高中数学必修三单元测试题-天门实验高中数学教师薪资
2017年全国高中数学联赛模拟试题05
第一试
(时间:8:00-9:20 满分:120)
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.
x
2
?2x?3
(x?R)
的值域是
1.函数
y?
2
x?4x?5
2.函数
y?tan(20
13x)?tan(2014x)?tan(2015x)
在
[0,
?
]中的零点个数为
*
3.设
P
2k?
2
是
P
1
,P
2
是平面上的两点,
P
2k
?1
是
P
2k
关于
P
1
的对称点,
P2k?1
关于
P
2
的对称点,
k?N
,
若<
br>|PP
12
|?1
,则
|P
2013
P
20
14
|?
4.设动点
P(t,0
),Q(1,t)
,其中参数
t?[0,1]
,则线段
PQ
扫过的平
面区域的面积是
5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是
6.一个球外接于四面体
ABCD
,另一半径为1的球与平面
AB
C
相切,且两球内切于点
D
,已知
AD?3
,
cos?B
AC?
41
,cos?BAD?cos?CAD?
,则四面体
ABCD
的体积为
5
2
7.设AB是抛物线y
2
=2px的一条焦点弦,且AB与x轴不垂直,P是y轴上异于O的一点
满足O,P
,A,B四点共圆,点A,B,P的纵坐标分别为y
1
,y
2
,y
0
,则
8. 用
?
表示非空整数集S中所有元素的和,设
A
?
?
a
1
,a
2
,
(s)
且
a<
br>1
?a
2
?
则满足上述要求的
a
10
的最小
值为 .
二、解答题:本大题共3小题,共56分.
9.
(本小题满分16分)已知
x,y,z
是正实数,求证:
10. (本小题满分20分)设
x
1
,x
2
,
证
明:
x
1
,x
2
,
y
1
+y
2
=____
y
0
a
11
?
是正整数集,
a
11
,若对每个正整数
n?1500
,存在A的子集S,使得
?
(S)?n
,
z?yx?zy?x
???0
x?2yy?2zz?2x
,x
n
,
是不同的正实数.
,
x
n
,
22
x
n
?x
1
2
x1
n?1
x
n
是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数
n
(?2)
,都有
?
?
22
x
2
k?1<
br>x
k
x
k?1
x
2
?x
1
x
2
y
2
??1
交于
A,B
两点,过椭圆
C
的右焦点
F
、倾11. (本小题满分20分)已知直线
y?x
与椭圆C
:
1611
斜角为
?
的直线
l
交弦
AB
于点
P
,交椭圆
C
于点
M,N
.(1)用?
表示四边形
MANB
的面积;
(2)求四边形
MANB
的面积取到最大值时直线
l
的方程.
2017年全国高中数学联赛模拟试题05
加试
(时间:9:40-12:10 满分:180)
一、(本小题满分40分
)如图,
?ABC
的外心为
O
,
E
是
AC
的中点,直线
OE
交
AB
于
D
,点
M,N
分别
是
?BCD
的外心与内心,若
AB?2BC
,证明:
?
DMN
为直角三角形.
C
F
E
N
P
M
B
D
H
A
O
二、(本小题满分40分)
对给定的自然数
m
与
n
,m
<
n
,任意一个由
n
个连续整数组成的集合都含有两个不同的
数,它们的乘
积能被
mn
整除.
三、(本小题满分50分)
求证:数列
a
n
=3cos
?
narccos
n
?
?
1
?
(n?N
*
)
的每一项都是整数,但都不是3的倍数
?
3
?
四、(本小题满分50分)
圆周上有
n
个点,用弦两两连结起来,其中任何3条弦都不在圆内共点,求由此形成的互不重叠的圆内<
br>区域的个数.
2017年全国高中数学联赛模拟试题05
第一试参考解答
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.
x
2
?2x?3
(x?R)
的值域是
1.函数
y?
2
x?4x?5
x
2
?2x?3
?(
y?1)x
2
?(4y?2)x?5y?3?0
(1)
y?1
时,该
方程有解(2)
y?1
时,因为
x?R
,所解:由
y?
2<
br>x?4x?5
22
以
??(4y?2)?4(y?1)(5y?3)?0?y?
4y?2?0
2?2?y?2?2
所以,
2?2?y?2?2
且
y?1
综合(1)(2)
2?2?y?2?2
,故答案为
[2?2,2?2]
x
2
?2x?3(x?2)
2
?2(x?2)?3
?
法二:
y?
2
,令
x?2?tan
?
,则
x?4x?5(x?2)<
br>2
?1
tan
2
?
?2tan
?
