蕴含数列中的数学思想方法

蕴含数列中的数学思想方法
山东省五莲一中 王振香
数列是高中数学的重要内容之一，与其它数学知识有着广泛、密切而又深入的交汇，这
类数列综合问题往往蕴含着许多重要的数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、
化归与转化 思想、归纳猜想等），在分析与处理解决时，若能灵活地以这些数学思想与方法
作思路指导，则会取得事 半功倍的效果.
一 函数思想
由于数列是以正整数为自变量的一种特殊离散型函数，则我 们若能有意识地多从函数的角
度去看待数列，在这种整体的、动态的观点之下加强数列与函数的联系，利 用函数的图象和
性质去解决数列的一系列问题，就会使数列的一些性质显现得更加清楚，使某些问题得到 更
好地解决.
例1．已知数列
?
a
n
?
是等差数 列，若
S
n
?10
，
S
2n
?50
，求< br>S
3n
.
?
S
?
分析：因
?
a< br>n
?
是等差数列，则知
?
n
?
也为等差数列，由此可 用一次函数的方法解决问题.
?
n
?
1
na
1
? n(n?1)d
S
d
?
S
?
2
解：
?n
??a
1
?(n?1)
，故
?
n
?
为等差数列，
nn2
?
n
?
其通项为一次函数，将之设为
f(x)?ax?b
，则点
(n,
S
n
S
)
、(2n,
2n
)
在其图象上，
n2n
?an?b?
10
50155
，
a?2n?b?
，则解得
an?,b??
.
n
2nnn
故
f(3n)?a?3n?
5
S
3n< br>155
???3?
，解之得
S
3n
?120
. n3nnn
评注：
S
n
是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点. 上述解法是利用待定系数法建
n
立一次函数来求解
S
3n
.当然更可 利用结论“
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
成等差数列”这个等差数列
的重要结论而简单解决本题.
二 方程（组）思想
数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知 识都有广泛的联系，
方程（组）思想在学习过程中得以较为充分的体现，许多数列习题都可通过列出方程 或方程

组而求解.如，数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量
a
1
,n,d(q),a
n
,s
n
，
“知三求二 ”是一类最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法.
例2．设
{ a
n
}
是正数组成的数列，其前
n
项和为
s
n，并且对于所有的正整数
n
，
a
n
与2的
等差中项等于
s
n
与2的等比中项，以此求
{a
n
}
的通项公式 .
分析：由题设“
a
n
与2的等差中项等于
s
n
与2的等比中项”即可列出方程进行分析.
a
n
?2
1
?2sn
，整理得：
s
n
?(a
n
?2)
2
，
28
1
2
当
n?1
时，
s
1
?(a
1
?2)?a
1
，解得
a
1
?2
.
8
1
2
1
2
又
a
n?1
?sn?1
?s
n
?a
n?1
?(a
n?1
?2)
-
(a
n
?2)
，整理得：
(a
n?1
?a
n
)(a
n?1
?a
n
?4)?0
.
88
解：由题意可知
又
?
a
n
?0
，
?
a
n?1
?a
n
?4
，即
{a
n
}
是首项为2、公差为4的等差数列，
?a
n
?4n?2
.
点评：本例利用了方程的消元思想由
a
n?1
?s
n?1
?sn
、
s
n
?
1
(a
n
?2)
2
消去
s
n
得到了
8
(a
n?1
?a< br>n
)(a
n?1
?a
n
?4)?0
这一方程，找到了 数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了
解决.值得注意的是有的时候可借助
a
n? 1
?s
n?1
?s
n
消去
a
n
利用
s
n?1
,s
n
递推关系解题.
例3．已知等差数列
{ a
n
}
的公差是正数，并且
a
3
a
7
?? 12,a
4
?a
6
??4
，求前n项的和
s
n.
分析：由
a
4
?a
6
??4
可知
a
3
?a
7
??4
，结合条件
a
3
a7
??12
可得相关方程.
解：由等差数列
{a
n
}
知：
a
3
?a
7
?a
4
?a
6< br>，从而
a
3
a
7
??12,a
3
?a
7
??4
，
2
故
a
3
,a
7
是方程
x?4x?12?0
的两根，又
d?0
，解之得：
a
3
??6,a
7
?2
.
?
a
1
?2d? ?6
?
a
1
??10
再解方程组
?
，因此有
s
n
??10n?n(n?1)
.
,?
?
a?6d?2
d?2
?
?
1
点评：本题利用了
a
3
?a
7
?a
4
?a
6
这一性质构造了二次方程， 从中巧妙的解出了两个量
a
3
??6,a
7
?2
，再利用 方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数
列解题时往往可借助方程的思想与a
n
?a
m
?a
p
?a
q
（或
a
n
?a
m
?a
p
?a
q
）找出解题的 捷径.

