高一数学衔接教材 一元二次不等式解法

四川省南江四中高一数学初高中衔接教材：一元二次不等式解法

二次函数
y
＝
x
－
x
－6的对应值表与图象如下：
2
6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
2
当
x
＝－2，或
x
＝3时，
y
＝0，即
x
－
x
＝6＝0；
2
当
x
＜－2，或
x
＞3时，
y
＞0，即
x
－
x
－6＞0；
y

y＝x
2
－x－6
2
当－2＜
x
＜3时，
y
＜0，即
x
－
x
－6＜0．
这就是说，如果抛物线
y
=
x
2
－
x
－6与
x
轴的交点是(－2，0)与
0 y＞0 y＞
(3，0)，那么
一元二次方程
x
2
－
x
－6＝0
－2
O
3
x
的解就是
x
1
＝－2，
x
2
＝3；
y＜0
同样，结合抛物线与
x
轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式
x
2
－
x
－6＞0
的解是
图2.3－1

x
＜－2，或
x
＞3；
一元二次不等式
x
2
－
x
－6＜0
的解是
－2＜
x
＜3．
上例表明：由抛物线与
x
轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二
次不等式的解集．
2
那么，怎样解一元二次不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞0(
a
≠0)呢？
2
我们可以用类似于上面例子的方法， 借助于二次函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(< br>a
≠0)的图象来解
2
一元二次不等式
ax
＋
bx< br>＋
c
＞0(
a
≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数
a
＞0时的一元二次不等式的解．
22我们知道，对于一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0(< br>a
＞0)，设△＝
b
－4
ac
，它的解的情形按照△
＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解
2
和没有实数解，相应地，抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
（
a
＞0）与
x
轴分别有两个公共点、一个公
共点和没有 公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二
22
次不等 式
ax
＋
bx
＋
c
＞0（
a
＞0）与ax
＋
bx
＋
c
＜0（
a
＞0）的解．
y
y
y
x
y
－3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
1
O
x
2
x
O
x
1
= x
2
x

O
③
x
①
②
图2.3－2

（1）当Δ＞0时， 抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
（
a
＞0）与
x
轴有两个公共点(
x
1
，0)和(
x< br>2
，
2
0)，方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0有两个不相等的实数根
x
1
和
x
2
(
x
1
＜
x
2
)，由图2.3－2①可知
2
不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞0的解为

x
＜
x
1
，或
x＞
x
2
；
2
不等式
ax
＋
bx
＋
c
＜0的解为

x
1
＜
x
＜
x
2
．
2
（2）当Δ＝0时，抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c< br>（
a
＞0）与
x
轴有且仅有一个公共点，方程
2
b< br>ax
2
＋
bx
＋
c
＝0有两个相等的实数根
x
1
＝
x
2
＝－ ，由图2.3－2②可知
2
a
2
不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞0的解为
b

x
≠－ ；
2
a
2
不等式
ax
＋
bx
＋
c
＜0无解．
22
（3）如果△＜0，抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c< br>（
a
＞0）与
x
轴没有公共点，方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0没有实数根
，
由图2.3－2③可知
2不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞0的解为一切实数；
2
不等式
ax
＋
bx
＋
c
＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接
求解； 如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系
数大于零的形式，再 利用上面的结论去解不等式．
例 解不等式：
22
（1）
x
＋2
x
－3≤0； （2）
x－x
＋6＜0；
22
（3）4
x
＋4
x
＋1≥0； （4）
x
－6
x
＋9≤0；
2
（5）－4＋
x
－
x
＜0．
2
解：（1）∵Δ＞0，方程
x
＋2
x
－3＝0的解是

x
1
＝－3，
x
2
＝1．
∴不等式的解为 －3≤
x
≤1．
（2）整理，得
2

x
－
x－
6＞0．
2
∵Δ＞0，方程
x
－
x－
6=0的解为
x
1
＝－2，
x
2
＝3．
∴所以，原不等式的解为
x
＜－2，或
x>
3．
（3）整理，得
2
(2
x
＋1)≥0.
由于上式对任意实数
x
都成立，
∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得
2
(
x
－3)≤0.
22
由于当
x
＝3时，(
x< br>－3)＝0成立；而对任意的实数
x
，(
x
－3)＜0都不成立，
∴原不等式的解为

x
＝3．
（5）整理，得
2

x
－
x
＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
练习：
解下列不等式：
1.
2x?7x?3?0
；



