数学思想与方法点拨

高中数学的思想及方法点拨
锇加教育 高中数学
学习一门知识，究其核心， 主要是学其思想和方法，学数学亦如此，数学思想和方法是其
学习的精髓。学习高中数学，从总体上分为 两个层次：
表层知识：如知识点概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本内容。
深层知识：主要指数学思想及解决具体问题的方法。
在学习概念、性质、公式的过程中应不断 渗透相关的数学思想方法。题海战术会事倍功半，
做到会做一道题，就会做一类题！反之，如果题目条件 一变化，你就不知所措，说明你忽
视了数学思想方法的培养。
数学思想是指客观世界的空间形 式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产
生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概 括后产生的本质认识。高中阶段主要的数
学思想包括：
化归与转化思想、函数思想、数形结合 思想、分类与整合思想、特殊到一般思想、有限与
无限的思想、或然与必然的思想
数学方法是 指用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形
成对问题的解释、判断和预 言的方法。通俗的讲就是解决具体问题的技巧和路线，而这些
方法的选择，都是源于数学思想的建立。
下文就具体的数学思想，谈谈其对应的具体数学方法。
（一）化归与转化思想：一切数学思想方法的核心
将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解 的和已经解决的问题。将抽象的问题转化为具
体的和直观的问题。将复杂的转化为简单的问题。将一般的 转化为特殊的问题。将实际的
问题转化为数学的问题等等，使问题易于解决。
转化包括等价转 化和非等价转化。等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是
必要的。不等价转化就只有一种 情况，因此，结论要注意检验、调整和补充。
常见的转化方法：
1 直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。
例：若a、b满足a
2
+b
2
=1、已知m=（1-ab）(1+ab),求m的取值范围。
提示：a、b直接转化为熟悉的三角函数

2 换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、
不等式问题转化为 易于解决的基本问题。
换元的方法主要有：整体换元、均值换元、三角换元、局部换元等。
换元的作用：降次、化分式方程为整式方程、化繁为简、化无理式为有理式。
例
：
1）
2）




3 数形结合法：研究原问题 中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变
换获得转化途径。例：
1）
2）
3）
点拨：构造函数，画出函数图形，利用几何意义







4 等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的。例：

若下列方程：
试求实数a的取值范围。
提示：正难求反。




中至少有一个方程有实根。
5 特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合
原问题。例：
证明对于任何实数k，方程
出这一个共同解。
提示：利用特殊值带入原函数。



6 构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
例：四面体ABCD，
?BAC
V?
2
abc
12
.
都有一个共同解，并求??CAD??DAB?60
，
AB?
?
,AC?b,AD?c
，求证：
提示：构造特殊的正4面体





7 坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径。
典型的代表就是立体几何中的空间向量的方法。利用向量的代数特点，解决几何问题。

小结：

数形结合的思想体现了数与形的转化。函数与方程的思想体现了函数、 方程、不等式之间
的相互转化。分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化。所以，以上三种思想也是转 化
与化归思想的具体呈现。
可以毫不夸张的说，所有的数学问题最终都是利用归化和转归的思 想，将其变为自己熟悉
或者容易解决的数学问题。

（二）函数与方程思想
函数思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函
数，再运用函 数的图像与性质去分析、解决相关的问题。
函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼。 在研究方程、不等式、数列、
解析几何等其他内容时，起着重要作用。函数的观点一般是借助初等函数的 性质，研究有
关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围。
方程思想是分析数 学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去
分析解决问题。
方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
常见的方法有：
1：求值域转化为一次函数问题
例：
1）已知对于任意的a∈[－1,1]，函数 f(x)＝x
2
＋(m－4)x＋4－2m的值总大于0，求m的 取
值范围。
2）
提示：转化为关于m的一次函数。





2:转化为二次函数的观点，通过求根公式、判别式，判断不等式的取值范围问题。

例：
ax
2
?8x?b
f(x)?
x
2
?1
的最大值为9，最小值为1. 1） 是否存在实数a，b，使
2）
3)设方程lgX= 10-X的根是X
1
，方程10
X
=10-X的根是 X
2
，则X
1
+X
2
的值是？

点拨：
1）转化为二次方程，通过求二次式的判别式，得出取值范围，代入已知条件得解。
2）通过已知题意得出其有两个正根的取值范围。





3利用函数的性质：一些数学问题转化为函数后，要充分用好函数的定义域、单调性、奇偶性、等重要性质研究数学问题。例题：
1）
2）
R上的连续偶函数f(x)，
x?0
时单调，求方程










f(
x?3
)?f(x)
x?4
的实根之和.

4 构造函数，解决不等式问题;充分利用函数的性质构造函数，尤其是圆锥曲线的定义
例：
1）
2）有一块正方形菜地
EFGH
,
EH
所在直线是一 条小河，收货的蔬菜可送到
F
点或河边
运走。于是，菜地分为两个区域
S1
和
S
2
，其中
S
1
中的蔬菜运到河边较近，
S
2
中的蔬菜运
到
F
点较近，而菜地内
S
1
和
S
2
的分界线
C
上的点到河边与到
F
点的距离相等，现建立平
面直角坐标系，其中原点
O
为
EF
的中点， 点
F
的坐标为（1,0），如图，求：菜地内的分
界线
C
的方程。（ 16年上海真题）



