高中数学四大数学思想(1)

高中数学四大思想方法
高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学 思想方法、
数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，
那么 数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数
学问题的认识、处理和解决． 高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、
数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些 在一轮复习中都有所涉及，
建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习，这样可以使理论指导实践 ，
“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果，而市
面上有些资料 把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用，也因时间紧造
成学而不透、学而不深，在真正的高考 中不能从容应对．不过也可根据自身情况
选择学完后再复习此部分．
思想1 函数与方程思想
函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去
分析问题、转化问题 ，从而使问题获得解决的数学思想．
方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程 或方程组，
或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．
(1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，
则( )

A．3f(ln 2)＜2f(ln 3)
B．3f(ln 2)＝2f(ln 3)
C．3f(ln 2)＞2f(ln 3)
D．3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定
x
2
y
2
(2)(名师押题 )直线y＝kx＋2和椭圆
4
＋
3
＝1在y轴左侧部分交于A，B两
点，直线l过点P(0，－2)和线段AB的中点M，则l在x轴上的截距a的取值范
围为______ __．
f′?x?－f?x?
f?x?
??
6
??
(1)C (2)
－，0
[(1)令F(x)＝
e
x
，则F′(x)＝. < br>e
x
?
3
?
因为对?x∈R都有f(x)＞f′(x)，所以 F′(x)＜0，

即F(x)在R上单调递减．又ln 2＜ln 3，所以F(ln 2)＞F(ln 3)，
f?ln 2?f?ln 3?f?ln 2?f?ln 3?
即
e
ln 2
＞
e
ln 3
，所以
2
＞
3
，即3f(ln 2)＞2f(ln 3)，故选C.
(2)设A(x
1
，y
1
)，B(x
2< br>，y
2
)，M(x
0
，y
0
)，直线l与x轴的交点 为N(a,0)．
y＝kx＋2，
?
?
由
?
x
2
y
2
＋＝1，
?
?
43

得(3＋4k
2
)x
2
＋16kx＋4＝0.
x
2
y
2
因为直线y＝kx＋2和椭圆
4
＋
3
＝1在 y轴左侧部分交于A，B两点，所以
?
16k
?
x＋x＝－
3＋< br>＜0，
4k
?
4
?
xx＝
?
3＋4k
＞0，
12
2
12
2
Δ＝?16k?
2
－4×4 ?3＋4k
2
?＞0，

1
解得k＞
2
.
又M为线段AB的中点，所以
x
1
＋x
2
－8k
?
?
x
0
＝
2
＝
3＋4k
2
，< br>?
y
1
＋y
2
6
?
?
y
0
＝
2
＝
3＋4k
2
.

由P(0，－2)，M(x
0
，y
0
)，N(a,0)三点共线，
6
＋2
3＋4k
2
0－?－2?
43
所以＝，所以 －
a
＝2k＋
k
.
－8ka－0
3＋4k
21364
又因为k＞
2
，所以2k＋
k
≥26，当且仅当k＝< br>2
时等号成立，所以－
a
≥26，
6
则－
3
≤a≤0.]

函数与方程思想在解题中的应用
1．函数与不等式的相互转化，对 函数y＝f(x)，当y＞0时，就化为不等式f(x)
＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题 ，而研究函数的性质也离不开不
等式．
2．数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理
数列问题十分重要．

3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二
次方 程与二次函数有关理论．
4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或< br>建立函数表达式的方法加以解决．
π
??
[变式训练1] 将函数y＝sin
?
4x－
3
?
的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，
??
所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为________.
π
?
5π
?
?
4x－
3
?
的图象上所有的点向左平移m个单位长 度后，得到y [把y＝sin
24
??
π
?
π
???＝sin
?
4?x＋m?－
3
?
＝sin
?
4 x＋4m－
3
?
的图象，
????
ππ
而此图象关于y轴 对称，则4m－
3
＝kπ＋
2
(k∈Z)，
1
5π5π< br>解得m＝
4
kπ＋
24
(k∈Z)．又m＞0，所以m的最小值为24
.]
思想2 数形结合思想
数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．其应用
包括以下两个方面：
(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思
维为形象思维，揭 示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性
质．
(2)“以数定形”，把直 观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程
来精确地阐明曲线的几何性质．
?
|x|，x≤m，
(2016·山东高考)已知函数f(x)＝
?
2
其中m>0.
x－2mx＋4m，x>m，
?
若存在实数b，使得关于x 的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是
________．
(3，＋∞) [作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x
2
－2mx＋4m＝(x－m)
2< br>＋4m－m
2
，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m
2
2
－3m>0.
又m>0，解得m>3.]

数形结合思想在解题中的应用
1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．
2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．
3．构建解析几何模型求最值或范围．
4．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．
[变式训练2] (1)若方程 x
2
＋(1＋a)x＋1＋a＋b＝0的两根分别为椭圆、双曲
b
线的离心率 ，则
a
的取值范围是( )
A．(－2，－1)
B．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
1
??
C.
?
－2，－
2
?