2

2.
?3x?5x?2?0




3.
9x
2
?6x?1?0




4.
4x?4x?1?0





5.
2x?x?5?0









（十七） 一元二次不等式解法（2）
例1 已知不等式
ax
2
?bx?c?0(a? 0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
2
2
2
bx
2
?ax?c?0
的解．
解：由不等式
ax
2
? bx?c?0(a?0)
的解为
x?2,或x?3
，可知
b
a?0
，且方程
ax
2
?bx?c?0
的两根分别为2和3，∴
? ?5,
a
bc
?6
． 即
??5,aa
2
由于
a?0
，所以不等式
bx?ax?c?0
可 变为
b
2
c

x?x??0
，
aa
2
即 －
5x?x?6?0,

整理，得

5x?x?6?0,
2
c
?6
，
a
2

所以，不等式
bx?ax?c?0
的解是
6

x
＜－1，或
x
＞ ．
5
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
例2 解关于
x
的一元二次不等式
x?ax?1?0(a
为实数).
分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题
已满足这一要求,欲求 一元二次不等式的解,要讨论根的判别式
?
的符号,而这里的
?
是关
于未知系数的代数式,
?
的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对< br>?
的符号进行分类讨论.
解:
?
?a?4
,
2
2

①当
??0,即a??2或a?2时,

方程x
2
?ax?1?0的解是

?a?a
2
?4 ?a?a
2
?4
x
1
?,x
2
?.
22
?a?a
2
?4?a?a
2
?4
所以,原不等式的 解集为
x?
；
,
或
x?
22
②当Δ＝0，即
a
＝±2时，原不等式的解为

x
≠－ ；
2
③当
??0,即?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数 .
综上,当
a
≤－2，或
a
≥2时，原不等式的解是
a
?a?a
2
?4?a?a
2
?4

x?
；
,
或
x?
22
当
?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数．
例3 已知函数
y
＝
x
－2
ax
＋1(< br>a
为常数)在－2≤
x
≤1上的最小值为
n
，试将
n
用
a
表示
出来．
分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与 抛物线的对称轴的位置有关，于是需
要对对称轴的位置进行分类讨论．
22
解：∵
y
＝(
x－a
)＋1－
a
，
2
∴抛物线
y
＝
x
－2
ax
＋1的对称轴方程是
x< br>＝
a
．
（1）若－2≤
a
≤1，由图2.3-3① 可知,当
x
＝
a
时，该函数取最小值
2

n
＝1－
a
；
(2)若
a
＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当
x
＝
-
2时，该函数取最小值

n
＝4
a
+5；
(2)若
a
＞1时, 由图2.3-3③可知, 当
x
＝1时，该函数取最小值

n
＝-2
a
+2.
综上,函数的最小值为
2
?
4a?5,a??2,
?
2

n?
?
1?a,?2?a?1,

?
?2a?2,a?1.
?


练习
1．解下列不等式：
22
（1）3
x
－
x
－4＞0； （2）
x
－
x
－12≤0；

（3）
x
＋3
x
－4＞0； （4）16－8
x
＋
x
≤0．




22
2.解关于
x
的不等式
x＋2
x
＋1－
a
≤0（
a
为常数）．






3.解关于
x
的不等式
mx?2x?1?0










2
4. 已知函数
y
＝
x
－2
ax
＋1(
a
为常数)在－2≤
x
≤1上的最小值为1 ，求实数
a
的值。









习题
A 组
1．解下列方程组：
2
22
?
x
2
?
?y
2
?1,
（1）
?
4

?
x?y?2?0;
?

?
(x?3)
2
?y
2
?9,
（2）
?

?
x?2y?0;






?
x
2
?y
2
?4,
?
（3）
?
2

2
?
?
x?y?2.






2．解下列不等式：
22
（1）3
x
－2
x
＋1＜0； （2）3
x
－4＜0；





22
（3）2
x
－
x
≥－1； （4）4－
x
≤0．






B 组
1．
m
取什么值时,方程组
?
y
2
?4x,

?
?
y?2x?m

有一个实数解?并求出这时方程组的解．






2
2．解关于
x< br>的不等式：（1）
x
－(1＋
a
)
x
＋
a< br>＜0（
a
为常数）；
（2）
x?2x?m?0





2

3．已知关于
x
不等式
ax?bx?c?0
的解为
x
＜－1，或
x＞3．试解关于
x
的不等式
2
cx
2
?bx?a?0










2
4．试求关于
x
的函数
y
＝－
x
＋
mx
＋2在0≤
x≤2上的最大值
k
．