三 分类讨论思想
所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进 行统一研究时，我们就需要对所研究的对
象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决.
例4． 设等比数列
?
a
n
?
的公比为
q
，前n项和
S
n
?0 (n?1,2,?)
.
（Ⅰ）求
q
的取值范围；
（Ⅱ）设
b
n
?an?2
?
3
a
n?1
，记
?
b
n?
的前n项和为
T
n
，试比较
S
n
与
T
n
的大小.
2
分析：凡涉及等比数列和的问题，一般而言均需分类讨论.
解：（Ⅰ）因为
{a
n
}
是等比数列，
S
n
?0,可得a
1
?S
1
?0,q?0.

当
q?1时,S
n
?na
1
?0;

a< br>1
(1?q
n
)
1?q
n
当
q?1
时
,S
n
??0,
即
?0,(n?1,2,
?
)< br>
1?q1?q
上式等价于不等式组：
?
?
1?q?0,,(n
?
1,2,
?
)
② ① 或
,(n?
1,2,
?
)
?
n
n
?
1?q?0
?
1?q?0
?
1?q?0,
解①式得q>1；解②，由于n可为奇 数、可为偶数，得－1综上，q的取值范围是
(?1,0)?(0,??).

（Ⅱ）由
b
n
?a
a?2
?
3
3
3
a
n?1
得
b
n
?a
n
(q
2
?q)
，则 其前n项和
T
n
?(q
2
?q)S
n
.
2
2
2
3
1
q?1)
?S
n
(q?)(q ?2).

2
2
于是
T
n
?S
n
?S
n
(q
2
?
又∵
S
n
>0且－1<< br>q
<0或
q
>0.
当
?1?q??
当
?< br>1
或
q?2
时
T
n
?S
n
?0即
T
n
?S
n

2
1
?q?2
且
q
≠0时，
T
n
?S
n
?0
即
T
n
?S
n

2
1
或
q
=2时 ，
T
n
?S
n
?0
即
T
n
?S< br>n

2
当
q??
点评：关于数列的分类一般考查三个方向：对 公差d的分类讨论、对公比q的分类讨论、
对项数n的分类讨论.
四 化归与转化的思想
数列的绝大多数问题最后归结为两大问题——求通项公式和求前n项和.由于数列种类繁
多，对 一般数列讨论这两个问题有一定困难，故一般的，均能将待解决的问题化归成我们比

较熟 悉的等差、等比这两种最典型的数列去解决.
例5． 已知数列
?
a
n?
的首项
a
1
?1
，前n项和为
S
n
，且
S
n?1
?4a
n
?2(n?N
*
)
，求
?
a
n
?
的通项公式.
分析与略解：当n≥2时，< br>S
n?1
?4a
n
?2
，
S
n
?4 a
n?1
?2
.
两式相减，得
a
n?1
?Sn?1
?S
n
?4a
n
?4a
n?1
，将之变 形为
a
n?1
?2a
n
?2(a
n
?2a
n?1
)
.
可见
?
a
n?1
?2a
n< br>?
是公比为2的等比数列.
又
a
1
?a
2
?S
2
?4a
1
?2
，
a
1
?1
，得
a
2
?5
，则
a
2
?2a
1
?3
.
因此
a
n?1
?2a
n
?3?2
n?1
.两边同除以
2
可 见
?
n?1
，得
a
n?1
a
n
3
??
（常数），
2
n?1
2
n
4
a
1< br>1
3
?
a
n
?
?
是首项为，公差为的等差数 列.
n
?
4
22
?
2
?
2
24
44
因此
a
n
?
1
?
3
(n?1 )
?
3
n?
1
，从而
a
n
?(3n?1) 2
n?2
.
n
评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第 二次把数列化归为等差数列，
随着化归的进行，问题降低了难度.化归与转化的思想中隐含着许多数学方 法如消元法、构
造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等.
结束语： 当然，渗透数列中的思想还有“一般与特殊的思想”、“归纳猜想的思想”、“递推
（归）的思想”等. 数学中的思想与方法是数学的“灵魂”，它并不是完全抽象的东西，而是
以数学知识为载体的客观存在的 内容，是人们解题经验的积累、解题方法的提炼和总结，具
有应用性、概括性和指导性.因此在数列复习 时，应高度重视数学思想方法的渗透，让学生
领悟其价值、滋生应用的意识.