b
’

与
c
’

成

30

°

角，否则

b
’

第9页共12页

与




c
’

所成的角的范围为

二、填空题

11．
则
( 30°， 90°] ，所以直线

b
与
c
所成角的范围为

[30 °， 90° ]

．

1

2S
1
S
2
S
3
．解析：设三条侧棱长为
a
，
b
，
c
．

1
2

3


ab
＝
S
1
，
bc
＝
S
2
，
ca
＝
S
3

三式相乘：
2

2

11

∴




1
a
2
b
2
c
2
＝
S
1
S
2
S
3
，
8
∴
abc＝
2 2 S
1
S
2
S
3

．
∵ 三侧棱两两垂直，

∴
V＝ abc
·

＝


2S
1
S
2
S
3
．

3

2

3

12．外，垂，内，中，

BC
边的垂直平分．

111


解析： (1) 由三角形全等可证得


O
为△
ABC
的外心；

(2) 由直线和平面垂直的判定定理可证得，


O
为△
ABC
的垂心；

O
为△
ABC
的内心；

(3) 由直线和平面垂直的判定定理可证得，


(4) 由三角形全等可证得，
O
为
AB
边的中点；

(5) 由(1)

知，
O
在
BC
边的垂直平分线上，或说

13．60°．解析：将△





O
在∠
BAC
的平分线上．

与


沿

，


，


折成三棱锥以后，




所成角的度数为

ABC


DE

EF

DF


GH



IJ






60°．

14．[30 °， 90°] ．解析：直线

小值，当
m
在

15．


l

与平面

所成的 30°的角为
m
与
l

所成角的最

90°．

内适当旋转就可以得到

1

3

l
⊥
m
，即
m
与
l
所成角的的最大值为

6
．解析：作等积变换：


3
4

×(
d
1
＋
d
2
＋
d
3
＋
d
4
) ＝

1

3



·
h
，而
h
＝





6
．

3


3

4

3

16． 60°或 120°．解析：不妨固定


AB
，则
AC
有两种可能．

三、解答题


17．证明： (1) 取
BC
中点
O
，连结
AO
，
DO
．


∵△
ABC
，△
BCD
都是边长为

4 的正三角形，


∴
AO
⊥
BC
，
DO
⊥
BC
，且
AO
∩
DO
＝
O，


∴
BC
⊥平面
AOD
．又
AD
平面
AOD
，

∴
BC
⊥
AD
．

解：(2) 由 (1) 知∠





(


第 17题)

则过点


为二面角

－

－

的平面角， 设∠

作

⊥ ，


AOD

A

BC D


第10页共12页

AOD


D


DE AD

垂足为
E
．


∵
BC
⊥平面
ADO
，且
BC
平面
ABC
，

∴平面
ADO
⊥平面
ABC
．又平面
ADO
∩平面
ABC
＝
AO
，


∴
DE
⊥平面
ABC
．

D
到平面
ABC
的距离，即
DE
＝

∴线段
DE
的长为点

3．

又
DO
＝


3
BD
＝2

3 ，




2

在 Rt△







中， sin

DE
＝

DO

2

3
，

DEO

2

故二面角
A
－
BC
－
D
的正弦值为

3
．

(3) 当90°时，四面体
ABCD
的体积最大．
18．证明： (1) 在长方体

ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1

中，
AB
＝

2，
BB
1
＝
BC
＝

1，
E
为
D
1
C
1

的中点．∴△


1

为等腰直角三角形，∠


ABCD
1

＝ 45°．同理∠


1


1
＝ 45°．∴


，即⊥．

DDE





DED

1 1 1


1

CEC

1
DEC

平面

1


90


1

DE EC

在长方体


－

中， ⊥平面

，又


，







A B C

D


BC

D

DCC


DE


D

DCC


∴
BC
⊥
DE
．又
EC

BC

C
，∴
DE
⊥平面
EBC
．∵平面

DEB
过
DE
，∴平面
DEB
⊥平面
EBC
．

(2) 解：如图，过
E
在平面

D
1

DCC

1

中作
EO
⊥
DC
于
O
．在长方体
ABCD
－

A
1

B
1
C
1
D
1

中，∵面

ABCD⊥面

D
1
DCC

1

，


∴
EO
⊥面
ABCD
．过
O
在平面

DBC中作
OF
⊥
DB
于
F
，连
结

EF
，∴
EF
⊥
BD
．∠
EFO
为二面角
E
－
DB
－
C
的平面
角．利

用平面几何知识可得




















OF
＝，(

5

1
第 18

题)








又
OE
＝

1，所以，

tan



EFO
＝

5

．




19* ．解： (1) 直角梯形
ABCD
的面积是
M


＝

1

底面



1＋
1
( BC＋ AD)

AB ＝


2

1＝

3




，


∴四棱锥
S—ABCD
的体积是
V
＝

·
SA
·
M
底面
＝

×

1×

＝

．



1

2

1

31
2




4


3


3

4

4


(2) 如图，延长
BA
，
CD
相交于点
E
，连结
SE
，则
SE
是所求二面角的
棱．

∵
AD
∥
BC
，
BC
＝2
AD
，

∴
EA＝AB＝SA
，∴
SE
⊥
SB


∵
SA
⊥面
ABCD
，得面
SEB
⊥面
EBC
，
EB
是交线．






第11页共12页

又
BC
⊥
EB
，∴
BC
⊥面
SEB
，故
SB
是
SC
在面
SEB



上的射影，



∴
CS
⊥
SE
，∠
BSC
是所求二面角的平面角．



∵
SB
＝

SA
2
＋

AB
2

＝

2

，
BC
＝1，
BC
⊥
SB
，

∴ tan ∠
BSC
＝ ＝

SB

2

即所求二面角的正切值为


BC2
2
2

，

( 第 19 题 )

．

20* ．解： 如图， 设斜三棱柱

ABC
—
A
1
B
1
C
1

的侧面
BB
1
C
1
C
的面


积为 10，
A
1
A
和面
BB
1
C
1
C
的距离为 6，在
AA
1
上取一点

P
作截面


PQR
，使
AA
1
⊥截面
PQR
，
AA
1
∥CC
1
，∴截面


PQR
⊥侧面
BB
1
C
1
C
，

过
P
作
PO
⊥
QR
于
O
，则
PO
⊥侧面
BB
1
C
1
C
，且
PO
＝

6．

∴
V

＝
S
·
AA
＝



1

·
QR
·
PO
·
AA

2






斜


△PQR1

1

(第 20

题)





＝

·
PO
·
QR
·
BB
1

2


















































1
1
＝ ×10×6
2
＝ 30．
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