最新初高中数学公式大全

1
2
初中数学公式表
公式表达式
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
公式分类
平方差
和差的平
(a+b)
2
=a
2
+b
2
+2ab
方
(a-b)
2
=a
2
+b
2
-2ab
和 差的立
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
方
a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)
|a+b|≤|a|+|b|
三角不等
式
|a-b|≥|a|-|b|
|a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
-|a|≤a≤|a|
一元二次
-b+√(b
2
-4ac)2a -b-b+√(b
2
-4ac)2a
方程的解

根与系数
X1+X2=-ba
的关系
X1*X2=ca 注：韦达定理
b
2
-4a=0 注：方程有相等的两实根
判别式 b
2
-4ac>0 注：方程有一个实根
b
2
-4ac<0 注：方程有共轭复数根
1

三角函数公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB- sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
两角和公
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB
式
)
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A+B)= (ctgActgB-1)(ctgB+ctgA
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ct gB-ctgA)
)
tan2A=2tanA(1-tan
2
A)
倍角公式
cos2a=cos
2
a-sin
2
a=2co s
2
a-1=1-2sin
2

a
ctg2A=(ctg
2
A-1)2ctga
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2)
半角公式
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA))
cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))
和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A +B)2)cos((A-B)
cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2 )
2
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n
2

某些数列
前n项和
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
+8
2
+…+n
2
=n(n+1)(2n+1)6
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)1+2+3+4+5+6+…n=n(n+1)4
3
333333322
正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b
2
=a
2
+c
2
-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
解析几何公式
圆的标准
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2

方程
注：（a,b）是圆心坐标
22
x+y+Dx+Ey+F=0
圆的一般
注：D
2
+E
2
-4F>0
3

方程
抛物线标
y
2
=2px
准方程
y
2
=-2px x
2
=2py x
2
=-2py
几何图形公式
直棱柱侧
S=c*h
面积
斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧
S=12c*h'
面积
正棱台侧面积 S=12(c+c')h'
圆台侧面
S=12(c+c')l=pi(R+r)l
积
球的表面积 S=4pi*r
2

圆柱侧面
S=c*h=2pi*h
积
圆锥侧面积 S=12*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r (a是圆心角的弧度数r>0) 扇形面积公式 s=12*l*r
锥体体积
V=13*S*H
公式
圆锥体体积公式 V=13*pi*r
2
h
柱体体积
V=s*h
公式
圆柱体 V=pi*r
2
h
4

斜棱柱体
V=S'L (S'是直截面面积，L是侧棱长) 注：pi=3.979……
积
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1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
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19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
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37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对
称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条
直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角
形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
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54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一
组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
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72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一
点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第
三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它
的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的
一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
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85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应
线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比
例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么
这条直线平行于三 角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角
形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形
与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平
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分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半
径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直
平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距
离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
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110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角
121①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
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③直线L和⊙O相离 d＞r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积
相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
14

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135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a／4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
144弧长计算公式：L=n兀R／180
145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

15

199 高中数学常用公式及结论

200
201

1 元素与 集合的关系:
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A? x?A
.
?
2 集合
{a
1
,a
2
,
A?A??

202
203
204
205
,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有2
n
?1
个；非空子集有
2
n
?1
个；
非空的真子集有
2
n
?2
个.
3 二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2) 顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)
时，设为此式）
(3) 零点式
f(x)?a(x?x
1< br>)(x?x
2
)(a?0)
；（当已知抛物线与
x
轴的交点坐 标为
(x
1
,0),(x
2
,0)
时，设为此式）
206
207
208
209
210
211
212
（4）切线式：
f(x)?a(x?x
0
)
2?(kx?d),(a?0)
。（当已知抛物线与直线
y?kx?d
相切
且切点的横坐标为
x
0
时，设为此式）
4 真值表： 同真且真，同假或假
5 常见结论的否定形式;
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有
n
个 至多有（
n?1
）个
16

小于 不小于 至多有
n
个 至少有（
n?1
）个
对所有
x
，成立 存在某
x
，不成立
p
或
q

?p
且
?q

对任何
x
，不成
存在某
x
，成立
立
p
且
q

?p
或
?q

213
214
215
216
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218
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220
221
222
223
224
225

6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）
原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

充要条件： (1)、
p?q
，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；
226 （2）、
p?q
，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；
227
228
(3)、p ≠> p ，且
q?p
，则P是q的必要不充分条件；
4、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。
17

229
230
7 函数单调性:
增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在x
?
D上有定义，若对任意的
有 < br>f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
,x
2
?D,且x
1
?x
2
231
232
，都
233
234
成立，则就叫f（x）在x
?
D上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在x
?
D上有定义，若对任意的
有 < br>f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
,x
2
?D,且x
1
?x
2
235
236
，都
237
238
239
240
241
成立，则就叫f（x）在x
?
D上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
函
单调
数 单调性
内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓
外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑
复合函数 ↑ ↑
18
↓ ↓

242
243
等价关系：
(1)设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?
,x
1
? x
2
那么
f(x
1
)?f(x
2
)
?0 ?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在?
a,b
?
上是减函数.
x
1
?x
2
244
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
245
(x
1
?x
2
)
?f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，
则
f(x)
为减函数.
8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）
奇函数：
定义：在前提条件下，若有
f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0
，
则f（x）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .
偶函数：
定义：在前提条件下，若有
f(?x)?f(x)
，则f（x）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：
19

260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反 过来，如果一个函数的图象
关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称， 那么这个函数
是偶函数．
9函数的周期性：
定义：对函数f（x），若存在T?
0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是
周期函数，其中，T是f（x）的 一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2
m?n
；
272 (3)、
f(x?m)??
1
，此时周期为2m 。
f(x)
273 10常见函数的图像：
y
y
y
y
k<0
o
k>0
x
o
a<0
x
y=a
x
01
o
x
y=log
a
x
0a>1
274
275
276
277
y=kx+b
a>0
2

y=ax+bx+c

o
1
a>1
x

11 对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是
x?
a?bb?a
;两个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
22
12 分数指数幂与根式的性质：
20

