特殊与一般的思想

、特殊与一般的思想和其它方法对比解析
1．什么是特殊化思想
对于某个一 般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从
研究对象的全体转变为研究属 于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况
的方法或结论应用或者推广到一般问题上， 从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决
问题的思想称之为特殊化思想.
2．什么是一般化思想
当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的 特殊问题放在一
个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或 结
果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般
化 思想.
【例1】设三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的体积为
V,P,Q
分别是侧棱
AA
1
,CC
1< br>上的点，且
PA?QC
1
，则四棱锥
B?APQC
的体积为
（Ａ）
V
（Ｂ）
V
（Ｃ）
V
（Ｄ）
V

【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算.
方法一 常规方法
如图2-18,因为
PA?QC
1
，所以
PQ
将 三棱柱的侧面
AA
1
C
1
C
分成面积相
等的两个梯 形，从而
V
B?APQC
?V
B?PA
1
C
1Q
.又
V
B?A
1
B
1
C
1
?V
柱体
?V
，且三棱
柱
ABC?A
1
B
1
C
1
被分成两个四棱锥
B?APQC
与
B?PAC
11
Q
以及三棱锥
1
6
1
4
1
3
1
2
A
B
P
C
1
3
1
3
Q
A
1
B
1
B?A
1
B
1
C< br>1
三部分，所以
V
B?APQC
方法二 特殊化的方法.
1
?V
.
3
C
1
仔细分析题目的已知条件会发现 ，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；侧
棱
AA
1
,CC
1
上的两点
P,Q
只有
PA?QC
1
的要求，而没有具体 位置的限制.从选项来看，所
求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现 出快捷的特点.首
先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点
P,Q
分别为< br>AA
1
,CC
1
的中点；也可以
使点
P
趋近 于点
A
，点
Q
趋近于点
C
1
，即使
PA? QC
1
?0
，使四棱锥特殊化为三棱锥，
实际上，这种处理方法也包含有极限 的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要
简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体 现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方
法来解决一般的问题.

【例2】已知 函数
f(x)?lg
1?x
，若
f(a)?b
，则
f(?a )?

1?x
11
（Ａ）
b
（Ｂ）
?b
（Ｃ） （Ｄ）
?

b
b
【分 析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法.
方法一 常规方法
本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数.如果把
a,b
看成是两个
用字母表示的数，则它们也是确定的，已知的.于是由
f(a)?b
，得
lg
1?a
?b
.又
1?a
1?a
1?a
，那么为求得
f(?a)
的值，实际上就是求
lg
怎样用关于
b的解析式
1?a
1?a
1?a1?a
来表示，就是求
lg
与
lg
的关系.到此，不难发现，有
1?a1?a
1?a1?a
? 1
1?a
，于是
f(?a)??b
.
lg?lg()??lg
1?a1?a1?a
f(?a)?lg
方法二 一般化方法
如果我们探究
f(a)
与
f(?a)
的关系，产生猜想 ：如果
f(x)
是奇函数或偶函数，那么
由
f(a)
的值求
f(?a)
的值就会变得相当简单.
f(x)
具有奇偶性吗？
f(x)的定义域为
{x?1?x?1}
，关于原点对称.在定义域内任取
x
和< br>?x
有
f(x)?f(?x)?lg
1?x1?x1?x1?x
?lg ?lg(?)?lg1?0
.
1?x1?x1?x1?x
所以
f(x)是定义域
?
?1,1
?
内的奇函数，于是
f(?a)??f(a )??b
.
方法三 特殊化方法
考虑到是选择题，
a,b
是用字 母表示的数，那么不妨取特殊值来进行研究.令
a?
1
，则
2
11< br>1?
1
2
?lg
1
??lg3?b
，那么
f (?
1
)?lg
2
?lg3??b
.比较四个选项后，
f( )?lg
11
232
1?1?
22
1?
便可得出，只有（Ｂ ）成立.
对于这样一个求函数值的常规问题，其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方
法一与方法二相比较，方法一是对具体函数、具体函数值的研究，可以认为是对特殊问题的
特殊研究. 而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质，只要函数
f(x)
是奇函数，无论
其 解析式是否为
lg
1?a
，都有
f(?a)??f(a)??b
.这 种研究问题的方法体现出的恰是由
1?a
特殊到一般的思维方法.由特殊函数，研究它的一个性 质，再由一般函数的性质，得出一般

