初高中数学衔接教材：第3课 因式分解(1)及答案

沈进老师专用资料


因式分解是代数式的一种重要的恒 等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、
解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用．
因式分解的方法较多，除了初中教材中涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式
和 完全平方公式)外，还有运用公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等．
因式分解的问题形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能．
一、提取公因式法
例1 3x
2
－6x＋3.
二、公式法
例2 (1)8＋x
3
；(2)x
2
＋2xy＋y
2
－z
2
.
三、分组分解法
例3 (1)2ax－10ay＋5by－bx；(2)x
3
－x
2
＋x－1.
四、配方法
例4 (1)x
2
＋6x－16；(2)x
2
＋2xy－3y
2
.
五、拆项添项法
例5 (1)x
3
－3x
2
＋4；(2)x
3
－2x＋1.
六、求根公式法
例6 (1)x
2
－x－1；(2)2x
2
－3x－1.
七、十字相乘法
(1)x
2
＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解
我们来讨论x
2
＋(p＋q)x＋pq这类二次三项式的因式分解．这类式子在许多问题中经常出现，
它的特 点是
(1)二次项系数是1；
(2)常数项是两个数之积；
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．
对这个式子先去括号，得到x
2
＋(p＋q)x＋pq＝x
2
＋px＋qx＋pq，于是便会想到继续用分组分
解法 分解因式，即
x
2
＋px＋qx＋pq
- 1 -

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＝(x
2
＋px)＋(qx＋pq)
＝x(x＋p)＋q(x＋p)
＝(x＋p)(x＋q)．
因此，x
2
＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例7 把下列各式分解因式：
(1)x
2
＋3x＋2；(2)x
2
－x－20；
5
(3)x
2
－x＋1；(4)x
2
＋11x＋24.
2
八、ax
2
＋bx＋c型因式分解
我们知道，
(a< br>1
x＋c
1
)(a
2
x＋c
2
)
＝a
1
a
2
x
2
＋a
1
c
2x＋a
2
c
1
x＋c
1
c
2

＝a
1
a
2
x
2
＋(a
1
c
2
＋a
2
c
1
)x＋c
1
c
2
.
反过来，就得到a
1
a
2
x
2
＋(a
1< br>c
2
＋a
2
c
1
)x＋c
1
c2

＝(a
1
x＋c
1
)(a
2
x＋ c
2
)．
我们发现，二次项的系数a分解成a
1
×a
2< br>，常数项c分解成c
1
×c
2
，并且把a
1
，a2
，c
1
，c
2
排列如图：，这里按斜线交叉相乘，再相加，就 得到a
1
c
2
＋a
2
c
1
，如果它正好等 于ax
2
＋bx＋c的一次项系数b，那么ax
2
＋bx＋c就可以分解成( a
1
x＋c
1
)(a
2
x＋c
2
)，其中 a
1
，c
1
位于
上图上一行，a
2
，c
2
位于下一行．
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法 ，通常叫做
十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过 多次尝试，才能确定一
个二次三项式能否用十字相乘法分解．
例8 (1)6x
2
＋5x＋1；(2)6x
2
＋11x－7；
(3)4 2x
2
－33x＋6；(4)2x
4
－5x
2
＋3；
(5)2t
6
－14t
3
－16.

1．把下列各式分解因式：
11111
(1)a
3
＋27；(2) 8－m
3
；(3)－27x
3
＋8；(4)－p
3
－q3
；(5)8x
3
y
3
－；(6)x
3
y3
＋c
3
.
86412521627



- 2 -

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2．把下列各式分解因式：
(1)xy
3
＋x
4
；(2) x
n3
－x
n
y
3
；(3)a
2
(m＋n )
3
－a
2
b
3
；(4)y
2
(x
2
－2x)
3
＋y
2
.
＋







3．把下列各式分解因式：
(1)x
2
－3x＋2； (2)x
2
＋37x＋36； (3)x
2
＋11x－26； (4)x
2
－6x－27；






(5)m
2
－4mn－5n
2
； (6)(a－b)
2
＋11(a－b)＋28.







4．把下列各式分解因式：
(1)ax
5
－10ax
4
＋16ax
3
； (2)a
n2
＋a
n1
b－6a
n
b
2
； (3)(x
2
－2x)
2
－9；
＋＋





(4)x
4
－7x
2
－18； (5)6x
2
－7x－3； (6)t
6
－9t
3
＋8；




- 3 -

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(7)7(a＋b)
2
－5(a＋b)－2； (8)(6x
2
－7x)
2
－25.







