(完整版)高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)

高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）
高中数学导数及其应用是高中数学考试的 必考内容，而且是这几
年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高
中数 学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归
纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮 助到高中的同学们有更
多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用
逻辑 用语的经典解题技巧。
第一·认识导数概念和几何意义
1.导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算

（1）能根据导数定义求函数
1
y?C(C为常数),y?x,y?x
2
,y?x
3
,y?,y?x
的导数。
x
（2） 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算
法则求简单函数的导数。
（3）能求 简单的复合函数（仅限于形如
f(ax?b)
的复合函数）的
导数。
3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单
调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件；会用导
数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会
求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题
5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定
积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。
总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题
技巧！

第二·导数运用和解题方法
一、利用导数研究曲线的切线
考情聚焦：1．利用导数研究曲线
y?f(x)
的切线是导数的重要应
用，为近几年 各省市高考命题的热点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、
填 空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
解题技巧：1．导数的几何意义
函数< br>y?f(x)
在
x
0
处的导数
f
?
(x)< br>的几何意义是：曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x0
))
处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数
s(t)
对时间
t
的导
数）。

2．求曲线切线方程的步骤：
（1）求出函 数
y?f(x)
在点
x?x
0
的导数，即曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处切线的斜率； < br>（2）在已知切点坐标
P(x
0
,f(x
0
))
和切 线斜率的条件下，求得切线
方程为
y?y
0
?f
?
(x0
)(x?x
0
)
。
注：①当曲线
y?f(x)在点
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线平行于
y
轴（此时
导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为
x?x
0
；
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。
例1：（2010 ·海南高考·理科T3）曲线
y?
的切线方程为（ ）
（A）
y?2x?1
（B）
y?2x?1
（C）
y??2x?3
（D）
y??2x?2

【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运
算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方
程.
【规范解答】选A.因为
y
?
?
x
在点
?
?1,?1
?
处
x?2
2
，所以，在点
?
?1, ?1
?
处的切线斜率
(x?2)
2
k?y
?
x?? 1
?
2
?2
，所以，切线方程为
y?1?2(x?1)
，即
y?2x?1
，故选A.
2
(?1?2)

二、利用导数研究导数的单调性
考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各 省
市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇 命题，且函数一
般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，
属中高档题 目。
解题技巧：利用导数研究函数单调性的一般步骤。
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数
f
?
(x)
；
（3）①若求单调区间（或证 明单调性），只需在函数
f(x)
的定义

域内解（或证明）不等式f
?
(x)
＞0或
f
?
(x)
＜0。
②若已知
f(x)
的单调性，则转化为不等式
f
?
(x)
≥0或
f
?
(x)
≤0在
单调区间上恒成立问题求解。
例 2：（2010·山东高考文科·Ｔ21）已知函数
f(x)?lnx?ax?
1?a
?1(a?R)

x
（1）当
a??1
时，求曲线
y?f( x)
在点
(2,f(2))
处的切线方程；
（2）当
a?
时，讨论
f(x)
的单调性.
【命题立意 】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用
导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形 结合思想和等价
变换思想.
【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线
y?f (x)
在点
(2,f(2))
处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论 函数
1
2
的单调性,同时应注意分类标准的选择.
【规范解答】（1） 当
a??1 时，f(x)?
lnx?x?
x
2
?x?2
f
?
?
x
?
?

2
x
2
?1,x?(0,??),
所以
x
因此，
f
?
?
2
?
?1
,即曲线
y?< br>又
f(2)?ln2?2,
f(x)在点（2，f(2))处的切线斜率为 1.，

所以曲线
y?f(x)在点（2，f(2)) 处的切线方程为 y?(ln2?2)?x?2,

即 x?y?ln2?0.

1? a1a?1
ax
2
?x?1?a
?1
,所以
f'(x)?? a?
2
??
（2）因为
f(x)?lnx?ax?

xx
x
x
2

x?(0,??)
,令
g(x)?a x
2
?x?1?a,
x?(0,??),

（1） 当
a? 0
时，
g(x)??x?1,x?
?
0,??
?
,
所以
当
x?
?
0,1
?
时，
g
?
x
?
>0，此时
f
?
?
x
?
?0
，函数
f
?
x
?
单调递减；
当
x??
1,??
?
时，
g
?
x
?
<0，此 时
f
?
?
x
?
?0
，函数
f
?< br>x
?
单调递增.
（2） 当
a?0
时，由
f
?
?
x
?
?0
，即
ax
2
?x? 1?a?0
，解得
x
1
?1,x
2
??1
.
① 当
a?
时，
x
1
?x
2
， g
?
x
?
?0
恒成立，此时
f
?
?< br>x
?
?0
，函数
f
?
x
?
在
（0，+∞）上单调递减;
② 当
0?a?
时，
?1?1?0
，
x?
?
0,1
?
时，
g
?
x
?
?0
,此时
f
?
?
x?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递减
?
1
?
x?
?
1,?1
?
时，
g
?
x
?
<0,此时
f
?
?
x
?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递增
?
a
?
?
1
?
x?
?
?1,??
?
时，
g
?
x
?
?0
，此时
f
?
?
x
?
?0
，函数
f
?
x
?
单调递减
?
a
?
1
a
1
2
1
2
1
a
③ 当
a?0
时，由于
?1?0
,
x?
?< br>0,1
?
时，
g
?
x
?
?0
,此时
f
?
?
x
?
?0
,函数
f
?x
?
单调递减：
x?
?
1,??
?
时，g
?
x
?
<0,此时
f
?
?
x
?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递增.
1
a
综上所述：
当
a?0
时，函数
f
?
x
?
在
?
0,1
?
上单调递减;函数
f< br>?
x
?
在
?
1,??
?
上单调递
增
当
a?
时,函数
f
?
x
?
在
?< br>0,??
?
上单调递减
1
2