的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来，得出 所求结果，又由一般回到了特殊.这种特
殊 —— 一般 —— 特殊的研究过程是特殊与一般思想方法的一种思维模式.
如果将方法一与方法三相比较，由于方法一中 含有字母已知数，而方法三中则是将字母
具体化、特殊化，研究它的一咱特殊情况.这种研究问题的方法 体现出的恰是由一般到特殊
的思维方法.将用字母表示的一般函数值的研究，转化为某个特殊数值的特殊 函数值的研究.
不过最终还要回到一般上来，利用“特殊情况下命题不成立，那么在含有这个特殊情况的 一
般情况下这个命题必定不成立”得出一般结论.这种一般 —— 特殊 —— 一般的研究
过程是特殊与一般思想方法的又一种思维模式.
可以认为，本例是体现特殊与一般思想方法的一个典型范例.
二
、
特殊与一般的思想应用举例

【例3】设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，若a
5
5
S
?
，则
9
?

a
3
9
S
5
（A）
1
（B）
?1
（C）
2
（D）
1

2
分析：确定一个等差数列需要两个独立条件，而题设中只给出了 一个条件，因此不能确
定这个等差数列，也就不能求出它的各项，自然也就求不出
S
5
,S
9
的值.可以另辟蹊径，构
造一个符合条件的特殊数列解此问题. 解：由已知条件
a
5
5
5?9
?
，令
a
5
?5,a
3
?9
，得公差
d???2
，
a
3
9
5?3
S
9
?1
，选（A）. < br>S
5
a
1
?9?2?(?2)?13
，求出
S
5
?45,S
9
?45
，所以
评析：符合条件的等差数列有无穷多 个，虽然
S
5
,S
9
的值不确定，但是由选择项可知，
S< br>9
的值是确定的，即不因
S
5
,S
9
的变化而变化， 因此可以通过构造符合条件的特殊数列得
S
5
出结果，也就是一般性结果，体现了由特 殊到一般的“先退后进”的数学思想.
【例4】定义在
R
上的函数
f(x)
既是奇函数，又是周期函数，
T
是它的一个正周期．若将
方程
f(x )?0
在闭区间
[?T，T]
上的根的个数记为
n
，则
n< br>可能为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
（提示：取
f(x)?sinx
）

【例5】在△
OAB
中，
O
为坐标原点，
A(1,cos
?
), B(sin
?
,1),
?
?(0,
面积达到最大值时，
?< br>?

（A）
?
2
]
，则当△
OAB
的
??
?
?
（B） （C） （D）
6432
y
C
B
E
A
o
D
x
分析：由已知，
0?cos
?
?1,0?sin< br>?
?1
，
可以把△
OAB
放在平面直角坐标系中边长为
1
的
一个正方形的内部（如图），即构造一个特殊的正
方形，使它与△
OAB
之间建立关于面积大小的一
种关系，在此思路下寻求题目中所求的
?
值.
解：在正方形
ODE C
中，得
C(0,1),D(1,0),E(1,1)
，
所以
S< br>?OAB
?1?S
?OBC
?S
?ODA
?S
?AE B

111
sin
?
?cos
?
?(1?sin< br>?
)(1?cos
?
)

222
11
?

??sin2
?
， 由
?
?(0,]
可知，
242
1
?
当
s in2
?
取最小值
0
时，
S
?OAB
取最大值，此 时
?
?
，选（D）.
22

?1?评析：本题解法的特殊化思想体现了特殊情境的构造，即通过条件，把△
OAB
放在一个正方形的内部，在新的特殊情境之中发现解题思路并求出问题的解.
π
，则下列命题正确的是（ ）
2
223
Ａ．
sinx?x
Ｂ．
sinx?x
Ｃ．
sinx?x

πππ
【例6】若
0?x?
（提示： 取
x?
?
，可排除A、D；取
x?
?
，可排除C）
Ｄ．
sinx?
3
x

π
46
【例7】已 知
f(x)?
?
?
(3a?1)x?4a,
x?1,
是(??,??)
上的减函数，那么
a
的取值范围是
log
a< br>x,
x?1.
?
（A）
(0,1)
（B）
(0,)
（C）
[,)
（D）
[,1)

分析：已知函数
f(x)
是一个分段函数，从形的 方面看，
f(x)
的图象由一条直线的一部分
和对数曲线的一部分组成，由条件，图象 从左到右应呈下降趋势，若采用由特殊到一般的思
想求解，可以对
a
赋特殊值，并检验 是否符合题意.
y
1
3
11
73
1
7
?
4
1
?
3
,
x?1,
解：取
a?
，得
f(x)?
?
如图，
x?1.
logx,
3
?
1
?
3
o
1
x