?3
22
y??sin
?
?2sin
?
cos
?
?3
cos
?
?2?sin2
?
?cos2
?
2tan
?
?1
?2?2sin(2
?
?)
,故该函数的
值域为
[2?2,2?2]
4
x
2
?2x?3x
2
?4x?5?2(x?1)2(x?1)
??1?
法三:
y?
2<
br>(1)
x??1
时,
y?1
x?4x?5x
2?4x?5(x?1)
2
?2(x?1)?2
22
2
|?|x?
1|??22
(2)
x??1
时,
y?1?
,因为
|(x
?1)?
2
x?1|x?1|
(x?1)??2
x?1
222
所以
x?1???22
或
x?1??22
所以
(x?1)??2?
2?22
x?1x?1x?1
2
2222
或
(x?1)?
且
?2?22?2
所以,
???0
22
x?1<
br>2?22
(x?1)??2
2?22
(x?1)??2
x?1x?1<
br>22
即
?2?1??2?1
且
?0
所以,
2?2?y?2?2
且
y?1
22
(x?1)??2(x?1)??2
x?1x?1
综合(1)(2)
2?2?y?2?2
,故答案为
[2?2,2?2]
2(x
2
?2x?1)
][?1?2,??)
上单调递增,在区间法四:求导
y'
?
2
,该函数在区间
(??,?1?2
及
(x?4x?5)
2
[?1?2,?1?2]
上单调递减,计算即得答案为
[2?2,2?2]
2.函数
y?tan(2013x)?tan(2014x)?tan(2015x)
在
[0,
?
]
中的零点个数为
解:
y?tan(2013x)?tan(2014x)?tan(2015x)
<
br>sin2013xsin2015xsin2014xsin4028xsin2014x
???
??
cos2013xcos2015xcos2014xcos2013xcos2015xcos2
014x
sin2014x(2cos
2
2014x?cos2013xcos201
5x)
?
由于
cos2013xcos2014xcos2015x
2co
s
2
2014x?cos2013xcos2015x?cos4028x?1?cos201
3xcos2015x
?1?sin2013xsin2015x?0
所以,
sin2014x?0
在
[0,
?
]
上的零点个数即是因为
y?sin2014x
的最小正周期为
?
?
,故
[0,
?
]
之间函数
1007
y?sin2014x
的图象有1007个周期
,每个周期有两个零点,考虑到两个端点为闭区间,故答案为2015
*
3.设
P<
br>2k?2
是
P
12
|?1
,则
1
,P
2
是平面上的两点,
P
2k?1
是
P
2k
关于<
br>P
1
的对称点,
P
2k?1
关于
P
2
的对称点,
k?N
,若
|PP
|P
2013
P
2
014
|?
解:设
P
n
点
对应的复数为
z
n
由题意:
z
2k?1
?z
2k<
br>?2z
1
,z
2k?1
?z
2k?2
?2z
2
所以,
z
2k?2
?z
2k
?
2(z
2
?z
1
)?z
2k
?z
2
?2(
k?1)(z
2
?z
1
)
z
2k?1
?
2z
1
?[z
2
?2(k?1)(z
2
?z
1)]??(2k?1)z
2
?2kz
1
所以,
z2k?2
?z
2k?1
?z
2
?2k(z
2
?
z
1
)?(2k?1)z
2
?2kz
1
?4k(z
2
?z
1
)
所以,
|P
2k?1
P2k?2
|?|z
2k?2
?z
2k?1
|?|4k(z
2
?z
1
)|?4k
,所以,
|P
2013
P
2014
|?4024
4.设动
点
P(t,0),Q(1,t)
,其中参数
t?[0,1]
,则线段
PQ
扫过的平面区域的面积是
解:直线
PQ
的方程
为
tx?(t?1)y?t?0
,
t?0
时,直线方程为
y?0,
t?1
时,直线方程为
x?1
,故不妨设
2
0?t?
1
,直线方程为
y?
t1?x
(x?t)?(2?x)?[?(1?t)]<
br>,对每个
0?x?1
,当
t?(0,x]
变化时
1?t1?
t
0?y?2?x?21?x
,所以,线段
PQ
扫过的平面区域是函数
y?2?x?21?x
及直线
x?0,x?1,y?0
1
3
12
41
1
1
围成的封闭图形,由积分的几何意义
?
(2
?x?21?x)dx?[2x?x?(1?x)
2
]
0
?