??
当
0?a?
时，函数
f
?
x
?
在
?
0,1
?
上单调递减；函数
f
?
x
?
在
?
1,?1
?
上
a
2
??
1
1
单 调递增；
??
函数
f
?
x
?
在
??1,??
?
上单调递减.
?
1
?
a
【方法技巧】
1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除 式不为零，在实数集内偶次方根的被
开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个
正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结
果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确
定)，引起问题的结果有多种可 能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；

(4)归纳总结，得出结论.

三、利用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问 题的重要工具，几乎是
近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法。
2．常与函数的 其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为
含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答 题形式出现，属
中高档题。
解题技巧：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数
f
?
(x)
。（3）①或求极值，则先求方 程
f
?
(x)
=0的根，再检验
f
?
(x)
在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有

参数时要注意分类讨论）
② 若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程
f
?
(x)
=0的根的大小或存在情况，从而求解。
2．求函数
y?f(x)
的极值与端点处的函数值< br>f(a),f(b)
比较，其中最大
的一个是最大值，最小的一个是最小值。
?x
例3：（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数
f(x)?xe(x?R)

（Ⅰ）求函数
f(x)
的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数
y?g (x)
的图象与函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?1
对
称，证明当
x?1
时，
f(x)?g(x)

（III）如果
x
1
?x
2
，且
f(x
1
)?f(x
2
)
，证明
x
1
?x
2
?2

【命 题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调
性与极值等基础知识，考查运算能力及用 函数思想分析解决问题的能
力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
（Ⅰ）解：f’
(x)?(1?x)e
?x
，令f’ (x)=0,解得x=1，
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
x
f’(x)
(
??,1
)
+
1
0
极大值[来
f(x)
Z

(
1,??
)
-
源:学。科。
]

网]

所以f(x) 在(
??,1
)内是增函数，在(
1,??
)内是减函数。
1
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
e

（ Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
e
?xx?2
F(x)?xe?(x?2)e
令F(x)=f(x)-g(x),即
2x?2?x
F'(x)?(x?1)(e?1)e
于是
x?2

2x-2?x
e?1?0,又e?0,所以F
’(x)>0,从而函数F当x>1时， 2x-2>0,从而
（x）在[1,+∞)是增函数。
-1-1
e?e?0，所以x >1时，有
F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). 又F(1)=
(Ⅲ)证明：（1）
若
(x
1
?1)(x
2
?1)?0,由（?）及f(x
1
)?f(x
2
),则x
1
?x
2
?1.与x
1
?x
2
矛盾。
（2）若
(x
1
?1)(x
2
?1)?0,由（?）及f(x< br>1
)?f(x
2
),得x
1
?x
2
.与x< br>1
?x
2
矛盾。

根据（1）（2）得
(x
1
?1)(x
2
?1)?0,不妨设x
1
?1,x
2
?1.

由（Ⅱ）可知，
f(x
2
)
>
g(x< br>2
)
,则
g(x
2
)
=
f(2-x
2
)
，所以
f(x
2
)
>
f(2-x
2< br>)
,从而
f(x
1
)f(2-x
2
)
>.因 为
x
2
?1
，所以
2?x
2
?1
，又由（ Ⅰ）可知函数f(x)在
区间（-∞，1）内是增函数，所以
x
1
>
2?x
2
,即
x
1
?x
2
>2。

四、利用导数研究函数的图象
考情聚焦：1．该考向由于能很好地 综合考查函数的单调性、极值（最
值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家< br>的新宠。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，
且函数一 般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中
压轴部分出现。属于较难题。
例4 ：（2010·福建高考理科·Ｔ20）(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x，其图像
记为曲线C.
（i）求函数f(x)的单调区间；

(ii)证明：若对于任 意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）
处的切线交于另一点P2（x2,f(x2) .曲线C与其在点P2处的切线交于另
一点P3 （x3 f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲 线C所围成封闭图形的面
s
1
s
2
积分别记为S1,S2，则为定值 ：
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a
?
0)，请 给出类似
于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
【命题立意】本小题主要考查函数、导 数、定积分等基础知识，考查
抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结
合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区 间，（2）利用
导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解
S
1
,S
2
及其比
值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。
【规范解答】（Ⅰ) (i)
令
f'(x)?0
得到
?
x?
f'(x)?3x
2
?1?(3x?1)(3x?1)
，
11
或x??
33
，令
f'(x)?0
有
11
?x?
33
，因此原函数的单调递增区间为
1111
)(,? ?)(?,)
3
和
333
；；单调递减区间为
(??,?
23
2
f'(x)?3x?1P(x,x?x)
f'(x)?3x?1
，1111
11
(ii)，，
因此过点
P
1
的切线方程为 ：
y?
?
3x
1
2
?1
?
?
x? x
1
?
?x
1
3
?x
1
，即