278 (1 )
a?
n
a
m
（
a?0,m,n?N
?
， 且
n?1
）.
?
m
n
m
n
279 （2 ）
a?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
）.
280 （3）
(
n
a)
n
?a
.
281
?
a,a?0
（4）当
n
为奇数时，
n< br>a
n
?a
；当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
.
?
?a,a?0
13 指数式与对数式的互化式:

log
a
N?b?a
b
?N< br>(a?0,a?1,N?0)
.
指数性质：
(1)1、
a
?p
?
1
； （2）、
a
0
?1
（
a?0
） ； (3)、
a
mn
?(a
m
)
n

p
a
r?s
282
283
284
285
286
287
(4)、
a?a?a
指数函数：
rs
(a?0,r,s?Q)
； (5)、
a?
n
a
m
；
m
n
(1)、
y?a
x
(a?1)
在定义域内是单调递增函数；
（2）、
y?a
x
(0?a?1)
在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，
1）
对数性质：
(1)、
loga
M?log
a
N?log
a
(MN)
；（2）、
log
a
M?log
a
N?log
a
(3)、
log
a
b
m
?m?log
a
b
；(4)、
log
a
m
b
n
?
M
；
N
288
289
290
291
292
n
?log
a
b
； (5)、
log
a
1?0

m
293
294
(6)、
log
a
a?1
； (7)、
a
log
a
b
?b

对数函数：
21

295 (1)、
y?log
a
x(a?1)
在定义域内是单调递增函数；
（2） 、
y?log
a
x(0?a?1)
在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，
0）
(3)、
log
a
x?0?a,x?(0,1)或a,x?(1,??)

(4)、
log
a
x?0?a?(0,1)则x?(1,??)
或
a?(1,??)则x?(0,1)

log
m
N
(a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,
N?0
).
log
m
a
296
297
298
299
300 14 对数的换底公式 :
log
a
N?
301
302
303
304
对数恒等式：
a
log
a
N
?N
(
a? 0
,且
a?1
,

N?0
).
推论
l og
a
m
b
n
?
n
log
a
b< br>(
a?0
,且
a?1
,

N?0
).
m
15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
; (2)
log
a
M
?log
a
M?log
aN
;
N
n
log
a
N(n,m?R)
。
m
305 (3)
log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)
; (4)
log
a
m
N
n
?
16 平均增长率的问题（负增长时
p?0
）： 306
307
308
309
310
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则 对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
x
.
17 等差数列：
通项公式： （1）
a
n
?a
1
?(n?1)d
，其中
a
1
为首项，d为公差，n为项数，
a
n
为末项。
（2）推广：
a
n
?a
k
?(n?k)d
311
22

312 （3）
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）
前n项和： （1）
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
；其中
a
1
为首项，n为项数，
a
n
为末项。
2
n(n?1)
d

2
313
314
315
（2）
S
n
?na
1
?
（3）< br>S
n
?S
n?1
?a
n
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）
（4）
S
n
?a
1
?a
2
??a
n
（注：该公式对任意数列都适用） 316
317 常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
注：若
a
m
是a
n
,a
p
的等差中项，则 有2
a
m
?a
n
?a
p
?
n、m、p成等 差。
（2）、若
?
a
n
?
、
?
b
n
?
为等差数列，则
?
a
n
?b
n
?< br>为等差数列。
（3）、
?
a
n
?
为等差数列，S
n
为其前n项和，则
S
m
,S
2m
?Sm
,S
3m
?S
2m
也成等差
数列。
（4） 、
a
p
?q,a
q
?p,则a
p?q
?0
；
（5） 1+2+3+…+n=
等比数列：
a
1
n
?q(n?N
*
)
，其中
a
1
为首项，n为项数，q为公比。
q
318
319
320
321
322
323
324
n(n?1)

2
325 通项公式：（1）
a
n
?a
1
q
n?1
?
326
327
（2）推广：
a
n
?a
k
?q
n?k
< br>（3）
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2)< br> （注：该公式对任意数列都适用）
前n项和：（1）
S
n
? S
n?1
?a
n
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）
23
328

329 （2）
S
n
?a< br>1
?a
2
?
?
na
1
?
（3）
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
?
1?q
?
?a
n
（注：该公式对任意数列都适用）
(q?1)
(q?1)
330
331 常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
注：若
a
m
是a
n
,a
p
的等比中项，则 有
a
m
2
?a
n
?a
p
?
n、 m、p成等比。
（2）、若
?
a
n
?
、
?
b
n
?
为等比数列，则
?
a
n
?b
n< br>?
为等比数列。
ab(1?b)
n
18分期付款(按揭贷款) ：每 次还款
x?
元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b
).
n
(1?b)?1
332
333
334
335
336
19三角不等式：
（1）若
x?(0,)
，则
sinx?x?tanx
.
2
(2) 若
x?(0,)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
sin
?
，
cos
?
?
337
?
338
339
340
341
342
20 同角三角函数的基本关系式 ：
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=
21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
22 和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?< br>)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?< br>;
tan
?
?tan
?
.
1tan
?
tan
?
343
tan(
?
?
?
)?
344
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(?
?
?
)

24

345
346
347
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)的象限决定,
tan
?
?
23 二倍角公式及降幂公式
b
).
a
sin2
?
?sin
?
co s
?
?
2tan
?
.
2
1?tan
?
222
348
1?tan
2
?
.
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
?
1?tan
2
?
2
349
tan2
?
?
sin
2
?
?
2tan
?
sin2
?< br>1?cos2
?
.
tan
?
??
2
1?tan
?
1?cos2
?
sin2
?
1?cos2
?
1?cos2
?

