高中数学选修4-5大题答案-什么水平能过高中数学教师证
集合的概念及其运算
【知识概述】
一、集合有关概念
1.集合的含义:我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.
2.集合中元素的三个特性: 确定性、互异性、无序性.
3.元素与集合之间只能用“
?
”或“
?
”符号连接.
4.集合的表示:
①自然语言描述法;②列举法;③描述法;④Venn图法.
5.常见的特殊集合:
①非负整数集(即自然数集)N;
②正整数集
N
?
或
N
*
;
③整数集Z;
④有理数集Q;
⑤实数集R.
6.集合的分类:①有限集;②无限集;③空集 .
二、集合间的基本关系
1.子集
2.真子集
3.空集:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
注:集合之间只能用“
?
”“
?
”等连接,元素与集合间用“
?
”或“
?
”符号连接
三、集合的基本运算
1.交集
2.并集
3.交集与并集的性质:
A
A
A?A,A???,AB?BA;
A?A,A??A,AB?BA.
4.全集与补集
(1)全集:用U来表示.
(2)补集:
?
U
A?xx?U且x?A
.
??
【学前诊断】
1.[难度] 易
已知集合A ={x | x ( x -1) = 0},那么( )
A.
-1∈A B. 1
?
A C. 0∈A
D. 0
?
A
2.[难度] 易
已知
A,B<
br>均为集合
U?{1,3,5,7,9}
的子集,且
AB?{3}
,(?
U
B)A?{9}
,则
A?
( ).
A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9}
D.{3,9}
3.[难度] 易
设
P?{xx?4},
Q?{xx?4}
,则( )
A.
P?Q
B.
Q?P
C.
P?
【经典例题】
<
br>2
例1.已知集合
A?
?
1,3,x
?
集合
B?1,x
,若
B?A
,则满足条件的实数
x
的个数
2?
Q
D.
Q?
?
P
RR
??
是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2
解:因为
B?A
,所以x
2
?3
,或
x?x
.
解得
x??3
,或
x?0, 1
.
当
x?1时,
A,B
中元素不满足互异性,故
x?1
;
当x=0时,A={1,3,0},B={1,0},满足条件;
当
x?3
时,A={1,3,
3
},B={1,3},满足条件;
当
x??3
时,A={1,3,
?3
},B={1,3},满足条件
;
故满足条件的实数
x
有3个.
k1??k1?
?,
k?Z
?
,
N?
?
xx??,k?Z
?
,则(
)
2442
????
A.
M?N
D.
MN??
例2.设集合
M?
?
xx?
?
解:集合M的元素为:
x?
k12k?1
(k?Z)
,
??
244
3113
,?,,?
.
4444
因为
2k?1
为奇数,所以集合M中的元素为
?,?
集合N的元素为:
x
?
k1k?2
??
(k?Z)
,
424
321123因为
k?2
为整数,所以集合N中的元素为
?,?,?,?,0,,,?
.
444444
故
M
N
,因此选B.
例3.
已知集合
U?
?
1,2,3,4,5,6,7
?
,A?
?<
br>2,4,5,7
?
,
B?
?
3,4,5
?
,
则
(痧
U
A)(
U
B)
=( )
A.
?
1,2,3,6,7
?
B.
?
2,3,4,5,7
?
C.
?
4,5
?
D.
?
1,6
?
解:
?1,3,6}
,
?1,2,6,7}
,故
(痧
U
A?{
U
B?{
U
A)
例4. 设集合A?
?
1,2
?
,则满足
A
(
U
B)
?{1,2,3,6,7}
.因此选A.
B?
?
1,2,3
?
的集合B 的个数是( )
A.1 B. 3 C. 4
D. 8
解法1:因为
A?{1,2}
,
A?B?{1,2,3}
,则集合B中必含有元素3.
故
B?{3}
,或
B?{1,3}
,或
B?{2,3}
,或
B?{1,2,3}
,共4个.因此选C.