23
?
?
y?
?
3x
1
?1
?
x?2x
1
?
323
3
y?3x
1
2?1x?2x
1
3
x?x?3x?1x?2x
y?x?x
11< br>?
，由
?
得，所以
????
x?x
1
或x??2x
1
，故
x
2
??2x
1
，进而有< br>S
1
?
?
?
x
x
1
?2x
1
3
?3x
1
2
x?2x
1
3
?
dx
?2x
1
27
4
?
1
4
3
2 23
?
?
?
x?x
1
x?2x
1
x
?
?x
1
x
424
??
1
，用
x
2
代替
x
1
，重复上面的计算，可
得
x
3
??2x
2
和
S
1
1
?
S
2
1 6
S
2
?
27
4
27?16
4
x
2
?S?x
1
?0
2
x??2x?0
1
4
4
，又
2
，，因此有
。
32
g(x)?ax?bx?cx ?d
的图像为曲线
C'
，（Ⅱ）【命题】若对于任意函数
b
其类似于 (I)(ii)的命题为：若对任意不等于
3a
的实数
x
1
，曲线与 其在
?
点
P
1
(x
1
,g(x
1
))
处的切线交于另一点
P
2
(x
2
,g(x
2< br>))
，曲线
C'
与其在点
P
2
(x
2
,g(x
2
))
处的切线交于另外一点
P
3
(x
3
,g(x
3
))
，线段
P
1
P
2
、
P
2
P
3
与曲线
C'
S
1
1
?
S
2
16
所围成面积为
S
1
、S
2
，则。
32
y?ax?bx?cx?d
，无论如何平移，其面积值是恒 【证明】对于曲线
2
32
y'?3ax?2bx?c
，
y?ax?b x?cx
定的，所以这里仅考虑的情形，
322
P
1
(x
1
,ax
1
?bx
1
?cx
1
)
，
f'(x
1
)?3ax
1
?2bx
1
?c
，因此过 点
P
1
的切线方程为：
232
?
?
y?(3ax
1
?2bx
1
?c)x?2x
1
?bx
1
?
32
232
y?(3ax
1
?2bx
1
?c)x ?2x
1
?bx
1
，联立
?
?
y?ax?bx?c x
，得
32223
ax?bx?3ax?2bxx?bx?2x?0
，
1111
到：
??
化简：得到
b?2ax
1
2b
2
?4a
2
x
1
2
?6abx
1
?ac
P
2
(?,)
2
(x?x)(ax?b?2ax)?0
aa
11
从而所以同

样运用(i)中方法便可以得到
所以< br>S
1
1
?
S
2
16
x
3
?
2b
?4x
1
??2x
2
a

。
【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计
算，利用导数判断函数单调性、极 值、最值等问题，试题还与不等式、
三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成
立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、
数形结合等重要的思想方法 ，主要考查导数的工具性作用。

例5．（2010·江西高考理科·Ｔ１２）如图，一个正 五角星薄片（其
对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记
t
时刻五角星露出水面部分< br>的图形面积为
S(t)(S(0)?0)
，则导函数
y?S'(t)
的 图像大致为






【命题立意】本题将 各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函
数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考 查分段函数，
考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，

考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力．
【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况 可用排除法；也可先求
面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判断.
【规范解答】选A ．方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部
分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变 化趋势相同，
只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积
的增长速度 显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项
C，故选A.
方法二：设正五角星 的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离
为
0
1，且设
tan18?m
，则依据题意可得：

2mt
?
?
(1?m
2?m)(?2t?4)
?
S
?
(t)?
?
2mt
?
22
?
?
?21?mt?4(1?m?m)
0?t?1
2m
1?t??1
2
1?m
2m
?1?t?2
2
1 ?m
2m
2?t?2?
1?m
2
故其导函数
选A.
【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的
要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法适应于定性
型或不易直接求解的选择题.当题 目中的变化情况较多时，先根据某
些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条< /p>

件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确
的选择.它与 特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近
几年高考选择题中考查较多.
1
?
??
1
a,a
2
?
?
?
2
y ?x
?
处例6．（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ10）若曲线在点
?
的切 线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
a?
[来
（A）64 （B）32 （C）16 （D）
8
【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，
考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三
角形的面积。
1
?
??
1
1
a,a
2
?
?
?y
?
??x,
2
2
?
处的切线：【规范解答】选A，所 以曲线
y?x
在点
?
?
3
2
?
1
2
y?a
1
?
3
?
??a
2
(x?a), 由x?0得y?a
2
,由y?0得，x?3a,
22

1
3 1
13
?
2
?a3a?18,解得a?64.
2
所以，
2

【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线上< br>一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。（2）
“过”曲线上一点的切线问 题，此时该点未必是切点，
故应先设切点，再求切点坐标。