全国高中数学几何竞赛题-高中数学大题数学函数
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
(4月20日8:00至10:00)
一.填空题(本大题共10小题,每小题7分,共70分)
1.若
x≥2
,则函数
f(x)?x?
1
的最小值是
.
x?1
x
2.已知函数
f(x)?e
.若
f(a?b)?2
,则
f(3a)?f(3b)
的值是
.
2
*
3.已知数列
?
a
n
?
是各项均不为0的等差数列,公差为
d
,
S
n
为前n
项和,且满足
a
n
?S
2n?1
,
n?N<
br>,
则数列
?
a
n
?
的通项
a
n?
.
?
2x
2
?3x, x≥0,
?
4.若函数
f(
x)?
?
是奇函数,则实数
a
的值是 .
2
?
?
?2x?ax,x?0
5.已知函数
f(x)?lg|x?
是 .
6.设
?
、
?
都是锐角,且
cos
?<
br>?
10
|
.若关于
x
的方程
f
2
(
x)?5f(x)?6?0
的实根之和为
m
,则
f(m)
的值
3
5
3
,
sin(
?
?
?
)?
,则
cos
?
等于 .
5
5
o
7.四面体
ABCD
中,异面直线
AB
和CD
之间的距离为4,夹角为
60
,则四面体
ABCDAB?3
,
CD?5
,
的体积为 .
8.若满足
?ABC?
9.设集合
S?
?1,2,
?
3
,
AC?3
,
BC?m
的
△ABC
恰有一解,则实数
m
的取值范围是 .
,8
?
,
A
,
B
是
S
的两个非空子集,且A
中的最大数小于
B
中的最小数,则这样的
集合对
(A,B)<
br>的个数是 .
22
10.如果正整数
m
能够表示为
x?4y
(
x
,
y?Z
),那么称
m
为“好数”.问1,2,3,…,2014
中“好
数”的个数为 .
二.解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)
11.已知
a
,
b
,
c
为正实数,
a?b?c
,
xyz
111
???0
,求
abc
的值. xyz
x
2
y
2
12.已知
F
1
,<
br>F
2
分别是双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0
,b?0)
的左右焦点,点
B
的坐标为
(0,b)
,直线
F
1
B
ab
与双曲线
C
的两条渐近线分别交于
P,
Q
两点,线段
PQ
的垂直平分线与
x
轴交于点
M
.若
1
MF
2
?F
1
F
2
,
求双曲线C的离心率.
2
13.如图,已知
?AB
C
是锐角三角形,以
AB
为直径的圆交边
AC
于点
D
,交边
AB
上的高
CH
于点
E
.以
AC
为直径的半圆交
BD
的延长线于点
G
.求证:
AG?AE
.
14.(1)正六边形被
3
条互不交叉(端点能够重
合)的对角线分割成
4
个三角形.将每个三角形区域涂上
红、蓝两种颜色之一,使得有
公共边的三角形涂的颜色不同.怎样分割并涂色能够使红色三角形个数
与蓝色三角形个数的差最大? <
br>(2)凸
2016
边形被
2013
条互不交叉(端点能够重合)的对角
线分割成
2014
个三角形.将每个三
角形区域涂上红、栏两种颜色之一,使得有公共
边的三角形涂的颜色不同.在上述分割并涂色的所有
情形中,红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最
大值是多少?证明你的结论.