高中数学补课费用-空间向量是哪一年引入高中数学的
加试模拟训练题(22)
1、已知
M
为
?ABC
内
一点,由
M
分别向
BC,CA,AB
作垂线,垂足分别为
A
?
,B
?
,C
?
。
由
A,B,C
分别向
B
?
C
?
,C
?
A
?
,A
?
B
?
作垂线,证明这三条垂线交于一点
M
?
。若
?A
?
B
?
C
?
的外心
为
O
,
则
M
?
,O,M
三点共线,且
O
是线段
MM
?
的中点。
111a
8
?b
8
?c
8
2、若
a、b、c?R
,求证:
???
abca
3
b
3
c
3
?
3、25个人围一圆桌坐,每小时表决一次,回答为是或否.如果一个人第n
次表决时,至
少与一个相邻的人回答相同,即么他第n+1次表决与第n次相同.如果第n次表决时,与
两
个相邻的人回答均不同,那么他第n+1次表决与第n次不同.证明不论开始时大家怎样回答,
从某一时间起,每个人的回答都不会改变.
4、求证方程
3y
2
?x
4
?x
无正整数解.
加试模拟训练题(22)
1、已知
M
为
?ABC<
br>内一点,由
M
分别向
BC,CA,AB
作垂线,垂足分别为
A
?
,B
?
,C
?
。
由
A,B,C
分别向
B
?
C
?
,C
?
A
?
,
A
?
B
?
作垂线,证明这三条垂线交于一点
M
?
。
若
?A
?
B
?
C
?
的外心
为
O<
br>,则
M
?
,O,M
三点共线,且
O
是线段
M
M
?
的中点。
证明 法一 连
MO
,并延长至M
?
,使得
O
是线段
MM
?
的中点。设
AM
的中点为
O
?
,
则
O
?
为由
A,C
?
,M,B
?
所确定的四边形的外接圆的圆心,因此
OO<
br>?
?B
?
C
?
。又因为
AM
?
∥<
br>OO
?
,所以有
AM
?
?B
?
C
?
。同理可得
BM
?
?C
?
A
?
,CM?
?A
?
B
?
。
法二 分别延长
MA?
,MB
?
,MC
?
至
D,E,F
,使得BC,CA,AB
分别是
MD,ME,MF
的
中垂线,所以
AE
?AM?AF
,即
A
是
?MEF
的外心。同理,
B,C分别是
?MDF,?MDE
的外心。由于由
A,B,C
分别向
B
?
C
?
,C
?
A
?
,A
?B
?
作的垂线就是由
A,B,C
分别向
EF,FD,DE作的垂线,因此也就是
EF,FD,DE
的中垂线,而
EF,FD,DE
的中垂线交于一点,且就是
?DEF
的外心,即点
M
?
。又因为M
是
?A
?
B
?
C
?
与
?D
EF
的位似中心,且位似比为
2
,所
以
M
?
,O,
M
三点共线,且
O
是线段
MM
?
的中点。
111
a
8
?b
8
?c
8
2、若
a、b、c?R
,求证:
???
333
abcabc
?
1
11111
证明:由不等式的单调性可知??,因而
33
?
33
?<
br>33
cbabacaab
根据不等式的单调性知a
5
?b
5<
br>?c
5
,由排序不等式得
a
5
b
5
c
5
a
5
b
5
c
5
a
2
b
2
c
2
????????
b
3
c
3
c<
br>3
a
3
a
3
b
3
c
3
a<
br>3
a
3
b
3
b
3
c
3
c<
br>3
a
3
b
3
111
又由不等式的单调性知a
2
?b
2
?c
2
,
3
?
3
?3
,根据排序原理
cba
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
c
2
111
?3
?
3
?
3
?
3
?
3
???
3
cababcabc
根据不等式的传递性可知
111a
5
b
5
c
5
a
8
?b
8
?c
8???
33
?
33
?
33
?
abcbccaa
ba
3
b
3
c
3
证明二:
a
8
?
a
8
?b
8
?b
8
?b
8
?c
8
?c
8
?c
8
?8
8
a
8
a8
b
8
b
8
b
8
c
8
c8
c
8
?8a
2
b
3
c
3
同
理b
8
?b
8
?a
8
?a
8
?a
8
?c
8
?c
8
?c
8
?8a
3
b
2
c
3
c
8
?c
8
?a
8?a
8
?a
8
?b
8
?b
8
?b8
?8a
3
b
3
c
2
三个式子相加
?
111
?
8
?
a
8
?b
8?c
8
?
?8a
3
b
3
c
3
?
??
?
?
abc
?
888
111a?
b?c
????
abca
3
b
3
c
3
3、
25个人围一圆桌坐,每小时表决一次,回答为是或否.如果一个人第n次表决时,至
少与一个相邻的人
回答相同,即么他第n+1次表决与第n次相同.如果第n次表决时,与两
个相邻的人回答均不同,那么
他第n+1次表决与第n次不同.证明不论开始时大家怎样回答,
从某一时间起,每个人的回答都不会改
变.
【题说】第二十六届(1994年)加拿大数学奥林匹克题3.
【解】首先注意如果两
个相邻的人第n次的回答相同,那么他们第n+1次的回答也相同.因
而在第n次回答后,都不会再改变
.
令A
n
为第n次回答时,至少与一个相邻的人回答相同的那些人的集合,则根据上
面所说,
由于25为奇数,所以第一次回答时不可能每个人与相邻的人回答均不相同,即A
1
至少含两个
人.
人第m次的回答也不同.这样y第m+1次的回答应与他自己第m次的回答不同,即与x第m
+1次
的回答相同,从而y∈A
m+1
=A
m
,矛盾!因此A
m
含
全部25人.并且从第m次起,每个人
的回答都不会改变.
4、求证方程
3y
2
?x
4
?x
无正整数解.
分析:两边都是未知数,很难把握其性质,但发现右式可以分解.
x
解:
3x
4
?x
,
?x?0或2(mod3)
.若
x?0(mo
d3)
,有
y
2
?(x?1)(x
2
?x?1)
,
显然
3
x
,x?1,x
2
?x?1
两两互质,所以
x
2
?x?1
是完全平方数,而
(x?1)
2
?x
2
?x?1?x
2
3
x
3
?1x
3<
br>?1
知是不可能的.若
x?2(mod3)
,则
y?x()
,
而
(x,)?1
,故
x
为完全平方
33
2
数,这与
x?2(mod3)
矛盾.
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