高中数学都有哪些公式-高中数学的考点
2020年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016
年
6<
br>月
5
日上午
8:30??11:00
一、填空题(每小题
7
分,共
56
分)
若
y?l
og
2016
?
x
2
?ax?65
?
的值域为R
?
,那么
a
的取值范围是
.答案:
1
、
?16?a?16
.
解:由值域
y?R,
?x?ax?65?1
,
?x?ax?64?0
?
22
???a
2
?4?64?0
,
?
?16?a?16.
2
、四面体
ABCD
中,
?ABC
是一个正三角形
,
AD?BD?2
,
AD?BD
,
AD?CD
,则
D
到面
ABC
的距离为
.答案:
解:如图,据题意得,
AB?
23
.
3
AD
2
?BD
2
?22
,
A
C
于是
BC?CA?AB?22
,
CD?
222
AC
2
?AD
2
?2
,
因
BC?BD?CD
,得
BD?CD
,从而以
D
为顶点的三面角是三直三面角,
四面体体积
V?
D
B
3<
br>14
?AB
2
?23
,
AD?S
?BCD
?
,而
S
?ABC
?
4
33
123234
h?S
?ABC
?h
,由
h?
,
3333
若设<
br>D
到面
ABC
的距离为
h
,则
V?
得到h?
23
.
3
若对于所有的正数
x,y
,均有
x?y?ax?y
,则实数
a
的最小值是
.答
3
、
案:
2
.
?
y
y
?
x
x
??
??2
, 解
:由
?
?
?
?1
,得
??
?
x?y
??
x?y
?
x?yx?y
????
1
22
当
x?y
时取等号.
4
、已知
P
是正方形
ABCD
内切圆上的一点,记
?APC?
?
,
?BPD?
?
,则
tan
2
?
?tan
2
?
?
.答案:
8
.
解:如图建立直角坐标系,设圆方程为
x?y?r
,
则正方形顶点坐标为<
br>A(?r,?r),B(r,?r),C(r,r),D(?r,r)
,
A
若
点
P
的坐标为
P(rcos
?
,rsin
?
),于是直线
222
Y
D
P
O
C
X
B
PA,PB,PC,PD
的斜率分别为
k
PA
?
1?si
n
?
1?sin
?
1?sin
?
1?sin
?,
k
PC
?
,
,k
PB
??,k
P
D
??
1?cos
?
1?cos
?
1?cos
?<
br>1?cos
?
2
?
k
PC
?k
PA
?
22
所以
tan
?
?
??
?4(cos
?
?sin
?
)
,
?
1?k
PA
kPC
?
?
k?k
?
tan
2
?
??
PDPB
?
?4(cos
?
?sin
?
)<
br>2
,
?
1?k
PB
k
PD
?
由此
立得
tan
?
?tan
?
?8
.
解2:取特例,
P
在坐标轴上,则
?
?
?
, 这时,
tan
?
?cot
?
?
22
2
2
?2?tan
?
,
?tan
2
?
?tan
2
?
?2
2
?2
2
?8
1
5
、等差数列
2,5,8,L,2015
与
4,9,14,L,2014
的公共项(具有相同数值的项)的个
数是 .答案:
134
.
解:将两个数列中的各项都加
1
,则问题等价于求等差数列
3,6,9,L,
2016
与等差数列
5,10,15,L,2015
的公共项个数;前者是
M
?
?
1,2,3,L,2016
?
中的全体能被
3
整除的数,后者是
M
中的全体能被
5
整除的数,故公共项是
M
中的全体能被
15
整除的数,
这种数有
?
?
2016
?
?134
个.
?
?
15
?
2
6
、设
x
为锐角,则函数
y?sinxsin2x
的最大值是
.答案:
解:由
y?2sinxcosx
,
得
y?4sinxcosx?2(1?cosx)(1?cosx)?2cosx
242222
2
43
.
9
?
(1?cos
2
x)?(1?cos
2
x)?2cos
2
x
?
?
2
?
16
?2
?
?2?
,
?
??
?
3327
??
??
所以
y?
3
3<
br>43
1
2
.当
cosx?
时取得等号.
9
3
7
、若将前九个正整数
1,2,3,4,5,6,7,8,9
分别填写于一
张
3?3
方格表的九个格子中,
使得每行三数的和,每列三数的和皆为质数,你的填法
是
解答:(答案有多种)
1
2
8
7
6
4
9
3
5
8
、把从
1
到<
br>n
(n?1)
这
n
个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数列中
每相
邻两项的和为平方数,则正整数
n
的最小值是
.答案:
15
.
例如,排出的一个数列为
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)
.
解:这是一个操作问题,若用文字表达较为繁琐,故适宜作为填空题直接操作.
记这
n
个连续正整数的集合为
M?
?
1,2,L,n
?