（三）数形结合思想
数学研究的对象是 数量关系和空间形式，即数与形两个方面。数与形在一定的条件下可以
转化，数形结合的思想对问题的解 决有举足轻重的作用。
如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代 数三角问
题。而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。
在一维空 间，实数与数轴上的点建立一一对应关系。在二维空间，实数对与坐标平面上的
点建立一一对应关系。数 形结合中，选择、填空题侧重考查数到形的转化。在解答题中，
考虑推理论证严密性，突出形到数的转化 。
在方法方面，数形结合就是将具体的代数，转化为函数图像，将抽象问题形象化，从而避
免 分类讨论，挖掘出题目的已知关系。而形向数的转化，主要是在圆锥曲线的内容，从形
中挖掘数的关系。



例题：

1）若过点P(－3，－ 1)的直线l与圆x
2
＋y
2
＝1有公共点，求直线l的倾斜角的取值范围
x＋y－2≤0，
?
?
2）已知x，y满足约束条件
?
x－ 2y－2≤0，
?
?
2x－y＋2≥0.
实数a的值为( )
3 ）已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其
准线 相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )
4）若f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的 两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取
值范围是( )
5）若点 P(x，y)在直线x＋y＝12上运动，则
x
2
＋1
＋
y
2
＋16的最小值为( )






（四）分类与整合思想
分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法。
分类的原则：分类不重不漏。
分类的步骤：①确定讨论的对象及其范围；②确定分类讨论的分 类标准；③按所分类别进
行讨论；④归纳小结、综合得出结论。
分类讨论问题的关键是化整为零，通过局部讨论以降低难度。常见的类型：
1）由数学概念引 起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系
等概念的分类讨论；
例：
2
?
?
sin?πx?，－1函数f(x )＝
?
x
－
1
若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为
?
e，x≥0，
?

若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则

点拨：由于f(x)为分段函数，故求f(a)时要分－1

2 ）由数学运算引起的讨论：如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题、二次项系数等
例：
“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的
A．充分不必要条件
C．充分必要条件

3）由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论：如一元二次方程求根公式的应用引起的
讨论；
例：
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
＝p
n< br>－1(p是常数)，判断数列{a
n
}的数列类型可能
点拨：
∵S
n
＝p
n
－1，
∴a
1
＝p－1， a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝(p－1)p< br>n1
(n≥2)，
－
( )




B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
当p≠1且p≠0时，{a
n
}是等比数列；
当p＝1时，{a
n
}是等差数列；
当p＝0时，a
1
＝ －1，a
n
＝0(n≥2)，此时{a
n
}既不是等差数列也不是等比数列．



4） 由图形位置的不确定性引起的讨论：如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的
讨论。
x
2
y
2
例：设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P 、F
1
、F
2
是一个直角
94
三角形的三个顶点，且
|
PF1
|
＞
|
PF2
|
.求
点拨：分 类讨论具体的直角





|
PF1
|
的值．
|
PF2
|

< br>5）由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，
二次项 系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响
等。
3例：是否存在非零实数a，使函数f(x)＝ax
2
＋(a－2)x＋1在[－2,3]上 的最大值为？若存
4
在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

（五） 特殊与一般思想
(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识
(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论
(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程
(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程
(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向
在具体使用这类 方法解题的时候，一般在选择和填空题直接使用特殊值进行求解。而
在大题中，一般通过特殊法，先对所 要处理的问题有较为直观的认识，在这种情况之下通
过观察得到一般的规律，在利用数学归纳法进行严格 的数学证明。
解此类问题，常用到递归的思想，通过一般过程的演化寻找其中的规律，从而得出结
论。
例：
1）若定义在 上的函数 满足：对任意有
f
?
x
1
?x
2
?
?f
?
x
1
?
?f?
x
2
?
?1
,则下列说法一定正
确的是（ ）
A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数
提示：特殊值法，求出x=0的情况，根据定义得出结果
2）观察式子，得出结论；并证明。

提示：观察出结论，通过放缩法证明。
11
??
23
11
(
n
?
n
?
22
1
??
11111111
?
1
??
(
?
)
?(
3
?
3
?
3
?
3
)
?2
?
12442222
11
n
?
11
n
11
n
?
n
)
?
n
??
n
??
(
?
n
)
?
22222222
n
?

3）已知一只兔子，每次能跳1到2级台阶，则其跳到第10级时所用的方法种类，共有多
少种？









（六）有限与无限的思想
把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路； 积累的解决无限问题
的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向；例如：立体几何中求球的 表面
积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型
的 有限与无限数学思想的应用
运用此类思想，关键是向两个方向去突破，一般情况下是找到变化的周期性 ，和找到其表
达式去寻找极限。
例：

1）
点拨：寻找周期性

{a}
2）在数列
n
在中，
a
n
?4n?
5
2
，
a
1
?a
2
?a
n
?an
2
?bn
，n?N
*
,其中
a,b
为常
a
n
?b
n
lim
nn
数，则
n??
a?b
的值是 .
点拨：有限的条件下获得求解的具体问题。




（七）或然与必然的思想
随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性 ，偶然中找必然，再
用必然规律解决偶然，等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立 事件
同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点
通过对等可 能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、
计算n次独立重复试验发生 了k次的概率，从而求出数学期望等。
例：某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4 个景点的概率都是0.6，且
客人是否游览哪个景点互不影响．设
?
表示客人离开该城 市时游览的景点数与没有游览的
景点数之差的绝对值．求
?
的数学期望。
点拨：分别求出其概率。