,故答案
为
0
236
6
5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的
概率是
解:将这十二个点依次标为
A
1
,A
2
,
4
,A
12
,从十二个点中取4个点的方法数为
C
12
,取出的四个点两两不相邻的
包含以下两类,(1)如果不取
A
12
点,则从
A
1
,A
2
,A
11这11个点中取4个点,两两不相邻,则方法数为
C
8
4
(相当于
A
10
这9个点中取三个点,两两不相邻,把4个点插到7个点中(2)如果取
A<
br>12
点,由于不能取
A
1
,A
11
,故从
A
2
,A
3
,
3
7
3
C
8
4
?C
7
7
方法数为
C
(相当于把三个点插到6个点中)故
所求概率为
?
4
C
12
33
6.一个球外接于四面体ABCD
,另一半径为1的球与平面
ABC
相切,且两球内切于点
D,已知
AD?3
,
41
cos?BAC?,cos?BAD?cos?
CAD?
,则四面体
ABCD
的体积为
5
2
7.设AB是抛物线y=2px的一条焦点弦,且AB与x轴不垂直,P是y轴上异于O的一
点
y+y
满足O,P,A,B四点共圆,点A,B,P的纵坐标分别为y
1
,y
2
,y
0
,则
12
=____
y0
2
p
,与抛物线方程联立得:y
2
-2pky-p
2
=0,由于y
1
,y
2
是
2
方程的两根
,且y
1
?y
2
,则有y
1
y
2
=-p<
br>2
,设直线PA,PB的斜率为k
1
,k
2
,
2p<
br>?
y
2
-y
0
?
y-y
2p
?y
1
-y
0
?
则k
1
=
1
2
0
=,
k=,因为A,P,O,B四点共圆,
2
y
1
y
1
2
y
2
2
2p
所以,?APB?
?AOB,
tan?APB?tan?AOB
解:设直线l
AB
:ky=x-
2p
?
y
1
-y
0
?
2p
?
y
2
-y
0
?
-
?
2p
?
y
2
-y
1
?
?
yy-yy+y<
br>??
k
1
-k
2
y
1
2
y
2
2
?
12012
?
tan?APB?==
2p
?
y
1
-y
0
?
2p
?
y
2
-y
0
?
1+k
1
k
2
p
4
+
4p
2
?
y
1
-y
0
??
y
2<
br>-y
0
?
1+?
y
1
2
y
2
2
令y
0
=0?tan?AOB=
?
2p
?
y<
br>2
-y
1
?
y
1
y
2
p+4py<
br>1
y
2
?
42
=
2
?
y
2
-y
1
?
3p
?
2p
?
y2
-y
1
?
?
?
y
1
y
2<
br>-y
0
?
y
1
+y
2
?
?
?
p
4
+4p
2
?
y
1
-y
0<
br>??
y
2
-y
0
?
2
?
y
2
-y
1
?
3p
y
1
y
2
-y<
br>0
?
y
1
+y
2
?
p
2
+
4
?
y
1
-y
0
??
y
2
-y<
br>0
?
=
1
3
y
1
+y
2
=
4
y
0
?3y
1
y
2
-3y
0
?
y
1
+y
2
?
=p
2
+4?
y
1
-y
0
??
y
2
-y
0
?
,而-p
2
=y
1
y
2
?y
0
?
y
1
+y
2
?
=4y
0
2<
br>?
8. 用
?
表示非空整数集S中所有元素的和,设
A?
?<
br>a
1
,a
2
,
(s)
8.解:令
S
k
?a
1
?a
2
?
a
11
?
是正
整数集,且
a
1
?a
2
?a
11
,若对
每
个正整数
n?1500
,存在A的子集S,使得
?
(S)?n
,则满
足上述要求的
a
10
的最小值为 .
?a<
br>k
(1?k?11)
若
a
k
?s
k?1
?1
,
则不存在
S?A
,使
?
(S)?S
k?1
?1<
br>
k
所以
S
k
?S
k?1
?a
k
?2S
k?1
?1
(1)又由题设得
S
1
?a
1
?1
,于是由(1)及归纳法易得
S
k
?2?1(1?k
?11)
若
S
10
?750
,则
a
11
?750
(否则750无法用
?
(S)
表示出),
S
11
?S
10
?a
11
?1500,
所以
S10
?750.
8
又
S
8
?2?1?255
,
于是
2a
10
?a
9
?a
10
?S10
?S
8
?495
,所以
a
10
?248.
另一方面,令
A?
?
1,2,4,8,16,32,64,128
,247,248,750
?
当
n?255?2?2?
76
?2?2
0
时,可找到
S?
?
1,2,4,,128
?<
br>,使
?
(S)?n.
当
n?255?247?502
时,存在
S?
?
1,2,4,
当
n?502?248?750时,存在
S?
?
