2016年江苏省高考数学试卷菁优网解析

2016年江苏省高考数学试卷


一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）（2016?江苏）已知 集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B= ．
2．（5分）（2016?江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是 ．
3．（5分）（2016?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是 ．
4．（5分）（2016?江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组 数据的方差是 ．
5．（5分）（2016?江苏）函数y=的定义域是 ．
6．（5分）（2016?江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ．

7．（5分）（2016?江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3 ，4，5，6
个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
8．（5分）（2016?江苏）已知{a
n
}是等差数列，S
n
是其前n项和，若a
1
+a
2
=﹣3，S
5
=10，则a
9
的值是 ．
9．（5分）（2016?江苏）定义在区间[0 ，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交
点个数是 ．
10．（5分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）
2
的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率
是 ．
第1页（共25页）

11．（5分）（ 2016?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，
f（x）=，其 中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是 ．
12．（5分）（2016?江苏）已知实数x，y满足，则x+y的取值范围
22
是 ．
13．（5分）（2016?江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个 三等
分点，?=4，?=﹣1，则?的值是 ．

14．（5分）（20 16?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ．

二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（1 4分）（2016?江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
．
16．（14分）（2016?江苏）如图，在 直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，D，E分别为AB，B C的
中点，点F在侧棱B
1
B上，且B
1
D⊥A
1
F，A
1
C
1
⊥A
1
B
1
．求证：
（1）直线DE∥平面A
1
C
1
F；
（2）平面B
1
DE⊥平面A
1
C
1
F．
第2页（共25页）

17．（14分）（2 016?江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四
棱锥P﹣A
1< br>B
1
C
1
D
1
，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
（如图所示），并要求正 四棱
柱的高O
1
O是正四棱锥的高PO
1
的4倍．
（1）若AB=6m，PO
1
=2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO
1
为多少时，仓库的容积最大？

22
18．（16分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知 以M为圆心的圆M：x+y
﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得
范围．
+=，求实数t的取值

xx
19．（16分）（2016?江苏）已知函数 f（x）=a+b（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b=．
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．
第3页（共25页）

20．（16分）（2016?江 苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a
n
}（n∈N）和U的子集T，若
T =?，定义S
T
=0；若T={t
1
，t
2
，…，t
k
}，定义S
T
=
*
*
++…+．例如：T={1，3， 66}
时，S
T
=a
1
+a
3
+a
66< br>．现设{a
n
}（n∈N）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S
T
=30．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）对任意正 整数k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求证：S
T
＜a
k+1；
（3）设C?U，D?U，S
C
≥S
D
，求证：S
C
+S
C∩D
≥2S
D
．

附加题【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区
域内作答，若多做，则按作答的 前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】 21．（10分）（2016?江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E 为BC
的中点，求证：∠EDC=∠ABD．


B.【选修4—2：矩阵与变换】
22．（2016?江苏）已知矩阵A=

C.【选修4—4：坐标系与参数方程】
，矩阵B的逆矩阵B=
﹣
1
，求矩阵AB．
23．（2016?江 苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参
数），椭圆C的参数方程为
求线段AB的长．
（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，
24．（2016? 江苏）设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．

附加题【必做题】
25．（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l ：x﹣y﹣2=0，抛物线C：
y=2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②求p的取值范围．
2
第4页（共25页）

26．（2016?江苏）（1）求7C
*
﹣4C的值；
+（m+2）C+ （m+3）C+…+nC+（2）设m，n∈N，n≥m，求证：（m+1）C
（n+1）C

=（m+1）C．
第5页（共25页）

2016年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析


一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）（2016?江苏）已知 集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B= {﹣1，
2} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；集合．
【分析】根据已知中 集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得
答案．
【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，
∴A∩B={﹣1，2}，
故答案为：{﹣1，2}
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．