解法2:注意到集合
B
中必含有元素3,而
B
中其他元素应当由从
A
中取0个、1个、
2个元素而得到,这相当于求集合
A
的子集的个数问题.
而集合
A
有2个元素,故
A
的子集共有
2?4
个,
于是满足题目条件的集合
B
共有4
个.选C.
例 5.设集合
S?
xx?2?3,T?xa?x?a?8,S
2
??
??
T?R
,则<
br>a
的取值范围是( )
A.
?3?a??1
B.
?3?a??1
C.
a??3
或
a??1
D.
a??3
或
a??1
解:由
x?2?3
,得
x?2??3
,或
x?2?3
.
所以
x??1
,
或
x?5
,即
S?(??,?1)
又
S
(5,??)
.
T?R
,结合图形,
?
a??1,
可知有
?
解得
?3?a??1.
?
a?8?5,
因此选A.
a
-1
5
a+8
例 6.定义集合运算<
br>A?B?zz?xy(x?y),x?A,y?B
,设集合
A?
?
0,
1
?
,B?
?
2,3
?
,
则集合
A?B<
br>的所有元素之和为( )
A. 0 B.6
C.12 D.18
解:当
x?0
时,不论
y?
2
还是
y?3
,都有
z?0
.
当
x?1
时,若
y?2
,则
z?1?2(1?2)?6
;
当
x?1
时,若
y?3
,则
z?1?3(1?3)?12
.
??
A?B?{0,6,12}
,故所有元素之和为18,因此选D.
例 7.已知集合
A?
?
?
x,y
?
x
2
?mx?y?2?0,B?
?
(x,y)x?y?1?0,0?x?2
?,又
?
AB??,
求实数m的取值范围.
?
x
2<
br>?mx?y?2?0,
解:联立
?
消去y,得
x
2
?
(m?1)x?1?0
. (*)
?
x?y?1?0
?
x
2
?mx?y?2?0,
因为
AB??
,所以
?
在
0?x?2
上有解,
?
x?y?1?0
即
x
2
?(m?1)x?1?0
在
0?x?2
上至少有一个根.
2
故??0
,即
(m?1)?4?0
,解得
m??1
,或
m
?3
.
当
m?3
时,两根和
x
1
?x
2
??(m?1)?0
,两根积
x
1
x
2
?1
,
故方程(*)只有负根,因此
m?3
不可能.
当
m??1<
br>时,两根和
x
1
?x
2
??(m?1)?0
,两根积
x
1
x
2
?1
,
故方程(*)两根都是正数,且互为倒数.
因此方程(*)在
0?x?2
上至少有一个根,所以
m??1
.
【本课总结】
1. 集合中的元素具有“确定性、互异性、
无序性”三个特性,在解题时要注意运用,
题目解出来后要注意检验其元素是否满足这三个性质,尤其是
集合元素的“互异性”
最容易被忽视,应引起足够的重视.
2. 用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一
般
地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序数对来表示.
3.
含有n个元素的集合有
2
个子集,
2?1
个真子集.
4.
集合的运算性质:
对于任意两个集合A,B,有
nn
AB?BA,AB?B
AA?A,AA?A;
A???,A??A;
A;
如果A?B,则AB?A,AB?
B;
A
?
U
A?U;
A
?
U
A
??;
痧
U
?
U
A
?
?A;
?B)?(痧
(
U
B)
;
U
(A
U
A)
?B)?(痧(
U
B)
.
U
(A
U
A)
【活学活用】
1. [难度] 易
已知集合S={a,b,c}中的三个元素分别是
?
ABC的三边长,那么
?
ABC一定不是( ).
A.锐角三角形
B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
2. [难度]
易
设集合
A?x2x?1?3,B?x?3?x?2
,则
A?B
等于(
).
A.
x?3?x?1
B.
x1?x?2
C.
xx??3
D.
xx?1
3.[难度] 中
设
U
?
?
0,1,2,3
?
,
A?x?Ux?mx?0
,若?1,2
U
A?
?
2
????
??
??
????
??
?
,则实数
m?
_________.
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