,cos
2
?
?
22
350
351
352
353
24 三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的
周 期
T?
2
?
?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的周期
|
?
|
2
354
T?
?
.
|
?
|
三角函数的图像： 355 < br>y=sinx
-π2
-2π
-3π2
-π
y
1
y=cosx
π2
π
3π2
2π
y
1
o
-1
x
-2π
-3π2
-π
-π2
o
-1
π2
π
3π2
356
357
358
359
360
361
25 正弦定理 ：
2π
x

abc
???2R
（R为
?ABC
外接圆的半径）.
si nAsinBsinC
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
?a:b: c?sinA:sinB:sinC

26余弦定理：
a
2
?b< br>2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
27面积定理：
25

362 （1）
S?
111
ah
a
?bh< br>b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、hc
分别表示a、b、c边上的高）.
222
363
111
（2）
S?absinC?bcsinA?casinB
.
222
364 (3)
S
?OAB
?
r
?内切圆< br>?
1
(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
.
2
365
366
367
a?b－c
斜边
2S
?

,r
直角?内切圆
?
a?b?c2
28三角形内角和定理 ： 在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

368
369
370
371
372
?
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
.
??
222
29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
(1) 结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
;
(2)第一分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
;
(3)第二分配律：λ(a
+
b
)=λ
a
+λ
b
.
373
374
375
30
a
与
b
的数量积(或内积) ：
a
·
b
=|
a
||
b
|
cos
?
。
31平面向量的坐标运算：
(1)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2< br>,y
2
)
，则
a
+
b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
-< br>b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y2
)
.
(3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
A B?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1)
.
(4)设
a
=
(x,y),
?
?R，则
?
a
=
(
?
x,
?
y)
.
376
377
378
379 (5)设
a
=(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
·
b
=
(x< br>1
x
2
?y
1
y
2
)
.
26

380
381
32 两向量的夹角公式：
cos
?
?
a?b
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1< br>2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
).
382
383
384
33 平面两点间的距离公式：

d
A,B
=
|AB|?AB?AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y< br>1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
34 向量的平行与垂直 ：设
a
=
(x
1
,y
1
),
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0
，则：
385
a
||
b
?
b
=λ
a

?x1
y
2
?x
2
y
1
?0
.（交叉相乘 差为零）
a
?
b
(
a
?
0
)
?

a
·
b
=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.（对应相乘和为零）
35 线段的定比分公式 ：设
P
1
(x< br>1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
P
1
P< br>2
的分点,
?
是实
?
x
1
?
?x
2
x?
?
OP
?
1?
?
1
?
?
OP
2
OP?
数，且
PP
，则
?< br>?
PP
?
?
12
y?
?
y
1??
2
?
y?
1
?
1?
?
?
3 86
387
388
389
?
OP?tOP
1
?(1?t)OP
2
（
t?
1
）.
1?
?
390
391
392
393
36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(< br>x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设
O
为
? ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
， 则
222
394
395
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
27

396 （3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
397 （4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA?bOB?cOC?0
.
398
399
400
401
（5）
O
为< br>?ABC
的
?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
38常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a
2
?b
2
?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）
a,b?R
?
?
a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
402
403
（3）
a
3
?b
3< br>?c
3
?3abc(a?0,b?0,c?0).

（4）
a?b?a?b?a?b
.
404
2aba?ba
2
?b
2
（5）(当且仅当a＝b时取“=”号)。
?ab??
a?b22
39极值定理:已知
x,y
都是正数，则有 405
406 （1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y< br>时和
x?y
有最小值
2p
；
1
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值< br>s
2
.
4
407
408 （3）已知
a,b,x,y?R
?
，若
ax?by?1
则有
1111byax
??(ax?by)(?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)
2
。
xyxyxy
ab
（4）已知
a,b,x,y?R
?< br>，若
??1
则有
xy
abaybx
x?y?(x?y)(? )?a?b???a?b?2ab?(a?b)
2

xyxy
409
410
411
28

412
413
414
415
40 一元二次不等式
ax
2
?bx?c ?0(或?0)(a?0,??b
2
?4ac?0)
，如果
a
与ax
2
?bx?c
同号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
?bx?c
异号，则其解集在两根之
间.简言之：同号两根之外，异 号两根之间.即：
x
1
?x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；
x?x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
. 416
417
418
41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a
.
419
420
421
x?a?x
2
?a
2
?x?a< br>或
x??a
.
42 斜率公式 ：
k?
y
2?y
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
422
423
43 直线的五种方程：
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(< br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
424
425 （3）两点式
426 两点式的推广：
(x
2
?x1
)(y?y
1
)?(y
2
?y
1
)(x?x
1
)?0
（无任何限制条件！）
xy
(4)截距式
? ?1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a?0、b?0
)
ab
427
428 （5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
29

429
430
431
直线
Ax?By?C?0
的法向量：
l
?
?(A,B)
，方向向量：
l?(B,?A )

44 夹角公式：
(1)
tan
?
?|
k< br>2
?k
1
|
. (
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
1?k
2
k
1
A
1
B
2
?A
2
B1
|
.(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).
A
1
A
2
?B
1
B
2
432 (2)
tan
?
?|
433 直线
l
1
?l
2
时，直线
l
1
与
l
2
的夹角是
45
l
1
到
l
2
的角公式：
?
.
2
434
435 (1)
tan
?
?
k
2
?k
1
.(
l
1
:y?k
1
x?b1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,k
1
k
2
??1
)
1?k
2
k1
A
1
B
2
?A
2
B
1
.(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B2
?0
).
A
1
A
2
?B
1
B
2
436 (2)
tan
?
?
437 直线
l
1
?l
2
时，直线
l
1
到
l
2
的角是
|Ax0
?By
0
?C|
A?B
22
?
.
2
438 46 点到直线的距离 ：
d?
(点
P(x
0< br>,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
) .
439
440
47 圆的四种方程：
（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0< br>(
D
2
?E
2
?4F
＞0). 441
442
?
x?a?rcos
?
（3）圆的参数方程
?
.
?
y?b?rsin
?
（4）圆的直径式方程 (x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y< br>2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
30
443

