高中数学教学视频 北师大版-高中数学概念层次教学反思
高中数学:2.3独立性检验的基本思想
一、教学目标:1、知识与技能:⑴理解函数
单调性的概念;⑵会判断函数的单调性,会求函
数的单调区间。2、过程与方法:⑴通过具体实例的分析
,经历对函数平均变化率和瞬时变化
率的探索过程;⑵通过分析具体实例,经历由平均变化率及渡到瞬时
变化率的过程。3、情感、
态度与价值观:让学生感悟由具体到抽象,由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点:函数单调性的判定
教学难点:函数单调区间的求法
三、教学方法:探究归纳,讲练结合
四、教学过程
(一).创设情景
函
数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减
的快与慢以及函数的
最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们
可以对数量的变化规律有一个基本
的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会
导数在研究函数中的作用.
(二).新课探究
1.问题:图3.3-1(1),它表示跳水运动
中高度h
随时间
t
变化的函数
h(t)??4.9t
2
?6.
5t?10
的图像,图3.3-1
(2)表示高台跳水运动员的速度
v
随时间
t
变化的函数
v(t)?h(t)??9.8t?6.5
的图
像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入
水这两段时间的运动状态有什么区别?
通过观察图像,我们可以发现:(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度
h
随时间
t
的增加
而增加,即
h(t)
是增函数.相应地,
v(t)?h(t
)?0
.(2)从最高点到入水,运动员离水面的
高度
h
随时间
t<
br>的增加而减少,即
h(t)
是减函数.相应地,
v(t)?h(t)?0
.
2.函数的单调性与导数的关系
'
'
'
<
br>观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
如图3.3-3,导数<
br>f
'
(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
(x
0
,y
0
)
处的切线的斜率.
在
x?x
0
处,f
'
(x
0
)?0
,切线是“左下右上”式的,这时,函数f(x)
在
x
0
附近单调递
增;
在
x?x<
br>1
处,
f
'
(x
0
)?0
,切线是“左上右
下”式的,这时,函数
f(x)
在
x
1
附近单调递
减.
结论:函数的单调性与导数的关系
'
在某个区间
(a,b)
内,如
果
f(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增;如果
f
'
(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内
单调递减.
'
说明:(1)特别的,如果
f(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内是常函数.
3.求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤:
(1)确定函
数
y?f(x)
的定义域;(2)求导数
y
'
?f
'
(x)
;(3)解不等式
f
'
(x)?0
,解集
在定义域
内的部分为增区间;(4)解不等式
f
'
(x)?0
,解集在定义域内的部分
为减区间.
(三).典例探析
例1、已知导函数
f
'
(x)
的下列信息:
当
1?x?4
时,
f
'
(x)?0
;
当
x?4
,或
x?1
时,
f
'
(x)?0
;
当
x?4
,或
x?1
时,
f
'
(x)?0
试画出函数
y?f(x)
图像的大致形状.
解:当
1?
x?4
时,
f
'
(x)?0
,可知
y?f(x)
在
此区间内单调递增;
当
x?4
,或
x?1
时,
f
'
(x)?0
;可知
y?f(x)
在此区间内单调递减;
当
x?4
,或
x?1
时,
f
'
(x)?0
,这两点
比较特殊,我们把它称为“临界点”.
综上,函数
y?f(x)
图像的大致形状如图3.3-4所示.
例2、判断下列函数的单调性,并求出单调区间.
(1)
f(x)?x?3x
;
(2)
f(x)?x?2x?3
32
(3)
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
;
(4)
f(x)?2x?3x?24x?1
3'22
32
解:(1)因为
f(x)?x?3x
,所以,
f(x)?3x?3?3(x?1)?
0
因此,
f(x)?x?3x
在
R
上单调递增,如图3.
3-5(1)所示.
(2)因为
f(x)?x?2x?3
,所以,
f(x)?2x?2?2
?
x?1
?
2
3
'
当
f(x)?0
,即
x?1时,函数
f(x)?x?2x?3
单调递增;
'2
当<
br>f
'
(x)?0
,即
x?1
时,函数
f(x)?x<
br>2
?2x?3
单调递减;
函数
f(x)?x
2
?2x?3
的图像如图3.3-5(2)所示.
(3)因为
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
,所以,
f
'
(x)?cosx?1?0
因此,函数
f(x)?sinx
?x
在
(0,
?
)
单调递减,如图3.3-5(3)所示.
(4)因为
f(x)?2x
3
?3x
2
?24x?1
,所
以 .
当
f
'
(x)?0
,即
时,函数
f(x)?x
2
?2x?3
;
当
f
'
(x)?0
,即
时,函数
f(x)?x
2
?2x?3
;
函数
f(x)?2x
3
?3x
2
?24x?1
的图像如图3
.3-5(4)所示.
注:(3)、(4)生练
例3.如图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四
种底面积相同的
容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度
h
与时间
t的函数关系图像.
分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三
种容器
的情况.
解:
?
1
?
?
?
B
?
,
?
2
?
?
?
A
?
,
?
3
?
?
?
D
?
,
?
4
?
?
?
C
?
思考:例3表明,通过函数图像
,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结
合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情
况吗?
一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,
这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些.如图3.3-7所示,函
数
y?f(x)
在
?
0,b
?
或
?
a,
0
?
内的图像“陡峭”,在
?
b,??
?
或
???,a
?
内的图像“平缓”.
例4、求证:函数
y?2x
3
?3x
2
?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内是减函数.
'22
证明:因为
y?6x?6x?12?6x?x?2?6
?
x?1
??
x?2
?
??
当
x?<
br>?
?2,1
?
即
?2?x?1
时,
y
'?0
,所以函数
y?2x
3
?3x
2
?12x?1在区间
?
?2,1
?
内是
减函数.
说明:证明可导函
数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单
调性步骤:(1)求导函数
f
'
?
x
?
;(2)判断
f
'
?
x
?
在
?
a,b
?
内的
符号;(3)做出结论:
f
'
?
x
?
?0
为增函数
,
f
'
?
x
?
?0
为减函数.
(四).课堂练习:课本P59页练习1(1);2
(五).回顾总结:(1)函数的单调性
与导数的关系;(2)求解函数
y?f(x)
单调区间;(3)
证明可导函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性
(六).布置作业:课本P62页习题3-1A组1、2
五、教后反思:
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m