高中数学问卷调查-2018年高中数学联赛重庆
数学必修4第二章 平面向量知识点
2.1
平面向量的实际背景及基本概念
1. 向量:既有大小又有方向的量。
2. 向量的模:向
量的大小即向量的模(长度),如
AB,a
的模分别记作|
AB
|和
|a|
。
注:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。
3. 几类特殊向量
(1)零向量:长度为0的向量,记为
0
,其方向是任意的,
0
与任
意向量平行,
??
零向量
a
=
0
?
|
a
|=0。由于
0
的方向是任意的,且规定
0
平行于任何向量,
故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注
意与0的区别)
?
(2)单位向量:模为1个单位长度的向量,向量
a
0
为单位向量
?|a
0
|?1
。将一个
向量除以它的模即得到单位向量,如
a
的单位向量为:
e
a
?
a
|a|
?
?
(3)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作
a
∥
b
。
规定:
0
与任何向量平等,
任
意一组平行向量都可以移到同一直线上,由于向量可以进行任意的平移
(即自由向量),平行向量总可以
平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个
要素,起点可以任意
选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
??
(4)相反向量:
与
a
长度相等、方向相反的向量,叫做
a
的相反向量。记作
?a。
?
?
关于相反向量有:① 零向量的相反向量仍是零向量,
②
?(?a)
=
a
;
③
?
?
a?(?a)?0
;
④若
a
、
b
是互为相反向量,则
???
?
???
a
=
?b<
br>,
b
=
?a
,
a
+
b
=
0
。
?
?
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量。记为
a?b
。相等向量经过平移后
总可以重合。
2.2
平面向量的线性运算
1.向量加法
(1)定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法 ?
设
AB?a,BC?b
,则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC
。
?
??
?
?
规定:
0?a?a?0?a
;
(2)向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”
①
用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量
是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。
② 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向
最后一个向量的终点的有向线
段就表示这些向量的和。
注:当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向
量是首尾连接时,用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
AB?BC?CD??PQ?QR?AR
,但这时必须“首尾相连”。
(3)向量加法的运算律:
①交换律:
a?b?b?a
②结合律:
(a?b)?c?a?(a?c)
2.法向量的减
(1) 定
义:若
a?x?b
则向量
x
叫做
a
与
b
的
差,记为
b?a
。求两个向量
差的运算,叫做向量的减法。
(2)
向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”
?
① 三角形法则:当
a,
b
有共同起点时,
a?b
表示为从减向量
b
的终
?
点指向被减向量
a
的终点的向量。
C
② 平行四边形法则:两个已知向量
是要共始点的,差向量是如图所
?
a?b
示的对角线。设
AB?a,AC?b
则
a
-
b
=
AB?AC?CB
.
b
3.实数与向量的积
B
A
a
?
(1) 定义
:实数λ与向量
a
的积是一个向量,记作
?
a
,它的长度与方向规定如下:
??
①
?
a?
?
?a
;
??
② 当
?
?0
时,
?
a
的方向与a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与<
br>a
的方
?
?
向相反;当
?
?0
时,
?
a?0
,方向是任意的。
(2) 数乘向量的运算律
①
?<
br>(
?
a)?(
??
)a
;②
(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a
;③
?
(a
?b)?
?
a?
?
b
。
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理:如果
e
1
,
e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内
的任一
向量
a
,有且只有一对实数λ
1
,λ
?
2
使
?
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2<
br>.
注意:(1)
我们把不共线向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2) 基底不惟一,关键是不共线;
?
?
?
?
?
?
?
2.向量的夹角:已知两个非零向量
a
、
b
,作
OA?a
,
OB?b
,则∠AOB=
?,叫向量
a
、
?
?
?
?
?
?
?
b
的夹角,当
?
=0°,
a
、
b
同向,
当
?
=180°,
a
、
b
反向,当
?
=9
0°,
a
与
b
垂直,
?
?
记作
a
⊥
b
。
3.平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的
两个
单位向量
i,j
作为基底,由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量
a
可表
示成
a?xi?yj
,由于
a
与数对(x,y)是
一一对应的,因此把(x,y)叫做向量
a
的
坐标,记作
a
=(x,
y),其中x叫作
a
的横坐标,y叫做作纵坐标。
规定:
①
i?(1,0)
,
j?(0,1)
②
相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量;
③
向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与
其相对位置有关
4.平面向量的坐标运算:
①若
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
;
②若
A
?
x
1
,y
1
?
,B?
x
2
,y
2
?
,则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
;
③若
a
=(x,y),则
?
a
=(
?
x,
?
y);
④若
a?(x
1
,y
1
),b
?(x
2
,y
2
)
,则
ab?x
1
y2
?x
2
y
1
?0
;
a?b?x
1<
br>x
2
?y
1
y
2
⑤若
a?(x<
br>1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
, 则
a?b?x
1
?x
2
,y
1
?y
2
附:向量的表示方法:
1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如
AB
,注意起点在前,终点在后;
4. 2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如
a
,
b
,
c
等;
5. 3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与
x
轴、
y
轴方向相同的两个
单位向量
i
,
j
为基底,
则平面内的任一向量
a
可表示为
a?xi?yj?
?
x,y
?
,
称
?
x,y
?
为向量
a
的坐标,a
=
?
x,y
?
叫做向量
a
的坐标表示。如果
向量的起点
在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
?