444 48点与圆的位置关系：点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2?r
2
的位置关系有三种：
若
d?(a?x
0
)2
?(b?y
0
)
2
，则
d?r?
点
P
在圆外; 445
446
447
448
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
49直线与圆的位置关系：直线
A x?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r< br>2
的位置关系
有三种(
d?
Aa?Bb?C
A?B
2 2
):
449
450
451
452
d?r?相离 ???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半 径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d
，
则：
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
; 453
454
r
1
?r
2
?d?r
1
?r2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
内含内 切
r
2
-r
1
相交
外切
相离
r
1
+r
2
455
o
d
d
d
d
456
457
?
x?acos
?
x
2
y
2
cb
2
51 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
. 离心率
e??1?
2
，
ab
aa
?
y?bsin
?
b
2
a
2
准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离( 焦准距)
p?
。
c
c
b
2
过焦点且垂直于长轴的 弦叫通经，其长度为：
2
.
a
458
459
31

460
x
2
y
2
52 椭圆
2< br>?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: < br>ab
a
2
a
2
?FPF
PF
1
?e (x?)?a?ex
，
PF
2
?e(?x)?a?ex
；
S
?F
1
PF
2
?c|y
P
|?b
2
tan
1
。
cc
2
461
462 53椭圆的的内外部:
22
x
0
y
0
x
2
y
2
（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部
?
2
?
2
?1
.
abab
463
464
22
x
0
y
0
x
2
y
2
（2）点
P (x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
? 1(a?b?0)
的外部
?
2
?
2
?1
.
abab
465 54 椭圆的切线方程:
466
xxyy
x
2
y
2
(1) 椭圆
2
?2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
xxyy
x
2
y
2
（2） 过椭圆
2
?
2
?1
外一点
P(x
0
,y< br>0
)
所引两条切线的切点弦方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（3）椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By? C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b< br>2
?c
2
.
ab
x
2
y
2
a
2
cb
2
55 双曲线
2
?
2
?1( a?0,b?0)
的离心率
e??1?
2
，准线到中心的距离为，
a b
c
aa
b
2
焦点到对应准线的距离(焦准距)
p?
。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：
c
b
2
2
. a
a
2
a
2
焦半径公式
PF
1
?|e (x?)|?|a?ex|
，
PF
2
?|e(?x)|?|a?ex|
，
cc
467
468
469
470
471
472
473 两焦半径与焦距构成三角形的面积
S
?F
1
PF
2
?b
2
cot
32
?F
1
PF
。
2

474
475
476


56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程 为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
.
ab
ab
a
xy
xy
b
(2)若渐近线方 程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??

abab
22
477
478
479
480
481
482
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y轴上）.
(4) 焦点到渐近线的距离总是
b
。
57双曲线的切线方程:
x
2
y
2
xxyy
(1)双曲线
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y
0< br>)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
xxyy
(2)过双曲线
2
?
2
?1
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（3）双曲线
2
?
2
?1
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2< br>.
ab
483
484
485
486
487
58抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式:
抛物线
y
2
?2px(p?0)
焦半径
CF?x
0
?
过焦 点弦长
CD?x
1
?
p
.
2
488
p p
?x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
489
b
2
4ac?b
2
(a?0)
的图象是抛物线： 59二次函数
y?ax?bx?c?a(x?)?
2a4a
2
33

490
b4ac?b
2
b4ac?b
2
? 1
)
；
)
； （1）顶点坐标为
(?,
（2）焦点的坐标为
(?,
2a4a2a4a
4ac?b
2
?1
（3）准线方程 是
y?
.
4a
491
492 60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

或
AB? (1?k
2
)[(x
2
?x
1
)
2
?4x
2
?x
1
]?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2?
493
494
?
y?kx?b
（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由方程
?
消去y得到
ax
2
?bx?c?0

?
F(x,y)?0
??0
,
?
为直线
AB
的倾斜 角，
k
为直线的斜率，
|x
1
?x
2
|?(x1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
.
61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；
(3) 转化为两平面的法向量平行。
34
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508

509
510
64 向量的直角坐标运算：
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，< br>b
＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则：
(1)
a
＋
b
＝
(a
1
?b< br>1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3)
；
(2)
a
－
b
＝
(a
1?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b3
)
；
(3)λ
a
＝
(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)
(λ∈R)；
(4)
a
·
b
＝
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3< br>；
65 夹角公式：
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b
＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
，则
cos?a,b??
511
512
513
514
515
516
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
b?b?b
2
1
2
2
2
3
.
517 66 异面直线间的距离 ：
518
519
520
d?
|CD?n |
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量为
n< br>，
C、D
是
l
1
,l
2
上任一点，
d
为
l
1
,l
2
间
|n|
的距离).
67点
B
到平面
?
的距离：
521
d?
|AB?n|
（
n
为平面
?
的法向量，
A?
?< br>，
AB
是
?
的一条斜线段）.
|n|
522
523
524
525
526
4
68球的半径是R， 则其体积
V?
?
R
3
,其表面积
S?4
?
R
2
．
3
69球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱
切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
35