? ?
??
D.
(
－∞，－2
)
∪
?
－
2
，＋∞
?

??
1
??
(2)(2015·吉 林模拟)若不等式4x
2
－log
a
x<0对任意x∈
?
0 ，
4
?
恒成立，则实数
??
a的取值范围为( )
?
1
?
A.
?
256
，1
?

??
1
??
C.
?
0，
256
?

??
?
1
?
B.
?
256
，1
?

??
1
??
D.
?
0，
256
?

??
1
(1)C (2)B [(1)由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一根大于1.
设f(x)＝x
2
＋(1＋a)x＋1＋a＋b，则
?
f?0?＞0，
?

?
f?1?＜0，
?
1＋a＋b＞0，
即
?

?
2a＋b＋3＜0.

作出可行域如图阴影部分所示．

b1
可以看作可行域内的点(a，b)与 原点(0,0)连线的斜率，由图可知k＝－
OA
a2
，
b1
∴－2 ＜
a
＜－
2
.
1
?
1
???
0 ，0，
(2)由已知4xa
x对任意x∈
?
恒成立，相当于 在
?
上，函数y＝
4
?
4
?
????
2< br>log
a
x的图象恒在函数y＝4x
2
图象的上方，显然当a>1时， 不成立，当a<1时，
1111
?
1
?
如图，只需log
a
4
≥4×
?
4
?
2
?a
4
≥4
?a≥
256
，
??

?
1
?< br>又a<1，故a∈
?
256
，1
?
.故选B.]
??
思想3 分类讨论思想
分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需 要对研究的对象按
某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类
结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零
为整”的数学思想．
?
3x－1，x<1，
(1)(2015·山东高考)设函数f(x)＝
?
x
则满足f(f(a))＝2
f(a)
?
2，x≥1.

的a的取值范围是( )
?
2
?
A.
?
3
，1
?

??
?
2
?
C.
?
3
，＋∞
?< br>
??
B.[0,1]
D.[1，＋∞)
x
2
y
2
(2)设F
1
，F
2
为椭圆
9
＋4
＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F
1
，
|PF
1
|
F
2
是一个直角三角形的三个顶点，且|PF
1
|＞|P F
2
|，则
|PF|
的值为________．
2
7
(1)C (2)2或 [(1)由f(f(a))＝2
f(a)
得，f(a)≥1.当a<1时，有3a－1≥1，∴
2
22
a≥
3
，∴
3
≤a<1.
当a≥1时，有2
a
≥1，∴a≥0，∴a≥1.
2
综上，a≥
3
，故选C.
(2)若∠PF
2
F
1
＝90°，
则|PF
1< br>|
2
＝|PF
2
|
2
＋|F
1
F< br>2
|
2
.
∵|PF
1
|＋|PF
2
|＝6，|F
1
F
2
|＝25，
144
解得|PF1
|＝
3
，|PF
2
|＝
3
，
|PF
1
|7
∴
|PF|
＝
2
.
2
若∠F
2
PF
1
＝90°，
则|F
1
F
2
|
2
＝|PF
1
|
2
＋|P F
2
|
2

＝|PF
1
|
2
＋( 6－|PF
1
|)
2
，
解得|PF
1
|＝4，|PF
2
|＝2，
|PF
1
|
∴
|PF|
＝2.
2
|PF
1
|7
综上所述，
|PF|
＝2或
2
.]
2

分类讨论思想在解题中的应用
1．由数学概念引起的分类．有的概念本 身是分类的，如绝对值、直线斜率、
指数函数、对数函数等．

2．由性质、定 理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是
分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如 等比数列的前n项和公式、函数的
单调性等．
3．由数学运算和字母参数变化引起的分类．如 除法运算中除数不为零，偶
次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边 同
乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
4．由图形的不确定性引起的分类讨论．有的 图形类型、位置需要分类，如：
角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
[变式训练3] (1)已知二次函数f(x)＝ax
2
＋2ax＋1在区间[－3, 2]上的最大值
为4，则a等于( )
A．－3
C.3
3
B.－
8
3
D.
8
或－3
39(2)在等比数列{a
n
}中，已知a
3
＝
2
，S3
＝
2
，则a
1
＝________.
3
(1)D (2)或6 [(1)当a＞0时，f(x)在[－3，－1]上单调递减，在[ －1,2]上
2
3
单调递增，故当x＝2时，f(x)取得最大值，即8a＋1＝4， 解得a＝
8
.当a＜0时，
易知f(x)在x＝－1处取得最大，即－a＋1＝4，∴ a＝－3.
3
综上可知，a＝
8
或－3.故选D.
3
( 2)当q＝1时，a
1
＝a
2
＝a
3
＝
2
，
9
S
3
＝3a
1
＝
2
，显然成立；
当q≠1时，由题意，
3
?
a
1
q
2
＝ a
3
＝
2
，
?
得
?
a
1
?1－q
3
?
9
＝S＝
3
?
2
.
?
1－q