,由于<
br>n?1
,
则
M
中必有
2
,而
2?7?9<
br>,所以
n?7
,当
n?7
时,从
1
到
7这
7
个数可以搭配成
满足条件的三个数段:
(1,3,6),(2,7
),(4,5)
,但它们不能连接成一个
7
项的数列,故应增加后续的数,增加
8
可使得第一段扩充成
(8,1,3,6)
,增加
9
可使得第二段
扩充成
(2,7,9)
,但新的三段也
不能连接,还需增加新数,即
n?10
,而之前的数若与
8,9,10
邻接,只有
3
8?1?9,9?7?16,
10?6?16
,这三段扩充为
(8,1,3,6,10)
,
(2,7,9)
,
(4,5)
,仍旧
不能连接,应当借助新的平方数
25
,从
1
到
10
这
10
个数能搭配成和为
25
的最小数是
15
,则
n?15
,而当
M?
?
1,2,L,15
?
时,可
排出上面
的情形:
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)
.
二、解答题(共
64
分)
x
2
y
2
9<
br>、(
14
分)如图,
CD
是椭圆
2
?
2?1
的一条直径,
ab
过椭圆长轴的左顶点
A
作
CD
的平行线,交椭圆于
另一点
N
,交椭圆短轴所在直线于
M
,
证明:
AM?AN?CO?CD
.
A
证1:椭圆方程为
x
?acos
?
,y?bsin
?
,
Y
N
M
O
D
B
X
C
点
A,N
的坐标为
A(?a
,0),N(acos
?
,bsin
?
)
,则直线
AN方程为
?
x??a?tcos
?
, ……
3'
?
?
y?tsin
?
代入椭圆方程得到
(bcos
?<
br>?asin
?
)t?2abtcos
?
?0
,
22
2222
2ab
2
cos
?
a
?
AN?t?
2
,
AM?(
?
?)
,……
6'
222
bcos
?
?asin
?
cos
?
2
2a
2
b
2
因此
AM?AN?
2
,……
9'
bcos
2
?
?a
2
sin
2?
又据
AN
∥
CD
,则点
C,D
坐标为:C(?ODcos
?
,?ODsin
?
)
,
D(ODc
os
?
,ODsin
?
)
,……
12'
a
2
b
2
因为
C,D
在椭圆上,则
CO?
2
,而,
bcos
2
?
?a
2
sin
2<
br>?
2
4
2a
2
b
2
CO
?CD?2CO?
2
,
bcos
2
?
?a
2sin
2
?
2
因此
AM?AN?CO?CD
.……14'
证2:
易知
CD
的斜率
k
存在,不
妨令
CD:y?kx
,与椭圆方程联系,
解得
?
abkabC
?
?,
b
2
?a
2
k
2
b
2
?a
2
k
2
?
??
abkab
、D,
??
222
b
2
?a
2
k
2
??
b?ak
?
?
……
3'
?
,
?CO?
?
1?k
?
ab
222
2
b?a
k
2
22
,CD?
4
?
1?k
2
?
a
2
b
2
b?ak
222
?CO?CD?
2?
1?k
2
?
a
2
b
2
b?ak22
……
6'
AN
方程为:
y?k
?x?a
?
,?M
?
0,ka
?
.
将
AN
方程与椭圆方程联立,得
b
2
?a
2
k
2x
2
?2a
3
k
2
x?k
2
a
2
?a
2
b
2
?0
??
2a
3
k
2
ab
2
?a
3
k
2
?x<
br>A
?x
N
??
2
,?x
N
?
2 ……
9'
b?a
2
k
2b?a
2
k
2
2kab
2
2
y
N?
2
,?AM?a1?k
……
12'
22
b?ak
?
ab
2
?a
3
k
2
?
4k
2
a
2
b
4
2ab
2
1?k
2
AN?
?
2
?a?
??
2
,
2
2222
222
b?ak?
b?ak
?
?
b?ak
?
2
?AM?AN?
2a
2
b
2
?
1?k
2
?
b?a
k
222
?CO?CD
…
14'
(
15
分)如图,
D
是
?ABC
的旁心,点
A
关于直线
DC
的对称点为
E
.证明:
10
、
(1)
、
B,C,E
三点共线;
(2)
、
四点共圆
.
5
A,B,D,E
A
B
C
E
D
证:1、延长
DC
到
M
,延长
AC
到
N
,连
C
E
,
QD
为旁心,
?CD
平分
?BCN
,……
2'
又
A、E
关于
DC
对称,
?CM
平分
?
ACE??DCN??ACM
,
??BCD??MCE
??BCN??AC
E
,
?B
、
C
、
E
三点共线。……
5'<
br>
2、过
C
作
CIAE
交
AD
于
I
,则
IC?DC
……
7'
?I
为
V
ABC
内心。连
BI
,则
BI
平分
?ABC
,……
10'
?
?IBD?90
?