2．（5分）（2016?江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是 5 ．
【考点】复数代数形式的混合运算．
【专题】转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，
则z的实部是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（5分）（2016?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是 2 ．
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距．
【解答】解：双曲线
∴c==，
﹣=1中，a=，b=，
∴双曲线﹣=1的焦距是2．
故答案为：2．
【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．
第6页（共25页）

4．（5分）（20 16?江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 0.1 ．
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．
【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：
=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，
∴该组数据的方差：
S=[（4.7﹣5.1）+（4.8﹣5.1）+（5.1﹣5.1）+（5.4﹣5.1）+（5.5﹣5. 1）
]=0.1．
故答案为：0.1．
【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运
用．

5．（5分）（2016?江苏）函数y=
222222
的定义域是 [﹣3，1] ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．
【解答】解：由3﹣2x﹣x≥0得：x+2x﹣3≤0，
解得：x∈[﹣3，1]，
故答案为：[﹣3，1]
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．

6．（5分）（2016?江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 9 ．
22

【考点】程序框图．
【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，
模拟 程序的运行过程，可得答案．
第7页（共25页）

【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，
当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5
当a=9，b=5时，满足a＞b，
故输出的a值为9，
故答案为：9
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环 次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程
序法进行解答．

7．（5分）（20 16?江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6
个点的正方体玩具 ）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】出现向上的点数之和小于10的 对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利
用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和 小于10的概率．
【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5， 6个点的正
方体玩具）先后抛掷2次，
基本事件总数为n=6×6=36，
出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，
出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，
∴出现向上的点数之和小于10的概率：
p=1﹣=．
故答案为：．
【 点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式
的合理运用．

8．（5分）（2016?江苏）已知{a
n
}是等差数列，S
n
是其前n项和，若a
1
+a
2
=﹣3，S
5
=1 0，
则a
9
的值是 20 ．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公 式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求
出a
9
的值．
2
【解答】解：∵{a
n
}是等差数列，S
n
是其前n项和，a
1
+a
2
=﹣3，S
5
=10，
2
∴，
解得a
1
=﹣4，d=3，
∴a
9
=﹣4+8×3=20．
故答案为：20．
第8页（共25页）

【点评】本题考查等差数列的第9 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列
的性质的合理运用．

9 ．（5分）（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的 交
点个数是 7 ．
【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．
【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案．
【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：

由图可知，共7个交点．
故答案为：7．
【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的 图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]
上的图象是关键，属于中档题．

10．（5分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（ a＞b＞0）
的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ．

【考点】直线与椭圆的位置关系．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设右焦点F（c，0） ，将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的
条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式， 计算即可得到所求值．
【解答】解：设右焦点F（c，0），
将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，
可得B（﹣a，），C（a，），
由∠BFC=90°，可得k
BF
?k
CF
=﹣1，
第9页（共25页）

即有
22
?
2
=﹣1，
化简为b=3a﹣4c，
22222
由b=a﹣c，即有3c=2a，
由e=，可得e=
2
=，
可得e=，
． 故答案为：
【 点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考
查化简整理的运 算能力，属于中档题．

11．（5分）（2016?江苏）设f（x）是定义在R上且周 期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，
f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a） 的值是 ﹣ ．
【考点】分段函数的应用；周期函数．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据已知中函数的周期性，结合f （﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的
值．
【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）
=，
∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，
f（）=f（）=|﹣|=
∴a=，
∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，
故答案为：﹣
【点评】本题 考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答
的关键．

，
第10页（共25页）

12．（5分）（2016?江苏）已知实数x，y满足，则x+y的取值范围是 [，
22
13] ．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；转化法；不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 的几何意义，结合两点间的距离公式
以及点到直线的距离公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
22
设z=x+y，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
由图象知A到原点的距离最大，
点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，
由得，即A（2，3），此时z=2+3=4+9=13，
22
点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d=
22
=，
则z=d=（）=，
故z的取值范围是[，13]，
故答案为：[，13]．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．