527 (3)球与正四面体的组合体: 棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
6
a

12
528 (正四面体高
666
13
a
的),外接球的半 径为
a
(正四面体高
a
的).
343
44
?m
n
.
?m
n
.
529 70 分类计数原理（加法原理）：
N?m
1
?m
2
?
分步计数原理（乘法原理）：
N?m
1
?m
2
?
530
531 71排列数公式 ：
A
n
m
=
n(n? 1)?(n?m?1)
=
n！
.(
n
，
m
∈N*
，且
m?n
)．规定
0!?1
.
(n?m)！n！
A
n
m
n(n?1)
?
(n?m?1)
5 32 72 组合数公式：
C
=
m
==(
n
∈N
*
，
m?N
，且
m?n
).
m！?(n?m)！
1 ?2?
?
?m
A
m
m
n
533
n?m0
?1
. 组合数的两个性质:(1)
C
n
m
=
C
n
;(2)
C
n
m
+
C
n
m?1
=
C
n
m
?1
.规定
C
n
534
0n1 n?12n?22rn?rrnn
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b
73 二项式定理
(a?b)
n
?C
n
535
rn?rrab
(r?0，
二项展开式的通项公式
T
r?1
?C
n
1，2?，n)
.
536
f(x)?(ax?b)
n
? a
0
?a
1
x?a
2
x
2
??a
n
x
n
的展开式的系数关系：
?(?1)
n
a
n
?f(?1)
；
a
0
?f(0)
。 537
538
539
540
541
a
0
?a1
?a
2
??a
n
?f(1)
；
a
0
?a
1
?a
2
?
74 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n
个互斥事件分 别发生的概率的和：P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋P(A
n
)．
75 独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
n个独立事件同时发生的概率：P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
kk
P(1?P)
n?k
.
76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：
P
n
(k)?C
n
542
36

543
544
545
77 数 学期望：
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?
数学期望的性质

?x
n
P
n
?

（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. （ 2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np
.

546 (3) 若
?
服从几何分布,且
P(
??k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
E
?
?
1
.

p
547 78方差：
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
?
标准差：
??
=
D
?
.
方差的性质：

(1)D
?
a
?
?b
?
?a
2
D
?
；< br>
(2）若
?
～
B(n,p)
，则
D
??np(1?p)
.

22
?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?
2

548
549
550
551
552 (3) 若
?
服从几何 分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则< br>D
?
?
q
.

p
2
553 方差与 期望的关系：
D
?
?E
?
2
?
?
E
?
?
.

?
x?
?
?
2
26
2
2
554 79正态分布密度函数：
f
?
x
?
?
1
e
2
?
6
?
,x?
?
??,??
?
，

555
556
式中的实数μ，
?
（
?
>0 ）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

?
x?
?
?
对于
N(
?
,
?
2
)
，取值小于x的概率：
F
?
x
?
??
??
.

?
?< br>?
P
?
x
1
?x
0
?x
2
?
?P
?
x?x
2
?
?P
?
x?x
1
?
557
558 80
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率）：
37

559
f
?
(x
0
)?y
?x?x
0
?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
?ss(t??t)?s(t)
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
?vv(t??t)?v(t)
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
560 瞬时速度：
?
?s
?
(t)?lim
561 瞬时加速度：
a?v
?
(t)?lim
562 81 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义：
函数< br>y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f?
(x
0
)
，
相应的切线方程是
y?y
0?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
82 几种常见函数的导数：
(1)
C
?
?0
（C为常数）.(2)
(x
n
)
?
?nx
n?1
(n?Q)
.(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
. (5)
(lnx)
?
?
(6)
(e
x
)
?
?e
x
;
(a
x
)
?
?a
x
lna
.
83 导数的运算法则：
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （1 ）
(u?v)?u?v
.（2）
(uv)?uv?uv
.（3）
() ?
vv
2
''''''
563
564
565
566
567
1
1
；
(log
a
x)
?
?log
a
e
.
x
x
568
569
570
571 84 判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法：
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值； （2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是 极小值.
85 复数的相等：
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a ,b,c,d?R
）
38
572
573
574
575

576
577
578
579
580
86 复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
|a?bi|
=
a
2
?b
2
.
87 复平面上的两点间的距离公式：
d?|z
1
?z
2
|?(x2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
（
z
1
?x
1
?y
1
i< br>，
z
2
?x
2
?y
2
i
）.
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
，
581 < br>?b?b
2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2
?
;
2a
2
582 ②若
??b
2
?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??
b< br>;
2a
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
③若
??b
2
?4ac ?0
，它在实数集
R
内没有实数根；在复数集
C
内有且仅有两个共轭
?b??(b
2
?4ac)i
2
复数根
x?(b?4ac? 0)
.
2a






高中数学公式提升
一、集合、简易逻辑、函数
1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合
A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=
2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y｜
y=x
2 ,x∈R},N={y｜y=x
2
+1,x∈R},求M∩N；与集合M={（x,y）｜ y=x
2
,x∈R},N={(x,y)｜
39

597
598
599
600
601
602
603
604
605
y=x
2
+1,x∈R}求M∩N的区别。
3． 集合 A、B，
A?B??
时，你是否注意到“极端”情况：
A??
或
B??
；求集
合的子集
A?B
时是否忘记
?
. 例如：
?
a?2
?
x
2
?2
?
a?2
?
x?1?0
对一切
x?R
恒成立，
求a的取植范围，你讨论了a＝2的情况了吗？
4． 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个
数依次为
2
n
，

2
n
?1，

2
n
?2.
如满足条件{1}?M?{1,2,3,4}
的集合
M
共有多少个
2
n
?1，
5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10 名成员,每人至少会唱歌
和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各 一人，表
演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？
606 6． 两集合之间的关系。
M?{xx?2k?1,k?Z},N?{xx?4k?1,k?Z}

607
608
609
610
611
7． (C
U
A)∩( C
U
B) = C
U
(A∪B) (C
U
A)∪( C
U
B) = C
U
(A∩B)；
A?B?B?B?A
；
8、可以判断真假的语句叫做命题.
逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p、q形式的复合命题的真值表: （真且真，同假或假）

p q P且q P或q
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 假 真
假 假 假 假
612 9、 命题的四种形式及其相互关系:
原命题
40
逆命题