,
?B
、<
br>D
、
C
、
I
四点共圆,……
12'
??CBD??CID??EAD
,
?A
、
B
、
D
、
E
四点共圆。……
15'
11
、(
15
分)设
x,y,z
为正数,满足:
xy?yz?zx?1
,证明
:
xyz(x?y)(y?z)(x?z)?(1?x
2
)(1?y
2)(1-z
2
)
证:据条件,即要证
xyz(x+y+
z-xyz)?(1?x
2
)(1?y
2
)(1-z
2
)<
br>
也即
xyz(x+y+z)?1-(x
2
?y
2
?z
2
)?(x
2
y
2
?y
2
z
2
?x
2
z
2
)
3'
将此
式各项齐次化,因为
1?(xy?yz?xz)
2
?x
2
y
2
?y
2
z
2
?x
2
z
2
?2x
yz(x?y?z)
……
6'
x
2
?y
2
?z<
br>2
?(x
2
?y
2
?z
2
)(xy?yz?
xz)?
x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?xyz(x?y?z)
代入②,
只要证
xyz(x?y?z)?
6
①
②
……
2(x
2
y
2
?y
2
z
2
?x
2
z
2
)?x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?xyz(x?y
?z)
即
x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?2(x
2
y
2
?y
2
z
2<
br>?x
2
z
2
)?0
……
12'
也即
xy(x?y)?yz(y?z)?xz(x?z)?0
。
此为显然,故命题得证.…
15'
证2:由题设得:
222y
?
x?z
?
?1?zx,x
?
y?z
??1?yz,z
?
x?y
?
?1?xy
,
三式相乘,故原不等式等价于证明:
?
1?zx
??
1?yz??
1?xy
?
?
?
1?x
2
??
1
?y
2
??
1?z
2
?
……
3'
上式两边展开并化简得:
x
2
?y
2
?z
2?
?
xy?yz?zx
?
?
x
2
y
2
?y
2
z
2
?z
2
x
2
?
?
x
2
yz?xy
2
z?xyz
2
?
……
6'
配方得:
?
x?y
?
?
?<
br>y?z
?
?
?
z?x
?
22
222
?
?
xy?xz
?
?
?
yz?xy
?
?<
br>?
yz?zx
?
2
222
?x
2
?
y?z
?
?y
2
?
z?x
?
?z
2
?
x?y
?
……
9'
即<
br>1?z
?
2
?
?
x?y
?
?
?1?x
?
?
y?z
?
?
?
1?y
?<
br>?
z?x
?
2
2
2
2
2
?0
?
?
?
……
12'
Q0?x,y,z?1,?1?x<
br>2
?0,1?y
2
?0,1?z
2
?0,
?
?
?
?
显然成立.
……
15'
(
20
分)设集合
A?
?
1
,2,L,2016
?
,对于
A
的任一个
1008
元子集<
br>X
,若存在
12
、
,求最大的正整数
a
,(
a?A
),使得
x,y?X
,满足
x?y,xy
,则称
X<
br>为“好集”
任一个含
a
的
1008
元子集皆为“好集”. <
br>解:因任何正整数
n
可以表为
n?2t
形式,其中
?
?N
,
t
为正奇数,于是集合
A
可
划分为以下
10
08
个子集:
?
A
j
?mm?2
?
(2j?1)
,
?
?N,1?m?2016
,
j?1,2,L,1008
……4'
7
??
对于集合
A
的任一个
1008
元子集
X
,只要集
X
中含有某一个
Aj
中的至少两个元素
x,y,(x?y)
,因
x?2
k
1
(2j?1),y?2
k
2
(2j?1)
,
k
1
?k
2
,则
xy
;此时
X
为好集;以下证明正整数
a
的最大值为
671
:
……
8'
若
a?671
时,对于
A
的任一个1008
元子集
X
,如果
X
中含有某个
A
j<
br>中的至少两个
元素,则
X
便是好集;如果
A
j
中的<
br>1008
个集合,每个集合中恰有一个元素在
X
中,
那么
A<
br>1007
也有一个元素在
X
中,
但
A
?
为
单元素集,于是
2013?X
,而
a2013
,
(2013?671
?3?3a)
,
1007
?
?
2013
这说明
X<
br>仍是好集,
因此
a?671
合于要求. ……
12'
下面说明当
a?672
时,存在含
a
的集
X
不是好
集;分两种情况:
??
(1)
、若
a?1009
,取
10
08
元集
X
0
?
?
1009,1010,L,2016?
,则
a?X
0
,
因
X
0
中任两个
不同元素
x?y
,均有
x
?
y
,故
X
0<
br>不为好集,这种
a
不合要求.……
15'
(2)
、
若
672?a?1008
,记
X
1
?
?
672?j
j?0,1,L,336
?
,
令
X?X
1
UX
2
,则
X?1008
,且
a?X
1
,
X
2
?X
0
?
2(672?j)j?0,1,L,336
?,
若
X
中存在
x?y,xy
,因
x?672
,
y?2016
,则
y?3x
;
若
x?672
,如
果
xy,x?y
,只有
y?2x
或者
y?3x
,此时
y
的取值只能是:
y?2?672?1344
,或者
y?3?672?20
16
;由于
1344?2(672?0),2016?2(672?336)
,这说明
,这两个数已被挖去,不在集合
X
中;
……
18'
若
x?672
,假若
xy
,只有y?2x
,这种数
y
也已悉数被挖去,即
y?X
,因
此
X
不是好集,这种
a
也不合要求.
综上所述,
a
的最大值为
671
.
……
20'
8