2
3
a
?
1
q＝， ①
?< br>2
所以
?
9
2
a?1＋q＋q?＝
?
?1
2
，②


1＋q＋q
2
1
2由①②，得
q
2
＝3，即2q－q－1＝0，所以q＝－
2
或q ＝1(舍去)．
1a
3
当q＝－
2
时，a
1
＝< br>q
2
＝6.
3
综上可知，a
1
＝
2
或a
1
＝6.]
思想4 转化与化归思想
转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将 问题通
过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转
化为简单 的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问
题通过变换转化为已解决的问题．
(1)(2016·洛阳模拟)抛物线y
2
＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该 抛物线
|PF|
上的动点，又点A(－1,0)，则
|PA|
的最小值是( )
【导学号：85952002】
1
A.
2

3
C.
2

2
B.
2

23
D.
2

(2)(名师押题)已知函数f(x)＝3e
|x|
.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的
x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都 有f(x＋t)≤3ex，则m的最大值为________．
|PF|
[解题指导] (1)利用抛物线的定义把
|PA|
的最值问题等价转化成直线PA的
斜率问题．
x＋t≥0两边取对数令h?x?＝1＋ln x－x
＋
(2)f(x＋t)≤3ex ――→e
xt
≤ex――→t≤1＋ln x－x――→
h(x)
min
≥－1.
(1)B (2)3 [(1)如图 ，作PH⊥l于H，由抛物线的定义可知，|PH|＝|PF|，
|PF||PH|
从而
|PA|
的最小值等价于
|PA|
的最小值，等价于∠PAH最小，等价于∠PAF 最大，

即直线PA的斜率最大．此时直线PA与抛物线y
2
＝4x相切 ，由直线与抛物线的
|PF||PH|2
关系可知∠PAF＝45°，所以
|PA|< br>＝
|PA|
＝sin 45°＝
2
.

(2)因为当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，
所以f(x＋t)≤3ex?e
xt
≤ex?t≤1＋ln x－x.
＋
所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x
－x对任意x∈[1，m]恒成立．
令h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)．
1
因为h′(x)＝
x
－1≤0，
所以函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数．
又x∈[1，m]，所以h(x)
min
＝h(m)＝1＋ln m－m.
所以要使得对x∈[1，m]，t值恒存在，
只需1＋ln m－m≥－1.
1
?
13
?
?
因为h(3)＝ln 3－2＝ln
?
e
·
>ln
e
＝－1，
?e
?
1
?
14
?
?
h(4)＝ln 4－3＝ln
?
e
·
e
＝－1，且函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，
?
e
2
?
所以满足条件的最大整数m的值为3.]

转化与化归思想在解题中的应用
1．在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化 归将复杂的三
角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公
式 的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．
2．换元法：是将一个复杂的或陌 生的函数、方程、不等式转化为简单的或
熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．
3． 在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，

常将平面向量语 言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．
4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．
5．在利用导数研究 函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问
题，转化为其导函数f′(x)构成的方程．
[变式训练4] (1)(2016·杭州二模)在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E是AA
1
的
中点，则异 面直线BE与B
1
D
1
所成角的余弦值等于________，若正方体的边 长
为1，则四面体B-EB
1
D
1
的体积为________． < br>?
m
?
(2)若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x
3
＋
?
2
＋2
?
x
2
－2x在区间(t,3)上总 不为单
??
调函数，则实数m的取值范围是________．
(1)
101
?
37
?
(2)
?
－
3
，－5
?
[(1)连接BD，DE，因为B D∥B
1
D
1
，所以∠EBD
56??
5
就是异面 直线BE与B
1
D
1
所成的角，设A
1
A＝1，则DE＝B E＝
2
，BD＝2，cos
55
＋2－
44
10
∠ EBD＝＝
5
，由V三棱锥B-EB
1
D
1
＝V三棱锥D< br>1
-BEB
1
得V三棱
5
2×
2
×2
111
锥B-EB
1
D
1
＝
3
×
2×1＝
6
.
(2)g′(x)＝3x
2
＋(m＋4)x－2， 若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①
g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′( x)≤0在(t,3)上恒成立．
2
由①得3x
2
＋(m＋4)x－2≥0 ，即m＋4≥
x
－3x在x∈(t,3)上恒成立，所以m
2
＋4≥
t
－3t恒成立，
则m＋4≥－1，即m≥－5；
2237
由②得m＋4 ≤
x
－3x在x∈(t,3)上恒成立，则m＋4≤
3
－9，即m≤－
3
.
37
所以若函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数，则m的取值范 围为－
3
＜m
＜－5.]