613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
互 逆

互 互
互 为 互
否 逆 逆 否
否 否
否 否
否 互 逆


原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
10、你对映射的概念了解了吗？映 射f：A→B中，A中元素的任意性和B中与它对应元
素的唯一性，哪几种对应能够成映射？
11、函数的几个重要性质：
①如果函数
y?f
?
x?
对于一切
x?R
，都有
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
或f（2a-x）=f（x），
那么函数
y?f
?
x
?
的图象关于直线
x?a
对称.
②函数
y?f
?
x
?
与函数
y?f
?
?x
?
的图象关于直线
x?0
对称；
函数
y?f
?
x
?
与函数
y??f
?
x
?
的 图象关于直线
y?0
对称；
函数
y?f
?
x
?
与函数
y??f
?
?x
?
的图象关于坐标原点对 称.
③若奇函数
y?f
?
x
?
在区间
?
0,??
?
上是递增函数，则
y?f
?
x
?在区间
?
??,0
?
上也
是递增函数．
④ 若偶函数
y?f
?
x
?
在区间
?
0,??
?
上是递增函数，则
y?f
?
x
?
在区间
?
??,0
?
上是
41
629
630
631
632
633
634

635
636
637
638
639
640
641
642
643
递减函数．
⑤函数
y?f
?
x?a?
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
的 图象沿x轴向左平移a个单
位得到的；函数
y?f
?
x?a
?
(
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
的图 象沿x轴向右平移
个单位得到的；
函数
y?f
?
x
?+a
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
助图象沿y轴向上平移a个单位得到
的;函数
y?f
?
x
?
+a
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
助图 象沿y轴向下平移
a
个单位得
到的.
12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？
13、求 函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=
x(4?x)
lg(x?3)
2
a
的定义域是 ；
644
645
646
647
648
649
650
651
652 复合函数的定义域弄清了吗？函数
f(x)
的定义域是[0,1],求
f(log
0.5
x)
的定义域. 函数
f(x)
的定义域是[
a,b
],
b??a?0,
求函数
F(x)?f(x)?f(?x)
的定义域
14、一个函数的奇偶性时，你注 意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分
条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是 偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;
一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘
了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。
16、函数
y?x?
a
x
?
a?0
?
的单调区间吗？（该函数在
???,?a
和
?
?
a,??
上单调递增；在
?
?
?a,0

?
653
654
655
和
0,a
上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
17、函数问题时，你注意到真 数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零
且不等于1）字母底数还需讨论呀.
?
?
42

656 18、换底公式及它的变形，你掌握了吗 ？（
log
a
b?
log
c
b
,log
a
n
b
n
?log
a
b
）
log
c
a
657 19、 你还记得对数恒等式吗？（
a
log
a
b
?b
）
20、 “实系数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
有实数解”转 化为“
??b
2
?4ac?0
”，
你是否注意到必须
a?0
；当a=0时，“方程有解”不能转化为
??b
2
?4ac?0
．若 原题
中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
二、三角、不等式
21、 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公
式:_____ ___________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次,
22、 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整
个定义域 内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
23、 在三角中，你知道1等于什 么吗？（
1?sin
2
x?cos
2
x?sec
2
x?tan
2
x

?
tanx
?
cotx
?
tan
?
4
?
sin
?
2
?cos0? ??
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代
换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；
诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）
24、 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变 换．（如
?
?(
?
?
?
)?
?
,
?
?(
?
?
?
)?
?
,

??
?
2
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
等）
2
??
2
??
673
674
675
676
677
678
25、 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项 数最少、函数种类最少、分母不含三
角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）
26、 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出
现特殊角. 异角化同角， 异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？
cos
2
x=(1+cos2x) 2;sin
2
x=(1-cos2x)2
27、 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？
43

679 （
sin15 ??cos75??
6?2
,sin75??cos15??
4
6?25?1
,sin18??
）
44
680 28、 你还记得在弧度制下弧长公式和 扇形面积公式吗？(
l?
?
r,S
扇形
?
1
lr< br>)
2
681
682
683
684
685
29、 辅助角公式：
asinx?bcosx?a
2
?b
2sin
?
x?
?
?
(其中
?
角所在的象限由a , b
的符号确定，
?
角的值由
tan
?
?
b< br>确定)在求最值、化简时起着重要作用.
a
30、 三角函数（正弦、余弦、正切）图 象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调
区、对称轴，取最值时的x值的集合吗？（别忘了k
?
Z）
三角函数性质要记牢。函数y=
Asin(
?
?x?
?
)?
k的图象及性质：
2
?
686
687
688
689
690
691
692
693
振幅|A|，周期T=
?
, 若x=x
0
为此函数的对称轴，则x< br>0
是使y取到最值的点，反之
亦然，使y取到最值的x的集合为 ， 当
?
?0,A?0
时函数的增区间
为 ，减区间为 ；当
?
?0
时要利用诱导公式将
?
变为大于零后再
用上面的 结论。
五点作图法：令
?
x?
?
依次为
0
31、 三角函数图像变换还记得吗？
?
?
2
,
?
,
3< br>?
,2
?
求出x与y，依点
?
x,y
?
作图
2
平移公（1）如果点 P（x，y）按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′（x′，y′），则
'
?
?
x?x?h,

?
'
?
?
y?y?k.
694
695
696
697
698
（2） 曲线f（x，y）=0沿向量
a ?
?
h,k
?
平移后的方程为f（x-h，y-k）=0
32、 有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式
33、 在用 三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到
它们各自的取值范围及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是
44
?

