高中数学如何计算优秀率-高中数学选修2-2和2-3试卷(含答案)
高中数学教师招聘考试数学试题
一.选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分
。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的,请将正确的答案填在答题卡对应的方格内)
1.已知集合
A?{?1
,
0
,
1}
,集合
B?{(x,y)|x?A,y?A,x?y?A}
,则集合B中所含元
素的个数为( )
A 3 B 5 C 7 D 9
2.若函数
f(x)?
?
?
2x?1,
x?1
,则
f(f(e))?
x?1
?
lnx,
A 3 B
2e?1
C
e
D 1
3.函数
f(x)?2
x
?x
3
?2
在
区间(0,1)内的零点个数是
A 0 B 1 C 2
D 3
4.若
a?0,b?0,a?b?2
,则下列不等式对一切满足条件的a,b
恒成立的是( )
(填写正确命题的编号).
①
ab?1
; ②
a?b?
④
a?b?3
; ⑤
33
2
; ③
a
2
?b
2
?2
;
11
??2
ab
A ③⑤ B ①②④
C ②③⑤ D ①③⑤
5.若
?ABC
外接圆的半径为1,圆心为
O,BC为圆O的直径,且AB=AO,则
CA?CB
等于 (
)
A.
3
B.
3
C.3 D.
23
2
3
6. 设曲
线
f
?
x
?
?2ax?a
在点
(1,a)
处的切线与直线
2x?y?1?0
平行,则实数
a
的值为
A
11
B C 2
D 3
312
7.复数
(i?1)i
的共轭复数是( )
A
?1?i
B
?1?i
C
1?i
D
1?i
8.已知双曲线的顶点与焦点分
别是椭圆
x
2
a
2
?
y
2
b
2<
br>?1(a?b?0)
的焦点与顶点,若双曲线
的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰
为正方形,则椭圆的离心率为( )
A.
1
3
B.
1
2
C.
3
3
D.
2
2
9.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的体积是( )
10.已知等差数列
{a
n
}
中,
a
7
?a
9
?16,a
4
?1
,则
a
12
的值是( )
A.15
选择题答题卡
题号
答案
二.填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分,将正确的答案填在横线上。
11. 已
知
a,b,c
分别是
?ABC
的三个内角
A
且
B<
br>是
,B,C
所对的边,若
a?1,b?3,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B.30 C.31 D.64
第9题
A.
84
B.
C.
4
D.8
33
A
与
C
的等差中项,则
sinA
=
12. 已知圆C过点(1,0),且圆心在
x
轴的正半轴上,直线
l
:
y?x?1
被该圆所截得的弦
长为
22
,则圆C的标准方程为
.
13.设
m
,
n
是两条不同的直线,
?
,
?
,
?
是三个不同的平面.有下列四个命题:
①若
?
?
,
m?
?
,
n?
?<
br>,则
mn
;
②若
m?
?
,
m
?
,则
?
?
?
;
③ 若
n?
?
,
n?
?
,
m?
?
,则
m?
?
;
④ 若
?
?
?
,
?
?
?
,
m?
?
,则
m?
?
.
其中错误命题的序号是
..
727
5
14.已知
(x?m)?a
0
?a
1
x?a
2
x?...a
7
x
的展开式中
x
的系数是189,则实数
m
= .
15.将容量为
n的样本中的数据分为
6
组,绘制频率分布直方图,若第一组至第六组的数
据的频
率之比为
2
:
3:4:6:4:1
,且前三组数据的频数之和为
27
,
则
n
=__________
三.解答题(本题共6小题,共55分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本题满分8分)
已知函数
f(x)?3cos(
?
x?
?
) (?
?0,?
过点
(
?
2
且其图象经
?
?
?0)
的最小正周期为
?
,
5
?
,0)
。
12
(1) 求函数
f(x)
的解析式;
(2)
若函数
g(x)?f(
32
x
??
,
?),
?、
?
?(0,)
,且
g(
?
)?1,g(
?
)?4
262
求
g(
?
?
?
)
的值。
17.(本题满分8分)
已知单调递增的等比数
列
{a
n
}
满足:
a
2
?a
4
?
20,a
3
?8
.
(Ⅰ)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(Ⅱ)若
b<
br>n
?a
n
?log
1
a
n
,数列
?
b
n
?
的前n项和为
S
n
,求
S
n
.
2
18.(本题满分9分)
如图,在三棱锥
P?ABC
中,
AB?A
C
,
D
为
BC
的中点,
PO
⊥平面
ABC
,垂足
O
落在线段
AD
上.
(Ⅰ)证明:
AP
⊥
BC
;
P
(Ⅱ)已知BC?8
,
PO?4
,
AO?3
,
OD?2
.
求二面角
B?AP?C
的大小.
B
A
O D
C
19.(本题满分10分)
一个盒子里装有标号为1,2,3的3大小、颜色、质地完全相同的小球,现在有放回地
从盒
子中取出2个小球,其标号记为
x,y
,记
?
?|x?1|?|x?y|.
(1)设
?
的取值集合为M,求集合M中所有元素的总和;
(2)求
?
?2
时的概率.
20.(本题满分10分)
已知椭圆C:
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1(a?b?0)
的
离心率为
2
,其中左焦点F(-2,0).
2
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 若直线
y?x?m
与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在
圆
x
2
?y
2
?1
上,求
m
的值
.
21.(本题满分10分)
已知
fx
时有极值0.
()?x?3ax?bxa?
在
x
??1
(1)求常数
a、b
的值;
(2)求
f(x)
的单调区间.
322
参考答案
一、CABDC ABDBA
二、11.
三、
16. 解:(1)依题意函数的最小正周期
T?