显然，
f(x)
在
(??,??)
上不是减函数，
可排除选项（A），（D）；
y
4
?
2
?x?,
x?1,
1
?
39
再取
a?
，得
f(x)??
如图，
1
9
?
log
1
x,
x?1.
x
o
9
?
2
，综上，选（C）.
f()?f(1)?0
，即< br>f(x)
在
(??,??)
上不是减函数，可排除选项（B）
3
评析：求参数取值范围的选择题一般可考虑用特殊值方法求解，根据选择项对参数赋予适当
的特殊值， 再根据题设条件进行检验.究竟对参数赋予哪些特殊值，通常要结合参数所在的
数学式中的位置及相应的 数学概念等来考虑，这种特殊化的思想在解此类问题时往往是行之
有效的.
【例8】在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
2< br>?2
，且
a
n?2
?a
n
?1?(?1)
，
n
(n?N*)
，则
S
100
?
________ _____.
分析：可以考虑先求
S
n
或
S
2n
，再求
S
100
，这里采用先求
S
2n
的方法.
解：由
a
n?2
?a
n
?1?(?1)
，得
an?1
?a
n?1
?1?(?1)
nn?1
(n?2)
，
两式相加得
(a
n?1
?a
n?2
)?(a
n ?1
?a
n
)?2
(n?2)
，而
a
1
? 1,a
2
?2
，
得
S
2n
?(a
1?a
2
)?(a
3
?a
4
)?
?
?( a
2n?1
?a
2n
)

?3?5???(2n?1)?< br>所以，
S
100
?50?52?2600
.
n[3?(2n?1)]
?n(n?2)
，
2
评析：本题的解法采 用的是一般化的思想，即把待求的
S
100
这一特殊值放在一般的
S
2n
中加以研究，正是因为一般性中蕴涵着特殊性，能使我们从该数列的本质特征入手，“先进
后退”的解决了问题.
【例9】．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1 三角数表．从上
往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，?，第
n
次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1

?? ???????????????
【例10】若对任意
x ?R
，不等式
x≥ax
恒成立，则实数
a
的取值范围是（ ）
A．
a??1
B．
a≤1
C．
a?1
D．
a≥1

（提示：取
a??1
）
【例11】两个相同 的正四棱锥组成如图（1）所示的几何体，可放入棱长为1的正方体图（2）
内，使正四棱锥的底面与正 方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几
何体体积的可能值有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）无穷多个






图（1）
图（2）
分析： 由已知，图（1）所示的几何体体积由正四棱锥的底面正方形的面积决定，根据
该底面与正方体的位置关 系，可考虑用一个特殊的平面衬托该底面，以此分析它与正方体的
面的关系及该底面的面积情况.
解：把图（1）所示的几何体放入棱长为1的正方体
图（2）内，沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开，
截面如图（3）所示，由平面几何知识可知，一个正方形
有无穷多个边长各不相等的内接小正方形，设其面积为
S
，
则图（1）所示的几何体体积等于
S
，选（D）.
1
3
图（3）
评析：本题解法的特殊化思想体现在选取一个特殊的位置，即 特殊的截面，使正四棱锥
的底面和正方体的面可以依托在此截面内，从而将空间问题转化为易于研究的平 面问题，这
里的特殊化起到了寻找转化途径的作用.

，2]
上【例12】 在
R
上定义的函数
f(x)
是偶函数，且
f(x)?f(2?x)< br>，若
f(x)
在区间
[1
是减函数，则
f(x)
（ ）
4]
上是增函数 Ａ．在区间
[?2，?1]
上是增函数，在区间
[3，
4]
上是减函数 Ｂ．在区间
[?2，?1]
上是增函数，在区间< br>[3，
Ｃ．在区间
[?2，
4]
上是增函数
?1]
上是减函数，在区间
[3，

Ｄ．在区间
[?2，
4]
上是减函数
?1]
上是减函数，在区间
[3，
【分析及解】由条件知
f(x)
是以2为周期的周期函数，取
f(x)?cos
?
x
，求 单调区间.
令
2k
?
?
?
?
?
x?2k
?
，解得增函数区间为
?
2k?1,2k
?
，取
k ?2
，得增区间
[3，4]
；
令
2k
?
?
?
x?2k
?
?
?
，解得减函数区间为
?
2k, 2k?1
?
，取
k??1
，得减区间
[?2，

?1]
；
从而选C.
?
1
?
?
1??
?1
?
n
?
?
【例13】（07上海）．已知
p
和
q
是两个不相等的正整数，且
q≥2
，则
limq
n→?
?
1
?
?
1?
?
?1
?
n
?
（ ）
A．0 B．1 C．
p
p

q
D．
p?1

q?1
【分析及解】取
p?1,q?2
，得
?
1
??
1
?
1
1??1
???
1?
?
?1< br>n
??
n
?
n
?lim
1
?
1
lim
?
?lim?lim
q2
n→?n→?n→?
21
n→?
1
2
?
1
??
1
?
? 2?
2
?
1?
?
?1
?
1?
?
? 1
nnn
nn
????
从而选C.