13．（5分）（2016?江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD 上的两个三等
分点，?=4，?=﹣1，则?的值是 ．
第11页（共25页）

【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的性质及其运算律．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】由已知可得
=﹣+2
=+，= ﹣
2
+
2
，=
=
+3，=﹣+3，=+2，
，结合 已知求出=，，可得答案．
【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ∴
=
∴
?
∴
又∵
∴?
2
=+
+3
，
，
2
=﹣
=﹣
2
+
+3
，
，
?=
=9
2
﹣
2
=﹣1，
﹣
2
=4，
=，
=+2
=4
=，
，=﹣
2
+2，
2
﹣=，
故答案为：
【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．
< br>14．（5分）（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tan AtanBtanC的最
小值是 8 ．
【考点】三角函数的最值；解三角形．
【专题】三角函数的求值；解三角形．
【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinB sinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进
而得到tanB+ta nC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．
【解答】解：由sinA=sin（π﹣A ）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，
可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①
由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，
又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣
第12页（共25页）

②，

则tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC，
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，
令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，
由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，
tanAtanBtanC=﹣=﹣，
=（）﹣，由t＞1得，﹣≤
2
＜0，
因此tanAtanBtanC的最小值为8，
当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，
解得t anB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．
【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．

二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（14分）（2016?江苏）在△ABC中， AC=6，cosB=，C=
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．
【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形．
【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；
（2）求出cosA、sinA，利用两角 差的余弦公式求cos（A﹣
【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，
∴sinB=，
∵，
）的值．
∴AB==5；
（2）cos A=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣
∵A为三角形的内角，
∴sinA=，
．
第13页（共25页）

∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．
【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

16．（14分）（2016?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1< br>C
1
中，D，E分别为AB，BC的
中点，点F在侧棱B
1
B 上，且B
1
D⊥A
1
F，A
1
C
1
⊥A< br>1
B
1
．求证：
（1）直线DE∥平面A
1
C
1
F；
（2）平面B
1
DE⊥平面A
1
C
1
F．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A
1
C
1
，据此可得直线DE∥平面A
1
C
1
F1
；
（2）通过证明A
1
F⊥DE结合题目已知条件A
1F⊥B
1
D，进而可得平面B
1
DE⊥平面A
1
C1
F．
【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∵ABC﹣A
1
B
1
C
1
为棱柱，
∴AC∥A
1
C
1
，
∴DE∥A
1
C
1
，
∵A
1
C
1
?平面A
1
C
1
F，且DE?平面A
1
C
1
F，
∴DE∥A
1
C
1
F；

（2）∵ABC﹣A
1
B
1
C
1
为直棱柱，
∴AA
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
，
∴AA
1
⊥A
1
C
1
，
又∵A
1
C
1
⊥A
1
B
1
，且AA
1
∩ A
1
B
1
=A
1
，AA
1
、A
1
B
1
?平面AA
1
B
1
B，
∴A
1
C
1
⊥平面AA
1
B
1
B，
∵DE∥A
1
C
1
，
∴DE⊥平面AA
1
B
1
B，
又∵A
1
F?平面AA
1
B
1
B，
∴DE⊥A
1
F，
又∵A
1
F⊥B
1
D ，DE∩B
1
D=D，且DE、B
1
D?平面B
1
DE，
∴A
1
F⊥平面B
1
DE，
又∵A
1
F?平面A
1
C
1
F，
∴平面B
1
DE⊥平面A
1
C
1
F．
第14页（共25页）

【点评】本题考查直线与平面平 行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法
最关键，难答不大．

17．（14分）（2016?江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四
棱 锥P﹣A
1
B
1
C
1
D
1
，下部的形状是 正四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
（ 如图所示），并要求正四棱
柱的高O
1
O是正四棱锥的高PO
1
的4 倍．
（1）若AB=6m，PO
1
=2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO
1
为多少时，仓库的容积最大？

