高中数学错题精选-新东方一对一高中数学怎样
极限思想在高中解题中的运用
宜宾县一中 雷勇
极限的思想是近代数学的一种重要思想,我们在大学所学的数学分析
就是以极限概念为基础、极限理论为
主要工具来研究函数的一门学科。而
在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想,会是我们的解答简
单而
高效。
所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思
想
。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合
在解题教学中,实现方法与内容
的整合实践,以期引起广大师生的广泛关注和高
度重视。
2
y?ax(a?0)
的焦点F作一直线交抛物线于P、Q例1、过抛物线
y
11
?
P
QF
pq
p
q
两点,若线段<
br>PF
与的长分别是、,则等于( )
4
1
(A)
2a
(B)
2a
(C)
4a
(D)
a
F
O
Q
x
分析:本题是有关不变性的问题,常规解法是探求
p、q、a
的关
系,过程繁琐,且计算较复杂。若能充分借助于极限思想即取PQ的极限位
置可使问题变
得简便易行:将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到与
y
轴重合,
此时Q与O重合,点P
运动到无穷远处,虽不能再称它为抛物线的弦了,
它是弦的一种极限情形,因为
QF?p?OF
?
1
4a
,而
PF?q???
,所以
11
??4a
,故选择(C)。针对客观选择题题型的特点,这种解法体现出思维
pq
的灵活性和敏
捷性,凸现了试题的选拔功能。
例2、正
n
棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( )
A(
n?2n?1
?
,
?
)
B(
?
,
?
)
nn
S
H
C(
0,
) D(
2
?
A
n
A
2
A
3
A
1
n?2n?1
?
,
?
)
nn
分析:当正棱锥的顶角无限接近底面时,两侧
面所成的二面角无限接近
?
.当正
棱锥的高无限增大时,两侧面所成的二面角无限接近
正
n
多边形的一个内角,即
为
例3、已知长方形的四个项点A(0
,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一
质点从AB的中点
P
0沿与AB夹角为
?
的方向射到BC上的点
P
1
后,依次反射到C
D、
DA和
AB上的点
P
2
、
P
3
和<
br>P
4
(入射角等于反射角),设
P
4
坐标为
(x4
,0),
若
1?x
4
?2,
则
tg
?
的取值范围是( )
y
n?2n?2
?
,因此,所求二
面角的范围应为(
?
,
?
)
nn
1
A.
(,1)
3
12
B.
(,)
33
21
C.
(,)
52
D
P
3
22
D.
(,)
53
A
P
2
?
C
P
4
P
0
P
1
B
x
分析:本
题命制得很有趣,它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中,考
查了处理几何、代数问题的能力,
是一个小型综合题,我们可以充分利用几何关
系通过“极端位置”找出
tg
?
的取值范围,根据极限的观点,令
x
4
?1
,不妨令
P
4<
br>与
P
0
重合,依据入射角等于反射角,即知
P
1
、<
br>P
2
、
P
3
均为各边中点,此时
tan
?<
br>?
1
,而四个选择项中仅有选择项(C)与此数据有关,故选(C)
2
1
4
例4、已知函数
f(x)?(x?1)
2
,若存在
t,t
为实数,只要
x?[1,m]
(m?1)
,就有f(x)?x
,则
m
的最大值是 分析:作函数
y?x
与
y?(x?1)
2
的图像,平移f(x)
的图像.使之与直线
y?x
交
于(1,1)和
(m,m),(m1?)
两点,此时所得的图像是
y?f(x?t)
,图像的极端位置;
于是解方程组
?
?
f(1?t)?1
?<
br>t??4
,再由
m?1
,得
?
,所以
m
ma
x
?9
m?9
f(m?t)?m
?
?
1
4
例5、 已知数列<
br>?
a
n
?
中,
a
1
?5
且对于任意
正整数
n
,总有
a
n?1
?
a
n
,是否存
a
n
?2
3
在实数
a,b
,使得
a
n
?a?b(?)
n
,对于任意正整数
n
恒成立?若存在,给出证
4
明;若不存在,说明理由。
?
3
?
分析: 如果这样的
a,b
存在的话,则由
a
n
?a?b
?
?
?
,可得
lima
n
?a
。
n??
?
4
?
对
a
n?1
?
n
a
n
a
两边取极限,得
a?
,解得
a?0
或
a?3
。
a?2
a
n
?2
3
若
a?0
,则数列
?<
br>a
n
?
应该是以
a
1
?5
为首项、以
q??
为公比的等比数列,
4
?
3
?
于是,
a
n
?5?
?
?
?
?
4
?
n?1<
br>?
3
?
,
a
2
?5?
?
?
?
?
4
?
2?1
??
a
1
15
不
符合
a
2
?
4
a
1
?2
a
n
;
a
n
?2
n
显然,不可能对任意的正整数
n
都满足
a
n?1<
br>?
n
8
8
?
3
??
3
?
若
a?3
,将
a
1
?5
代入
a
n
?
a?b
?
?
?
,可求得
b?
,此时,
a
n
?3?
?
?
?
,
3
3
?
4??
4
?
8
?
3
?
583
?
验证:
a
2
??3?
?
,不符合
a?3?
?
?
?
?
。
??
n
3
?
4
?<
br>33
?
4
?
所以,这样的实数
a,b
不存在。
1111
?
?
??
例6、设n
为自然数,求证:
?
2
925
?
2n?1
?4
2
n
分析: 当
n?1
时,不等式显然成立。
设
n?k
?
k?1
?
时,不等式成立,即
1111
?
?
??
?
?
1
?
2
925
?
2k?1
?
4
那么,当
n?k?1
时,
111111
??
?
????
222
9254<
br>?
2k?1
??
2k?3
??
2k?3
?
由于
111
??
,
4
?
2k?3
?
2
4
证到此处,用数学归纳法证题思路受阻。
1
是一个常数,从< br>k
到
?
k?1
?
右
4
边常量不变,而左边在 增大,这样,无法使用归纳假设。
之所以用数学归纳法证题思路行不通,其原因在于
当联想< br>lim
n1
n11
?
,
??
,且当
n?1< br>时,不妨把要证结论强化为:
n??
4
?
n?1
?
4
4
?
n?1
?
89
111n
??
?
??
?
2
?
925
?
2n?1
?
2
4
?
n?1
?n11
??
,不等式
?
2
?
成立, 证明:①当
n?1
时,
4
?
n?1
?
89
②设
n? k
?
k?1
?
时,不等式
?
2
?
成立,即
111k
??
?
??
925
?
2k?1
?
2
4
?
k?1
?
那么,当
n?k?1< br>时,
1111
??
?
??
925
?
2k? 1
?
2
?
2k?3
?
2
k1
??
4(k?1)(2k?3)
2
1k1
??
4k?1(2k?2)( 2k?4)
k?1
?
4(k?2)
即当
n?k?1
时,不等 式
?
2
?
成立,所以有
111n1
??
?
???
2
??
9254n?14
?
2n?1
?
通过以上例题可以看出,让学生掌握和运用极限思想,不仅降低了某些问题
的解题难度,而且在寻找解题 思路、探索发现新结论有着重大作用。
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