因为函数
f(x)
的图象经过点
(
得到
2?
由
?
1
12.
(x?3)
2
?y
2
?4
13. ①④
14. 3,-3 15. 60
2
2
?
?
解得
?
?2
,所以
f(x)?3cos(2x?
?
)
?
?
,
5
?
5
?
,0)
,所以
3c
os(2??
?
)?0
,
1212
5
??
??
?
?k
?
?,k?Z
,即
?
?k
?
?,k?Z
,
1223
?
2
?
?
?0<
br>得
?
??
?
3
,故
f(x)?3cos(2x??
3
。。。。。4分
)
。
(2)依题
意有
g(x)?3cos[2?(
x
??
?)?]?3cosx
,由
g(
?
)?3cos
?
?1
263
得<
br>cos
?
?
322
1
,同理
g(
?
)?3cos
?
?
,得
cos
?
?
,
4
4
3
而
?
、
?
?(0,
?
2
)<
br>,所以
sin
?
?1?cos
2
?
?
14<
br>,
4
22
,
3
sin
?
?1?cos<
br>2
?
?
所以
g(
?
?
?
)?3co
s(
?
?
?
)?3(cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
)
=
3?(?
1
3
22214
??)?
434
2?47
。。。。。。。。8分
4
17. 解:(Ⅰ)设等比数列
{a
n
}
的首项为
a
1
,公比为q,
1
?
3
?<
br>?
q?2
?
q?
?
a
1
q?a
1<
br>q?20
依题意,有
?
,解之得
?
或
?
2<
br>;
2
a?2
?
?
1
?
a
3
?a
1
q?8
?
?
a
1
?32
又
{a
n
}
单调递增,∴
?
n
?
q?2
n
,∴
a
n
?2
.
?
a
1
?2
nn
2
………5分
(Ⅱ)依题意,
b
n
?2?log
1
2?2?n
, 2(1?2
n
)n(n?1)n(n?1)
∴
S
n
?<
br>, 。。。。。。。。。8分
??2
n?1
?2?
1?222
18.
(Ⅰ)证明:由AB=AC,D是BC中点,得
AD?BC
,
又
PO?
平面ABC,,得
PO?BC
因为
PO?AD
?O
,所以
BC?
平面PAD,故
BC?PA.
。。。。3分
(Ⅱ)解:如图,在平面PAB内作
BM?PA
于M,连CM。
因为
BC?PA,得PA?
平面BMC,所以AP
?
CM。
故
?BMC
为二面角B—AP—C的平面角。
。。。。。5分
222
在
Rt?ADB中,AB?AD?BD?41,得AB?41
在
Rt?POD中,PD?PO?OD
,
在
Rt?PDB
中,
PB
2
?PD
2
?BD
2
,
所以
PB?PO?OD?BD?36,得PB?6.
在
Rt?POA中,PA?AO?OP?25,得PA?5.
222
2222
222
PA
2
?PB
2
?AB
2
122
?,从而sin?BPA?
又
c
os?BPA?
2PA?PB33
故
BM?PBsin?BPA?42
同理
GM?42.
因为
BM?MC?BC
所以
?BMC?90?
, 即二面角B—AP—C的大小为
90?.
。。。。。。9分
222
19.
解:(1)由题意得:
当
x?1
时,
y
可以取1,2,3,
对应的
?
的值为0,1,2;
当
x?2
时,
y可以取1,2,3,对应的
?
的值为2,1,2;
当
x?3
时
,
y
可以取1,2,3,对应的
?
的值为4,3,2;
故
?
的取值集合M为{0,1,2,3,4}.
所以集合M中所有元素的总和为0+1+2+3+4=10. ………….5分
(2)
记取出的2个小球的标号为
x,y
,则
(x,y)
共有9种情况:
(1,1),(1,2)(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,
3).其中(1,3),(2,1),(2,3),(3,3)满足
?
?2
,
共4种情况。故
?
?2
时的概率为
4
。 。。。。。。。。。。。。。。。10分
9
?
c2
?
?
a2
?
?
a?22
?
20. 解:(1)由题意得,得
?
c?2
解得
?
?
b?2
?
222
?
a?b?c
?
?x
2
y
2
??1
。故椭圆的方程为:。。。。。。。。。4分
84
(2)设点A
(x
1,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
,线段AB的中点为M
(x
0
,y
0
)
,
?<
br>x
2
y
2
?
??1
22
由
?
8
消去
y
得,
3x?4mx?2m?8?0
4
?
y?x?m
?
???96?8m
2
?0??23?m?23
,
x?x
2
2mm
?x
0
?
1
??,
y
0
?x
0
?m?
。。。。。。。。8分
233
又点M在圆
x
2
?y
2
?1
上,
?(?
2m
2
m35
)?()
2
?1,?m??<
br> 。。。。。。。10分
335
21. 解:(1)
?
f
'
(x)?3x
2
?6ax?b,f
'
(?1)?0且
f(?1)?0
?
?
a?1
?
a?2?
3?6a?b?0
?
?
?或
?
。。。。。。。5分
?
2
?
?
?1?3a?b?a?0
?
b?3
?
b?9
(2)由(1)知当
a?1,b?3
时,
Qf
?
(x)?3(x?1)
2
?0,?f(x)在R上是增函数,
即增区间为(-?,+?).
当
a?2,b?9
时,
?f
'
(x)?3(x?3)(x?1)
,∴在
(??,?3),(?1,??)
上,
f
'
(x)?0
在(-3,-1)上,
f
'
(x)?0
,故当
a?2,b?9
时,函数
f(x)
的增区
间为
。 。。。。。。。。。。。10分
(??,?3)
和(
?1,??)
,减区间是(-3,-1)