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；组合几何体的面积、体积问题．
【专题】转化思想；导数的综合应用；立体几何．
【分析】（1）由正四棱柱的高O
1
O是正四棱锥的高PO
1
的4倍，可得PO
1
=2m时，O
1
O=8m，
进而可得仓库的容积；
（2）设PO
1
=xm，则 O
1
O=4xm，A
1
O
1
=m，A
1
B
1
=m，代入体积公式，
求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．
【 解答】解：（1）∵PO
1
=2m，正四棱柱的高O
1
O是正四棱锥的高PO
1
的4倍．
∴O
1
O=8m，
∴仓库的容积V=×6×2+6×8=312m，
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，
设PO
1
=xm，
则O
1
O=4xm，A
1O
1
=
则仓库的容积V=×（?
m，A
1
B
1
=
）?x+（
2
223
m，
?）?4x=
2
x+312x，（0＜x
3
＜6），
2
∴V′=﹣26x+312，（0＜x＜6），
当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；
当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；
故当x=2时，V（x）取最大值；
即当PO
1
=2m时，仓库的容积最大．
【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．
< br>18．（16分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x+y
﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
第15页（共25页）

22

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得
范围．
+=，求实数t的取值

【考点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．
222
【分析】（1）设N（6， n），则圆N为：（x﹣6）+（y﹣n）=n，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，
由此能求 出圆N的标准方程．
（2）由题意得OA=2，k
OA
=2，设l：y=2x+b， 则圆心M到直线l的距离：d=，
由此能求出直线l的方程．
（3）=，即|
，2+ 2
|=
]，欲使
，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对
于任意t∈ [2﹣2，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线
的距离为，由此能求出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），
222
∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）+（y﹣n）=n，n＞0，
22 22
又圆N与圆M外切，圆M：x+y﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）+（x﹣7 ）=25，
∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，
22
∴圆N的标准方程为（x﹣6）+（y﹣1）=1．
（2）由题意得OA=2，k
OA
=2，设l：y=2x+b，
则圆心M到直线l的距离：d==，
则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，
解得b=5或b=﹣15，
∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．
（3）
|
又|

=，即
，
，即||=||，
|=
|≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2
第16页（共25页）
，2+2]，

对于任意t∈[2﹣2
此时，||≤10，
，2+2]，欲使，
只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，
必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，
因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法 ，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，
是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合 理运用．

19．（16分）（2016?江苏）已知函数f（x）=a+b（a＞0，b ＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b=．
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；函数零点的判定定理．
【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】（1） ①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数
的最值，转化求解即可． < br>xx
（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a+b﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=< br>xx
+，
求出g（x）的最小值为：g（x
0
）．同理①若g（x0
）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件
矛盾．②若g（x
0
）＞0 ，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x
0
）=0，
然后求 解ab=1．
xx
【解答】解：函数f（x）=a+b（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b=．
①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．
≥m（）﹣6恒成立． ②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即
令t=，t≥2．
不等式化为：t﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或
2
2

即：m﹣16≤0或m≤4，
∴m∈（﹣∞，4]．
实数m的最大值为：4．
第17页（共25页）

（2）g（x）=f（x）﹣2=a+b﹣2，
g（′x）=axlna+bxlnb=ax [+]，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，
xx
则h（x）是递增函数，而，lna ＜0，lnb＞0，因此，x
0
=
x
时，h（x
0
）=0，
因此x∈（﹣∞，x
0
）时，h（x）＜0，alnb＞0，则g′（x）＜0． < br>x
x∈（x
0
，+∞）时，h（x）＞0，alnb＞0，则g′（x）＞0，
则g（x）在（﹣∞，x
0
）递减，（x
0
，+∞）递增，因此g（ x）的最小值为：g（x
0
）．
①若g（x
0
）＜0，x＜log
a
2时，a＞
x
=2，b＞0，则g（x）＞0，
x
因此 x
1
＜log
a
2，且x
1
＜x
0
时，g （x
1
）＞0，因此g（x）在（x
1
，x
0
）有零点，
则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．
②若g（x
0
）＞0，函数g（ x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x
0
），
可得g（x
0
）=0，
00
由g（0）=a+b﹣2=0，
因此x
0
=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．
可得ab=1．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的 应用，函数恒
成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．