699
?
?
?
?
?
0 ,
?
,[0,],[0,
?
]
.
2
?
2
?
②直线的倾斜角、
l
1
到
l
2
的角、
l
1
与
l
2
的夹角 的取值范围依次是
[0,
?
),[0,
?
),(0,
34、 不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）
35、 分式不等式
f< br>?
x
?
?a
?
a?0
?
的一般解题思路是什 么？（移项通分，分子分母分解
g
?
x
?
700
701
702
703
704
?
2
]
．
因式，x的系数变为正值，奇穿偶回）
36、 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)
705
706
707
?
a?b
?
37、 利用重要不等式
a?b?2ab
以及变式
ab?
??
等求函数的最 值时，你是
?
2
?
否注意到a，b
?R
?
（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中
之一应是定值？(一正二定三相等)
2
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
38、
a
2
?b
2
a?b2ab
；
??ab? , (a , b?R
?
)
(当且仅当
a?b?c
时，取等号）
22a?b
a、b、c
?
R，
a
2< br>?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b ?c
时，取等号）；
39、 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数 的底
0?a?1
或
a?1
）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集 是……．
40、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是
关键．”
41、 对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）
三、数列
42、 等差数列 中的重要性质：（1）若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n< br>?a
p
?a
q
；（2）
数列{a
2n?1
} , {a
2n
}, {ka
n
?b}仍成等差数列
；
S
n
, S
2n
?S
n
, S
3n
?S
2n
仍成等差数列

（3）若三数成等差数列， 则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为a-
3
d
、a-
1
d
、a+
1
d
、
222
45

719 a+
3
d
；
2
720
721
722
723
724
725
726
727
（4）在等差数列中,求S
n
的最大(小)值,其思路是找出某一 项,使这项及它前面的项皆
取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各 项的和为最大(小).
即:当a
1
>0,d<0,解不等式组 a
n
≥0 a
n+1
≤0 可得S
n
达最大值时的n的值;当a
1
<0,d>0,
解不等式组 a
n
≤0 a
n+1
≥0 可得S
n
达最小值时的n的值;（5）．若a
n
,b
n
是等差数
列,S
n
,T
n
分别为a
n
,b
n
的前n项和,则
a
m
S
2m?1
?
b
m
T
2m?1
。.（6）.若{
a
n
}是等差数列，则{
a
a
n
}
是等比数列，若{
a
n
}是等比数列且
a
n
?0
，则{
loga
an
}是等差数列.
43、 等比数列中的重要性质：（1）若
m?n?p?q< br>，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q；（2）
S
k
，
S
2k
?S
k
，S
3k
?S
2k
成等比数列
S
n
?na
1
；44、 你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（
q?1
时，728
729
a
1
(1?q
n
)
）
q?1
时，
S
n
?
1?q
730 45、 等比数 列的一个求和公式：设等比数列
?
a
n
?
的前n项和为
S< br>n
，公比为
q
, 则
S
m?n
?S
m
?q
m
S
n
． 731
732
733
734
46、 等差数列的一个性质：设
S
n
是数列
?
a
n
?
的前n项和，
?< br>a
n
?
为等差数列的充要条
件是
S
n
?an
2
?bn
（a, b为常数）其公差是2a.
735
736
47、 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若c
n
?a
n
b
n
，其中
?
a
n
?
是
等差数列，
?
b
n
?
是等比数列， 求
?
c
n
?
的前n项的和）
48、 用
a
n
?S
n
?S
n?1
求数列的通项公式时，你注意到
a< br>1
?S
1
了吗？ 737
46

738 49、 你还记得裂项求和吗？（如
111
??
.）
n(n?1)nn?1
739
740
741
742
743
744
四、排列组合、二项式定理
50、 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
51、 解排列组合问题的规 律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排
法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分 配问题法；选取问题先排后排法；至多
至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？
m
?C
n
52、 排列数公式是： 组合数公式是： 排列数与组合数的关系是：
P
n
m
?m！

745 组合数性质：
C
=
C
m
n
n?m
n

C
+
C
m
n
m?1
n
=
C
m
n?1

?
C
n
r
=
2
n

r?0
n
746
747
rr?1
C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
? ??C
n
?C
n?1

0n1n?12n?22rn?rrnna?C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b
二项式定理：
(a?b)
n
?C
n
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
rn?rr
ab
(r?0，二项展开式的通项公式：
T
r?1
?C
n
1，2?，n)

五、立体几何
53、 有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线线
?< br>线面
?
面面，
线⊥线
?
线⊥面
?
面⊥面，垂 直常用向量来证。
54、 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法）三垂线法：一 定
平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.
55、 二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量
56、 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积变换法、法向量法）
57、 你记住三垂线定理及其逆定理了吗？
58、 有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角，常常 与经度及纬度联系在
一起，你还记得经度及纬度的含义吗？(经度是面面角；纬度是线面角)
59、 你还记得简单多面体的欧拉公式吗？(V+F-E=2，其中V为顶点数，E是棱数，F
47

760
761
762
763
764
765
766
767
768
为面数)，棱的两种算法，你还 记得吗？(①多面体每面为n边形，则E=
每个顶点出发有m条棱，则E=
六、解析几何
mV
)
2
nF
；②多面体
2
60、 设直线方程 时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜
3
??
率k不存在 的情况？（例如：一条直线经过点
?
?3,?
?
，且被圆
x
2
?y
2
?25
截得的弦
2
??
长为8，求此弦所 在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）
61、 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及
?
值可要搞清）
线段的定比分点坐标公式
设P（x，y） ，P
1
（x
1
，y
1
） ，P
2
（x
2
，y
2
） ，且
P
1
P?
?
PP
2
，则
?
x?
?
?
?
?
y?
?
?
x
1< br>?
?
x
2
x
1
?x
2
?
x ?
?
?
1?
?
2
中点坐标公式
?

y
1
?
?
y
2
y?y
2
?
y?
1
?
1?
?
2< br>?
??
769
770
771
62、 若
A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)，C(x
3
,y
3
)
，则△ABC的重心G的坐标是
?
x< br>1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
?
，
??
在利用定比分点解题时，你注意到
???1
了吗？
33
??
63、 在解析几何中，研究两条直线的位置关 系时，有可能这两条直线重合，而在立
体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
64、 直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种
形式的局 限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线）
65、 对不重合的两条直线
l
1< br>:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
，有：
772
773
774
775
776
777
?
A
1
B
2
?A
2
B< br>1
l
1
l
2
?
?
；
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B< br>2
?0
．
?
A
1
C
2
?A
2
C
1
66、 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
48
778

