怎样做合格的高中数学教师-高中数学必修3程序相关题目
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函数专题:单调性与最值
一、增(减)函数
1.概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变
量x
1
,x
2
,当x
1
时,都有
f(x
1
)
),那么就说f(x)在区间D上是增函数。
注意:
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
②增(减)函数是相对于相应区间而言的,不能离开相应的区间讨论增减性。
二、判断函数单调性的常用方法
1、(图像法)根据函数图象说明函数的单调性.(直观)
例1、 如图是定义在区间[-5,5]上的函数
y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以
及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
2.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
①
任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
② 作差f(x
1
)-f(x
2
);
③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
例、证明函数
y?x?
.
1
在(0,1)上为减函数.
x
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例、判断函数
y
?
x
?
p
单调性.(p>0)
x
【归纳小结】
函数的单调性一般是先根据图象判
断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,
求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调
性的证明一般分五步:取 值 → 作 差
→ 变 形 → 定 号 → 下结论
3、直接法
对基本初等函数,如一次函数、二次函数、反比例函数可以直接写出它们的单调区间.
(1)
一次函数y=kx+b,当k>0时,增区间是(-∞,+∞);当k<0时,减区间是(-∞,+∞)
(2)
〖针对性练习〗
1
1.函数
y??
的单调区间是( )
x
A.(-
?
,+
?
)
B.(-
?
,0)和(1,
?
,)
C.(-
?
,1)和(1,
?
) D.
(-
?
,1)
U
(1,
?
)
2.
若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+
?
),求a的值。
.
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3.函数
y??x
2
?2x?3
的增区间是( )。
1
(??,?3)
D.
(?1,?)
3
A.[-3,-1] B.[-1,1]
C.
?1?a??
4、已知函数
f(x)?x?
1
判断
f(x)
在区间〔0,1〕和(1,+
?
)上的单调性。
x
,
5、已知函数y=
f(x)
是定义在[-1,
2]上的增函数,且满足:f(a-1)>f(1-3a),求实数a的取值范围。
6、已知f(x)=x
2
-2(1-a)x+2在(
-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆
1、定义:
设y=f(u),u=g(x),当x
在u=g(x)的定义域中变化时,u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化,
因此变量x与y
之间通过变量u形成的一种函数关系,记为
y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数,其中
x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函
数)
2、复合函数f[g(x)]的单调
性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
函数
.
单调性
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u?g(x)
y?f(u)
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
y?f
?
g(x)
?
例、已知y?f(u)?u?1,u?g(x)??3x?2
,求
y?f
?
g(x
)
?
的单调性。
例、已知
y?f(u)?
u
2
?1,u?g(x)?x?1
,求函数
y?f
?
g(x
)
?
的单调性。
〖针对性训练〗 1、已知
y?f(u)?u
2
?1,u?g(x)??x?1
,求函数<
br>y?f
?
g(x)
?
的单调性。
<
br>2、已知
f(x)?8?2x?x
2
,如果
g(x)?f(2?x2
)
,那么
g(x)
( )
A.
在区间(-1,0)上是减函数 B. 在区间(0,1)上是减函数
C.
在区间(-2,0)上是增函数 D. 在区间(0,2)上是增函数
3、已知函数f(x
)=8+2x-x
2
,g(x)=f(2-x
2
),试求g(x)的单调区间
.
.
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三、函数的最大(小)值
1.函数最大(小)值定义
1)最大值:一般地,设函数
y?f(x)
的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的
x?I
,都有
f(x)?M
; (2)存在<
br>x
0
?I
,使得
f(x
0
)?M
.
那么,称M是函数
y?f(x)
的最大值.
2)最小值:一般地,设函数
y?f(x)
的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的
x?I
,都有
f(x)?M
; (2)存在
x
0
?I
,使得
f(x
0
)?M
.
那么,称M是函数
y?f(x)
的最小值.
注意:
①函数最大(
小)首先应该是某一个函数值,即存在
x
0
?I
,使得
f(x
0
)?M
;
②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的<
br>x?I
,
f(x)?M(f(x)?m)
.
例、求函数
y?
x
2
?2x?3当自变量x在下列范围内取值时的最值
.
①
?1?x?0
②
0?x?3
③
x?(??,??)
例、求函数
y?
2
x?1
在区间[2,6] 上的最大值和最小值.
.
都有
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例、设函数f(x)=(x+a)
2
对于任意实数t
∈R都有f(1-t)=f(1+t).
(1)求a的值;
(2)如果x∈[0,5],那
么x为何值时函数y=f(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最大值.
【针对性练习】
一、选择题
1.函数y=4x-x
2
,x∈[0,3]的最大值、最小值分别为( )
(A)4,0
2.函数
y?
(A)
二、填空题
1.函数y=2x
2
-4x-1 x∈(-2,3)的值域为______. 2.函数
y
?
1
2
1
x?x
2
(B)
2,0
的最小值为( )
(B)1
(C)3,0 (D)4,3
(C)2 (D)4
2
x
?
x
2
的值域为______.
.
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3、函数
y?x
2
?4x?5(x?<
br>?
0,3
?
三、解答题
?
的值域是 。
?
2
x
,x?0
1.求函数
f(x)?
?
的值域.
?x,x?0
?
2. 已知函数f(x)在R上是减函数,对于任意的x,y∈R,总有f(x)+f(y)
=f(x+y),f(1)=-23,求f(x)在[-3,3]
上的最值。
3、求函数y=
的值域.
.
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四、奇偶性
1.概念
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)
,那么函
数f(x)就叫做偶函数;如果都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
。
从图像的角度,图像关于y轴对称的函数是偶函数,关于原点对称的函数
是奇函数。 例.下面三个结论:①偶函数的图像一定与y轴相交;②奇函数的图像一定通过
原点;③偶函数的图
像关于y轴对称.其中正确的个数有几个?
2.判断函数奇偶性的一般步骤:
①求定义域,判断其定义域是否关于原点对称(不对称→非奇非偶)
②化简函数f(x)的解析式,并求f(-x)
③根据f(-x)与非f(x)的关系,判断函数f(x)的奇偶性
例、判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
(2)f(x)=
.
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3.奇(偶)函数的性质
①f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|)
②若奇函数在原点处有定义,则f(0)=0
③偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为
偶函数;奇函数的和、差仍为
奇函数;奇数个奇函数的积、商为奇函数;一个奇函数与一个偶函数的积是
奇
函数。
④若函数f(x)为奇函数,则f(x)在关于原点对称的两个区间[a,b]和[
-b,-a]具有相同
的单调性;反之,偶函数具有相反的单调性。
例、设f(x
)是奇函数,在(0,+∞)上是减函数,试证明f(x)在(-∞,0)上是
减函数.
.
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例、判断下列函数的奇偶性:
(1)y=ax+bx,(a,b≠0)
(2)y=ax(x
2
+1),a≠0
【针对性练习】
1. 已知f(x)=x
5
+ax
3<
br>+bx-8,且f(-2)=10,求f(2).
2、设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的
是()
A、f(x)+|g(x)|是偶函数
B、f(x)-|g(x)|是奇函数
C、|f(x)|+g(x)是偶函数
D、|f(x)|-g(x)是奇函数
3、判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|,a∈R的奇偶性.
.
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4.设函数f(x)是定义在R
上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,求
f(32).
5.函数f(x)=1x-x的图像关于(
A、y轴对称
C、坐标原点对称
)
B、直线y=-x对称
D、直线y=x对称
.