1,2,4,
二、解答题:本大题共3小题,共56分.
9.已知
x,y,z
是正实数,求证:
证明:由于
,128,247
?
,使
?
(S)?n.
,128,247,248
?
,使
?
(S)?n.
当
n?750?750
时,存在
S?A
,使
?
(S)?n
.
于是,
a
10
的最小值为248。
z?yx?zy?x
???0
x?2yy?2zz?2x
1111
11
??)?[(x?2y)?(y?2z)?(z?2x)](??)?9
x?2yy?2z
z?2xx?2yy?2zz?2x
111
??)?3
所以,
(x?y?z
)(
x?2yy?2zz?2x
(z?y)?(x?2y)(x?z)?(y?2z)(y?x
)?(z?2x)
???3
所以,
x?2yy?2zz?2x
z?yx?zy?x
???0
即
x?2yy?2zz?2x
111
法二:令
x?2y?c,y?2z?a,z?2x?
b
?x?(4b?c?2a),y?(4c?a?2b),z?(4a?b?2c)
999
z?yx?zy?x1a?b?2cb?c?2aa?c?2b
???(??)
所以,
x?2yy?2zz?2x3cab
(3x?3y?3z)(
1acabbc1
acabbc
?[(?)?(?)?(?)?6]?[2??2??2??6]?0
3cabacb3cabacb
z?y
?0
,证明过程略 法三、不妨设x?y?z?1
,可将不等式化为
?
1?(z?y)
10. (本小题满
分20分)设
x
1
,x
2
,,x
n
,
是不
同的正实数.
证明:
x
1
,x
2
,,x<
br>n
,
22
x
n
?x
1
2
x
1
n?1
x
n
是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数
n(?
2)
,都有
?
?
2
x
2
k?1
x
k
x
k?1
x
2
?x
1
2
10
.必要性:若
x
1
,x
2
,,x
n
,
是一
个等比数列,设
x
k
?ar
k?1
2
x
1
n?1
x
n
r
2(n?1)
,则
?
?
x<
br>2
k?1
x
k
x
k?1
r
?
rk?1
n?1
1
2k?1
?1?r?
2
?r
2(n?2)
2
r
2(n?1)
?1
x
n
?x
1
2
?
2
=
2
.
r?1
x
2
?x
1
2
222
?
x
3
x3
?x
1
2
x
1
?
x
3
充分
性:当
n
=2时,两边都等于1.当
n
=3时,有
?
, <
br>?
?
?
2
x
2
?
x
1
x<
br>2
x
2
x
3
?
x
2
?x
1
2
2
化简得
x
1
x
3
?x
2,所以,
x
1
,x
2
,x
3
成等比数列.假设
x
1
,x
2
,
k?1
,x
n?1
成等比数列(
n?4
),记
x
k
?ar
,
k?1,
2,
2
?
11
u
n
,n?1
,
x
n
?au
n
,则
?
?
3
?
r
?<
br>rr
224
?
u(1?r?r?
n
?
?
u<
br>n
?r
n?1
??
u
n
?r
n?3
?
?0
,因为
u
n
?0
,所以
u
n
?r
n?1
,即
x
n
?ar
n?1
,从而
x
1
,x
2
,
2
?
u
n
?1<
br>,
?
2n?5
?
n?2
?
?
2
r
ru
n
?
r?1
2n?1n?32n?4
222n?4
u?
(r?r)u?r?0
, ,
?r
2n?6
)?r
n?3
u
n
?
(r?1)?(u?1)r
nn
n
?
11,x
n
成等比数列.
由数学归纳法知,
x
1
,x
2
,,x
n
,
是一个等比数列.
x
2
y
2
??1
交于
A,B
两点,过椭圆
C
的右焦点
F
、倾11. (本小题满分20分)已知直线
y?x
与椭圆
C
:1611
斜角为
?
的直线
l
交弦
AB
于点P
,交椭圆
C
于点
M,N
.(1)用
?
表示四
边形
MANB
的面积;
(2)求四边形
MANB
的面积取到最大值时直线
l
的方程.
解 (1)直线
MN
的倾斜角为
?
,记
?MFO?
?
,则
?
?
?
?
?
,
2ab
2
2ab
2
?
|MN|?
2
?
.而与所成的角为<
br>MN
?
?
,则四边形
MANB
面积
AB
2
2222
a?ccos
?
a?ccos
?
4
1
?<
br>sin
?
?cos
?
.…………5分
S
MANB<
br>?|AB|?|MN|sin(?
?
)?2|OA|?ab
2
?
2
24
a?c
2
cos
2
?
?
4334
33
?
222
?