20．（16分）（ 2016?江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a
n
}（n∈N）和U的子集T， 若
T=?，定义S
T
=0；若T={t
1
，t
2
， …，t
k
}，定义S
T
=
*
*
++…+．例如：T ={1，3，66}
时，S
T
=a
1
+a
3
+a< br>66
．现设{a
n
}（n∈N）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时 ，S
T
=30．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（ 2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求证：S
T
＜a
k+1
；
（3）设C?U，D?U，S
C
≥S
D
，求证 ：S
C
+S
C∩D
≥2S
D
．
【考点】数列的应 用；集合的包含关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的
综合．
【专题】计算题；新定义；探究型；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）根据 题意，由S
T
的定义，分析可得S
T
=a
2
+a
4
=a
2
+9a
2
=30，计算可得a
2
=3，进< br>而可得a
1
的值，由等比数列通项公式即可得答案；
2k
﹣
1
（2）根据题意，由S
T
的定义，分析可得S
T
≤a
1< br>+a
2
+…a
k
=1+3+3+…+3，由等比数列的前n
项 和公式计算可得证明；
（3）设A=?
C
（C∩D），B=?
D
（ C∩D），则A∩B=?，进而分析可以将原命题转化为证明S
C
≥2S
B
，
分2种情况进行讨论：①、若B=?，②、若B≠?，可以证明得到S
A
≥2S
B
，即可得证明．
【解答】解：（1）当T={2，4}时，S
T
=a< br>2
+a
4
=a
2
+9a
2
=30，
因此a
2
=3，从而a
1
=
故a
n
=3
n
﹣
1
=1，
，
第18页（共25页）

（2）S
T
≤a
1
+a
2
+…a
k
=1+3+3+…+3
2k
﹣
1
=＜3=ak+1
，
k
（3）设A=?
C
（C∩D），B=?
D
（C∩D），则A∩B=?，
分析可得S
C
=S
A
+S< br>C∩D
，S
D
=S
B
+S
C∩D
，则SC
+S
C∩D
﹣2S
D
=S
A
﹣2S
B
，
因此原命题的等价于证明S
C
≥2S
B
，
由条件S
C
≥S
D
，可得S
A
≥S
B
，
①、若B=?，则S
B
=0，故S
A
≥2S
B
，
②、若B≠?，由S
A
≥S
B
可得A≠?，设A中最大元素为l，B 中最大元素为m，
若m≥l+1，则其与S
A
＜a
i+1
≤am
≤S
B
相矛盾，
因为A∩B=?，所以l≠m，则l≥m+1， < br>S
B
≤a
1
+a
2
+…a
m
=1+ 3+3+…+3
2m
﹣
1
=＜=，即S
A
≥2S
B
，
综上所述，S
A
≥2S
B
，
故S
C
+S
C∩D
≥2S
D
．
【点评】 本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定
义的描述．

附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区
域内 作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.A．【选修4 —1几何证明选讲】
21．（10分）（2016?江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°， BD⊥AC，D为垂足，E为BC
的中点，求证：∠EDC=∠ABD．

【考点】三角形的形状判断．
【专题】转化思想；综合法；解三角形．
【分析】依 题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可
得∠ABD=∠C，从而可证得结论．
【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，
因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，
则：∠EDC=∠C，
由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，
由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，
因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，
所以，∠EDC=∠ABD．
【点评】 本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得
∠ABD=∠C 是关键，属于中档题．