779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
67、 直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为
xy
??1
，但不要忘记当
ab
a=0时，直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．
68、 两直线
Ax?By?C
1
?0
和
Ax?By?C
2
?0
的距离公式d=——————————
69、 直线的方向向量还记得吗？直线的方向向 量与直线的斜率有何关系？当直线L
的方向向量为
m
=（x
0
，y< br>0
）时，直线斜率k=———————；当直线斜率为k时，直线
的方向向量
m
=—————
70、 到角公式及夹角公式———————，何时用？
71、 处 理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与
圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．
72、 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
73、 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想
到圆的几何性质.
74、 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺
序？两个 定义常常结伴而用，有时对我们解题有很大的帮助，有关过焦点弦问题用第二
定义可能更为方便。（焦半 径公式：椭圆：|PF
1
|=
———— ；
|PF
2
|=
————
；双曲线：|PF
1
|=
———— ；
p
|PF
2
|=
————
（其中F
1
为左焦点F
2
为右焦点

）；抛物线：|PF|=|x
0
|+）
2
75、 在用圆锥曲线与 直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数
是否为零？判别式
??0
的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在
??0
下进行）.
76、 椭圆中，a，b，c的关系为
————
；离心率e=
————
；准线方程为
————
；焦点到相
应准线距离为
————
双曲线中，a，b，c的关系为
————
；离心率e=
————
；准线方程为
————
；
焦点到相应准线距离为
————

77、 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
78、 你知道吗？解析几何中解题关键就是把题目中的几何 条件代数化，特别是一些
很不起眼的条件，有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共线、以某线 段为直
径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参数
4 9

805
806
807
808
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813
814
815
816
方程不要忘，有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解几问题的重要思想方法，要
记得画图分析哟！
79、 你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围
呀!
80、 在 解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行
域，明确目标函数，其中关键 就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直
线方程中的y的系数变为正值。如：求2<5a -2b<4,-3<3a+b<3求a+b的取值范围，但也
可以不用线性规划。
七、向量
81、 两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意
a?
?b
是向
量平行的充分不必要条件。(定义及坐标表示)
a
，82、 向 量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：|
a
|
2
=
a
·
817 83、 cosθ=
a?b
|a||b|
?
x
1
x
2
?y
1
y
2

x
1
2
?y
1
2
x
2
2
?y< br>2
2
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
84、 利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不
存在的情 况，要注意
a?b?0
是向量
a和向量b
夹角为钝角的必要而非充分条件。
85、 向量的运算要和实数运算有区别：如两边不能约去一个向量，向量的乘法不满
足结合律 ，即
a(b?c)?(a?b)c
，切记两向量不能相除。
86、 你还记得向量基 本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都可以
用平面内任意不共线的两个向量线性表示， 它的系数的含义与求法你清楚吗？
87、 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中 的天然条件，要注
意运用，对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取
模，两边同乘以 一个向量，但不能两边同除以一个向量。
88、 向量的直角坐标运算
设
a?
?
a
1
,a
2
,a
3?
,b?
?
b
1
,b
2
,b
3
?
,则
a?b?
?
a
1
?b
1
,a2
?b
2
,a
3
?b
3
?

50
????

829
830
831
?
a?b?
?
a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
?

?a?
?
a
1
,
?
a
2
,
?< br>a
3
?
?
?R
?

22
?a
3
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3

a?a?a?a
1
2
?a
2

???
??
??
??
cos?a,b??
??
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a ?a
2
1
2
2
2
3
b?b?b
2
1
2
2
2
3

832
833
?
ab?a
1
?
?
b
1
,a
2
?
?
b
2
,a
3
?
?
b
3
,
?
?
?R
?
,
a?b?a
1
b
1?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0

???
设A=
?
x
1
,y
1
,z
1
?
, B=
?
x
2
,y
2
,z
2
?
,
则
AB?OB?OA?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
-
?
x
1
,y
1
,z1
?
=
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
?


AB?
八、导数
89、 导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形。
90、 几个重要函数的导数： ①
C
'
?0
,（C为常数）②
x
n
?nx
n?1
?
n?Q
?

'
834
835
???
?
AB?AB?
??
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?
2

836
837
838
??
'
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
导数的四运算法则
?
?
?
??
?
?
'
?
?
'

91、 利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当f ’(x)≥0或f ’(x)≤0，带
上等号。
92、
f
?
(x
0
)=0是函数f(x)在x
0
处取得极值的非充分非必要条件，f(x)在x
0
处取得极
值的充分要条件是 什么？
93、 利用导数求最值的步骤：（1）求导数
f
'
?
x< br>?
（2）求方程
f
'
?
x
?
=0的根
x
1
,x
2
,
?
,x
n

（3）计算极值及端点函数值的大小
（4）根据上述值的大小,确定最大值与最小值.
94、 求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，根据单调性
求出极值 。告诉函数的极值这一条件，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为
51

849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
零，②函数在此点的值为定值。
九、概率统计
95、 有关某一事件概率的求法 ：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排
列组合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个 发生的概率，利用对立事件的概率，
转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n次实验中恰 有k次发生的概率，
但要注意公式的使用条件。
（1）若事件A、B为互斥事件,则P（A+B）=P（A）+P（B）
（2）若事件A、B为相互独立事件,则P（A·B）=P（A）·P（B）
（3）若事件A 、B为对立事件,则P（A）+P（B）=1一般地,
pA?1?P
?
A
?< br>
（4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰
kk
好发生K次的概率：
P
n
?
K
?
?C
n
p
?
1?p
?
n?k
??

96、 抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较
少时，它的主要特征是从 总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的
主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只 取一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽
样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个 体被抽到的概率相等。
97、 用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。
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