运算
向量形式
坐标形式:
a?
?
x
1
,y
1
?
;
?
b?
?
x
2
,y
2
?
加法 <1>平行四边形法则:起点相同,
对角线为和向量。
<2>三角形加法法则:首尾相连。
记:
AB?BC?AC
a?
b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
减法 起点相同的两个向量的差,(箭头
指向被减向量)
记:
OA?OB?BA
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
AB?AC?CB
数乘
?
a
是一个向量,
?
a?|
?
||a|
方向:与
a
同向;
?
?0
时,
?
?0时,
与
a
反向;
?
?0
时,
?
a?0
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
?
数量积
a?b?|a||b|cos
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
运算性
①交换律:
a?b?b?a
;②结合律:
a?b?c?a?b
?c
;③
质
????
a?0?0?a?a
。
加法:
C
a
b
?
?
a?b??C?????C
减法:
2.4 平面向量的数量积
(1)
平面向量的数量积的定义
①向量
a,b
,的夹角:已知两个非零向量
a,b
,过O点作
OA?a
,
OB?b,
则
∠AOB=θ(00
≤θ≤180
0
)叫做向量
a,b
,的夹角。当且仅当两个非
零向量
00
a,b
同方向时,θ=0,当且仅当
a,b
反方向时θ=
180,同时
0
与其它任何
非零向量之间不谈夹角这一问题。
②
a
与b
垂直;如果
a,b
的夹角为90
0
则称
a与b
垂直,记作
a?b
。
sc
?
叫做称
a与b
③a与b
的数量积:两个非零向量
a,b
,它们的夹角为θ,则
a?b?o
的数量积(或内积),记作
a?b
,即
a?b
=
a?b?c
os
?
,规定
0?a
=0 非零向
b
b
o
?
P
a
P
o
?
a
量
a与b
当且仅当
a?b
时,θ=90
0
,这时
a?b
=0。 ④
b
在
a
方向上的投影:
OP?bcos
?
(
?
a?b
a
)?R
(注意
OP
是射影)所以,
a?
b
的几何意义:
a?b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上的投影的乘积。
(2) 平面向量数量积的性质
设
a,b是两个非零向量,
e
是单位向量,于是有:①
e?a?a?e?acos
?
;②
a?b?a?b?0
;
③当
a与b
同向时,
a?b?a?b
;当
a与b
反向时,
a?b??a?b
,特别地,
a?a?a?a
。
④
cos
?
?
2
2
a?b
a?b
;⑤
a?b?a?b
(3)平面向量数量积的运算律
①交换律成立:
a?b?b?a
②对实数的结合律成立:
?
?
a
?
?b?
?
?a?b
?
?a?
?
?
b
?
?
?
?R
?
③分配律成立:
?
a?b
?
?c?a?
c?b?c?c?
?
a?b
?
特别注意:(1)结合律不成立:<
br>a?
?
b?c
?
?
?
a?b
?
?c
;(2)消去律不成立
a?b?a?c
不能得到
b?c?
(3)a?b
=0不能得到
a
=
0
或
b
=0
④但是乘法公式成立:
?
a?b
?
?
?
a?b<
br>?
?a
2
?b?a?b
2
22
;
?
a?b
?
?a
22
?2a?b?b
?a?2a?b?b
2
2
2
(3) 平面向量数量积的坐标表示
①若
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y<
br>2
)则
a?b
=x
1
x
2
+y
1<
br>y
2
22
②若
a
=(x,y),则|
a<
br>|
2
=
a
.
a
=x+y,
a?x
2
?y
2
③若A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
AB?
?
x
2
?
x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
④若
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
)则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
(注意与
a
b
时条件区别,
ab
?x
1
y
2
?x
2<
br>y
1
?0
)
若
a
=(x
1
,y<
br>1
),
b
=(x
2
,y
2
)则
co
s
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y
2
22
2.5 平面向量应用列举
1、
线段的定比分点
(1)定义:设P
1
,P
2
是直线L上的两点,点
P是L上不同于P
1
,P
2
的任意一点,
则存在一个实数
?
,使
p
1
p?
?
pp
2
,
?
叫做点P分有向线段
P
1
P
2
所成的比。当点P在线
段
P
1
P
2
上时,
?
?0
;当点P在线段
P
1
P
2
或
P
1
P
2<
br>的延长线上时,
?
<0
(2)定比分点的坐标形式
x
1
?
?
x
2
?
x?
?
1??
,其中P
1
(x
1
,y
1
),
P
2
(x
2
,y
2
), P (x,y),向量形式呢?
?
y?
?
y
2
?
y?
1
1??
?
(3)中点坐标公式
x
1
?x
2
?x?
?
2
,向量形式呢? 当
?
=1时,分点P为线段
P
的中点,即有
?
1
P
2
y?y
2
?y?
1
2
?
2、平移
(1)图形平移的定义:设F是坐标平面
内的一个图形,将图上的所有点按照同
一方向移动同样长度,得到图形F
’
,我们把这
一过程叫做图形的平移。
(2)平移公式设P(x,y)是图形F上任意一点,它在平移后图形上的对
应点P
’
(x
’
,y
’’
),
'
?
x?x?h
且
PP
'
的坐标为(h,k),则有
?
',这个公式叫做点的平移公式,它反映
?
y?y?k
了图形中的每一点在平移后的
新坐标与原坐标间的关系。