第19页（共25页）

B.【选修4—2：矩阵与变换】
22．（2016?江苏）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵 B=
﹣
1
，求矩阵AB．
【考点】逆变换与逆矩阵；矩阵乘法的性质．
【专题】转化思想；定义法；矩阵和变换．
【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B）=
﹣
1
﹣
1
=，再利用矩阵乘法的性质
可求得答案．
【解答】解：∵B=
﹣
1
，
∴B=（B）=
﹣
1
﹣
1
=，又A=，
∴AB==．
【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．

C.【选修4—4：坐标系与参数方程】
23．（2016?江苏）在平面直角 坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参
数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l 与椭圆C相交于A，B两点，
求线段AB的长．
【考点】直线的参数方程；直线与椭圆的位置关系；椭圆的参数方程．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；坐标系和参数方程．
【分析】分别化直线与椭圆的 参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交
点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．
【解答】解：由，由②得，
代入①并整理得，．
第20页（共25页）

由，得，
两式平方相加得．
联立，解得或．
∴|AB|=．
【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查 直线与椭圆位
置关系的应用，是基础题．

24．（2016?江苏）设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．
【考点】绝对值不等式．
【专题】转化思想；综合法；不等式．
【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．
【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，
可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|
≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，
则|2x+y﹣4|＜a成立．
【点评】 本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单
性质，考查运算能力， 属于基础题．

附加题【必做题】
25．（2016?江苏）如图，在平面直角 坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：
2
y=2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②求p的取值范围．

【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．
第21页（共25页）

【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．
（2）：①设点P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），通过抛物线方 程，求解k
PQ
，通过P，Q关于直线
l对称，点的k
PQ
=﹣1， 推出，PQ的中点在直线l上，推出=2﹣p，即
可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）； < br>②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y+2py+4p﹣
22
4 p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．
【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），
即抛物线的焦点坐标（2，0）．
∴，
2
∴抛物线C：y=8x． （2）证明：①设点P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），则：，
即：，k
PQ
==，
又∵P，Q关于直线 l对称，∴k
PQ
=﹣1，即y
1
+y
2
=﹣2p，∴，
又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，
∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．
∴，即
∴
2
，即关于y+2py+4p﹣4p=0，有两个不相等的实数根，
2
22
∴△＞0，（2p）﹣4（4p﹣4p）＞0，
∴p∈．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及
计算能力．
第22页（共25页）

26．（2016?江苏）（1）求7C
*
﹣4C的值；
+（m+2）C+ （m+3）C+…+nC+（2）设m，n∈N，n≥m，求证：（m+1）C
（n+1）C=（m+1 ）C．
【考点】组合及组合数公式．
【专题】证明题；转化思想；综合法；排列组合．
【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7
*
的值．
（2）对任意m ∈N，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出
当n=k+1时，命题 也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C
C+…+nC+（n+1）C


=（m+1）C．
+（m+2）C+（m+3）
【解答】解：（1）7
=﹣ 4×
=7×20﹣4×35=0．
*
证明：（2）对任意m∈N，
①当n=m时，左边=（m+1）
右边=（m+1）
=m+1，
=m+1，等式成立．
②假设n=k（k≥m）时命题成立，
即（m+1）C
当n=k+1时，
左边=（m+1）
=
右边=∵
=（m+1）[
=（m+1）×
=（k+2）
第23页（共25页）

+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），
+（m+2）+（m+3）
，
++（k+1）+（k+2）


﹣
[k+3﹣（k﹣m+1）]
]

=（k+2）
∴
，
=（m+1），
∴左边=右边，
∴n=k+1时，命题也成立，
∴m，n∈N，n≥m，（m+1）C
（m+1）C．
*
+（m+2）C+ （m+3）C+…+nC+（n+1）C=
【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要 认真审题，注意组合数公式和
数学归纳法的合理运用．

第24页（共25页）

参与本试卷答题和审题的老师有：翔宇老师；沂蒙松； 546278733@；zlzhan；wfy814；
双曲线；maths；ww方；大何；qiss ；danbo7801；sxs123（排名不分先后）
菁优网
2016年6月13日
第25页（共25页）