【例14】（200 6年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样
的乒乓球堆成若干堆“正三 棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、?
堆最底层（第一层）分别按图所 示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下
一层之上，第
n
堆第
n
层就放一个乒乓球，以
f(n)
表示第
n
堆的乒乓球总数，则< br>f(3)?

__________ ；
f(n)?
__________（答案用
n
表示）.

?

分析：通过观察与计算，得出
f(1),f(2),f(3),f(4)，然后归纳探求其内在的变化规
律，猜想出结论的一般形式，并给出证明.
p

解：
f(1)?1
，
f(2)?3?f (1)?4?
2?3?43?4?5
，
,f(3)?6?f(2)?10?
66
4?5?6
，下一堆球的个数等于其第一层球的个数与上一堆球的
6
n( n?1)
个数之和，而各堆第一层球的个数分别是
1,3,6,10,?
，，于是可得
2
5?65?6?7n(n?1)
，? ，
f(n)?f(5)??f(4)?35??f(n?1)
，
262
n( n?1)(n?2)
猜想：
f(n)?
，此命题可用数学归纳法证明（略）.
6
f(4)?10?f(3)?20?
评析：归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形分析得 出一般结论的思维方法，本题的
核心就是由特殊的
f(1),f(2),f(3),f(4)< br>得到一般的
f(n)?
是它的猜测发现，其重要作用是启发解决问题的思路.
【例15】（2006年浙江卷）如图，正四面体
ABCD
的棱长为1，棱
AB
∥平面
?
，则正四
面体上的所有点在平面
?
内的射影构成的图形面 积的取值范围是________________.
分析：为了解决此问题，可考虑平面几何中
与此类同的问题：求边长为1的正三角形上的所
有点在一条直线上的射影构成的线段长的取值范
围.从解决平面问题的方法中得到解决立体问题
的思路.
解：在上述平面几何问题中，让正三角形绕其一个顶点旋转，如图，当正三角形的一条
b
边平行于直线a时，在直线a上的射影为正三角形的边，
是最大射影长为
1
；当正三角形的一条边垂直于直线a时
（图中
a?b
），在直线a上的射影为正三角形的高，是
1
a
α
B
A
C
D
n(n?1)(n?2)
， 其主要意义
6
3
3
,1]
. 最小射影长为（证明略），得射影的取 值范围是
[
2
2
有了平面几何问题的结论和已知棱
AB
∥平 面
?
，可类比得到立体几何问题的结论：当正四
面体
ABCD
的棱< br>CD
∥
?
时，可得正四面体在
?
内的射影最大面积，是对角线 长为
1
（正
四面体的棱长）的正方形的面积等于
1
，当
CD ?
?
时，可得正四面体在
?
内的射影最小
2
2
（对 棱
AB,CD
间的距离）的三角
2
面积，是底边长为
1
（正 四面体的棱长）且对应高为
形的面积等于
21
2
,]
（射影图及证明 略）. ，由此可得所求射影图形面积的取值范围是
[
42
4

评析：本题的解法采用了由特殊（平面）到一般（空间）的类比方法，关键是从联想的
角度先考虑平面几 何中的类似问题（相对容易一些），从中挖掘出立体几何中相关问题的突
破点，也为充分发挥空间想象能 力提供重要线索.
四、复习建议
1．明确特殊化思想的特点
特殊情形相对一般情 形而言是比较简单、直观和具体的，因而常常易于找出特殊情形的
解答，而且普遍性存在于特殊性之中， 一些特殊情形的解答过程常常蕴含着一般问题的解法
途径或思路，因此，特殊化思想是探索一般性问题的 解题途径的重要思想之一.
2．明确一般化思想的特点
从一般性问题入手，可以使我 们的视野更为广阔，避免在枝节问题上纠缠，容易触及问
题的本质.同时，由于限制条件减少，涉及范围 增大，更容易引起联想，发现各种条件与结
论之间的内在联系.因此，从一般到特殊，是人们认识事物的 另一个重要侧面，它与从特殊
到一般是相辅相成、和谐统一的两个方面.
3．注意与其他数学思想方法的联合运用
在同一道题中，有时需要运用多种数学思想方法，因 此复习时要全面复习高中阶段的重
要数学思想方法，不能重此轻彼，复习时要注意这一点.
4．能适时正确的选用
要清楚特殊与一般的数学思想方法的适用条件，如特殊化处理的可行性 ，有时虽然能用
特殊化思想解答，但是比起其他方法未必是最佳解法.另外在解答题中，由于需要写出解 答
过程，因此对于一般性的结论，要防止用特殊代替一般的解答等.