,且
|OA|?
466
,
a?16,b?11,c?5
而,A点坐标为
?
,
?
9
9
9
?
??
35233sin
?
?cos
?
35233sin
?
?cos
?
???
,
22
9
9
16?5cos
?
16?5cos
?
433433
其中<
br>0?
?
?arctan
或
arctan?
?
?
?
.……………10分
433?95433?95
??
sin
?
?cos
?
433
,
?
?
(2)记
f(<
br>?
)?
,而
f(
?
)
只可能在
?
?
?
arctan
时才可能取到最大值.对
2
?
16?5co
s
?
433?95
??
(cos
?
?sin
?)(16?5cos
2
?
)?(sin
?
?cos
?<
br>)(10cos
?
sin
?
)
f(
?
)求导数得到:
f
?
(
?
)?
.
22
(16?5cos
?
)
2
令
f
?
(
?)?0
,则有
(1?tan
?
)(16tan
?
?11
)?(tan
?
?1)(10tan
?
)?0
. ……15分
从而,
S
MANB
?
32
化简得到
16tan
?
?6tan
?
?21tan
?
?11?0
.所以
(2tan
?
?1)(8tan
?
?tan
?
?1
1)?0
.
2
1
.
2
??
1
433<
br>,
?
?
经检验
tan
?
??
,符合
?
?
?
arctan
.
?
2
433?95
??
而
8tan
?
?tan
?
?11?0
无实根,则
tan
?
??
2
故所求直线
l
的方程为:
y??
15
x?
.
……………………20分
22
2017年全国高中数学联赛模拟试题05
加试参考答案
一、(本小题满分40分)
如图,
?ABC
的外心
为
O
,
E
是
AC
的中点,直线
OE
交AB
于
D
,点
M,N
分别是
?BCD
的外心与
内心,
若
AB?2BC
,证明:
?DMN
为直角三角形.
证:由于点
O,M
皆在
BC
的中垂线上,设直线
OM
交BC
于
P
,交
的中点; 因
N
是
?BCD的内心,故
D,N,F
共线,且
FP?BC
.
又
OE
是
AC
的中垂线,则
DC?DA
,而
DF,
OE
为
?BDC
的内、外角平分线,
故有
OD?DF
,则
OF
为
则
P
是
BC
的中点,
F
是
BC
M
于
F
,
C
F
M
的直径,所
以,
OM?MF
,又因
N
11
P
?BNF??BDC??DBC
??NBF
,
22
M
则
NF?BF
.
作
NH?BD
于
H
,则有,
B
D
H
A<
br>1
DH?
?
BD?DC?BC
?
O
21111
?
?
BD?DA?BC
?
?
?
AB?
BC
?
?BC?BP
,且
?NDH??BDC??FBP
,
2222
所以,
Rt?NDH?Rt?FBP
,故得
DN?BF?NF
,因此,
MN
是
?FOD
的中位线,从而
MN
∥
OD
,
而
OD?DN
,则
MN?D
N
.故
?DMN
为直角三角形.
证二:记
BC?a,CD?b,B
D?c
,因
DE
是
AC
的中垂线,则
AD?CD?b
,由条件
b?c?2a
○
1
延长
DN
交M
于
F
,并记
FN?e,DN?x
,则
FB?FC?F
N?e
,对圆内接四边形
BDCF
用托勒密
E
定理得
FC?
BD?FB?CD?BC?DF
,即
ec?eb?a
?
x?e
?2,由
○
1、
○
2得
2ae?a
?
x?e?
,所以
○
x?e
,即
N
是弦
DF
的
中点,而
M
为外心,所以
MN?DF
,故
?DMN
为直角三
角形.
二、(本小题满分40分)
对给定的自然数
m
与
n
,
m
<
n
,任意一个由
n
个连续整
数组成的集合都含有两个不同的数,它们的乘积能
被
mn
整除.
证明:设<
br>n
个连续整数为
a
1
?a
2
?
(1)若i?j
,则
mna
i
a
j
;
?a
n
,则
n?a
n
?
?
a
1<
br>?1
?
,由
m?n
有
m?a
n
?
?
a
1
?1
?
,于是,在
这
n
个数中,必有
n
的倍数
a
i
和
m
的倍数
a
j<
br>;
三、(本小题满分50分)
求证:数列
an
=3cos
?
narccos
n
?
?
1?
(n?N
*
)
的每一项都是整数,但都不是3的倍数
?
3
?
四、(本小题满分50分)
圆周上有
n
个点,用弦两两连结起来
,其中任何3条弦都不在圆内共点,求由此形成的互不重叠的圆内
区域的个数