5．把下列各式分解因式：
(1)3ax－3ay＋xy－y
2
；








(4)4a
2
－20ab＋25b
2
－36；









(7)x
6
－y
6
－2x
3
＋1；
(2)8x
3
＋4x
2
－2x－1；
(5)4xy＋1－4x
2
－y
2
；
(8)x
2
(x＋1)－y(xy＋x)．
- 4 -
(3)5 x
2
－15x＋2xy－6y；
(6)a
4
b＋a
3
b
2
－a
2
b
3
－ab
4
；

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答案精析
例1 解 3(x
2
－2x＋1)＝3(x－1)
2

例2 解 (1)(x＋ 2)(x
2
－2x＋4)．(2)(x＋y)
2
－z
2
＝( x＋y＋z)(x＋y－z)．
例3 解 (1)2a(x－5y)－b(x－5y)＝(x－5y)(2a－b)．
(2)x
2
(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x
2
＋1)．
例4 解 (1)(x＋3)
2
－25＝(x＋8)(x－2)．
(2)(x＋y)
2
－(2y)
2
＝(x＋3y)(x－y)．
例5 解 (1)x
3
－2x
2
－(x
2
－4)＝ x
2
(x－2)－(x－2)(x＋2)＝(x－2)
2
(x＋1)． 1＋5－1＋5
(2)(x
3
－x)－(x－1)＝(x－1)(x＋)(x－) ．
22
1＋51－5
例6 解 (1)(x－)(x－)．
22
3＋173－17
(2)(x－)(x－)．
44
例7 解 (1)(x＋1)(x＋2)；(2)(x＋4)(x－5)；
1
(3)(x－2)(x－)；(4)(x＋8)(x＋3)．
2
例8 解 (1)(2x＋1)(3x＋1)；(2)(2x－1)(3x＋7)；
(3)(6x－3)(7x－2)；(4)2(x＋
强化训练
1
1．解 ( 1)(a＋3)(a
2
－3a＋9)；(2)－(m－2)(m
2
＋2m＋4 )；(3)(2－3x)(9x
2
＋6x＋4)；(4)－(p＋
8
q1q< br>2
121111
22
1c
2
11
222
)· (p－pq＋)；(5)(2xy－)(4xy＋xy＋)；(6)(xy＋c)(xy－xyc＋)＝(xy＋
22455256336189272
x
2
y
2
1
c)(－xyc＋c
2
)．
42
2．解 (1)x(x＋y)(x
2
－xy＋y
2
) (2)x
n
(x－y)(x
2
＋xy＋y
2
) (3)a< br>2
(m＋n－b)[(m＋n)
2
＋b(m＋n)＋
b
2] (4)y
2
(x－1)
2
(x
4
－4x
3
＋3x
2
＋2x＋1)．
3．解 (1)(x－1)(x－2)；(2)( x＋1)(x＋36)；(3)(x＋13)(x－2)；(4)(x＋3)(x－9)；(5)(m＋n)(m －
- 5 -
66
)(x－)(x＋1)·(x－1)；(5)2(t－2)(t< br>2
＋2t＋4)(t＋1)(t
2
－t＋1)．
22

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5n)；(6)(a－b＋4)(a－b＋7)．
4．解 (1)ax
3
( x－2)(x－8)；(2)a
n
(a＋3b)(a－2b)；(3)(x＋1)(x－3)( x
2
－2x＋3)；(4)(x＋3)(x－3)·(x
2
＋2)；(5)( 3x＋1)(2x－3)；(6)(t－1)(t－2)(t
2
＋t＋1)(t
2＋2t＋4)；(7)[7(a＋b)＋2][(a＋b)－1]；
(8)(2x＋1)(3x－5)(6x
2
－7x＋5)．
5．解 (1)(x－y)(3a＋y)；(2)(2x－1)(2x＋1)
2
；
(3)(x－3)(5x＋2y)；(4)(2a－5b＋6)(2a－5b－6)；
(5) (1＋2x－y)(1－2x＋y)；(6)ab(a－b)(a＋b)
2
；(7)(x
3
＋y
3
－1)(x
3
－y
3
－1)；
(8)x(x－y)(x＋y＋1)．

- 6 -