2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
（4月20日8:00至10:00）

一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）
1．若
x≥2
，则函数
f(x)?x?
1
的最小值是 ．
x?1


2．已知函数
f(x)?e
x
．若
f(a?b)?2
，则
f(3a)?f(3b)
的值是 ．


3．已知数列
?
a
n
?
是各项均 不为0的等差数列，公差为
d
，
S
n
为前
n
项和， 且满足
a
n
2
?S
2n?1
，
n?N
*< br>，则数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?< br> ．


2
?
?
2x?3x, x≥0,
4．若函数
f(x)?
?
2
是奇函数，则实数
a< br>的值是 ．
?
?
?2x?ax,x?0


5．已知函数
f(x)?lg|x?


6．设
?
、
?
都是锐角，且
cos
?
?
5
3，
sin(
?
?
?
)?
，则
cos
?
等于 ．
5
5
10
若关于
x
的方程
f
2
(x)?5f(x)?6?0
的实根之和为
m
，
|
．
3
则
f(m)
的值是 ．


7．四面体
ABCD
中，
AB?3
，
CD?5
，异面直线
AB
和
CD
之间的距离为4，夹角
为< br>60
o
，则四面体
ABCD
的体积为 ．


8．若满足
?ABC?


1 7
?
3
，
AC?3
，
BC?m
的
△ABC
恰有一解，则实数
m
的取值范围
是 ．

9．设集合
S?
?
1,2,,8
?
，
A
，
B
是
S
的两个非空子集，且
A
中的最大数小于
B
中
的最小数，则这样的集合对
(A,B)
的个数是 ．


10．如果正整数
m
可以表示为
x
2
?4y
2
(
x
，
y?Z
)，那么称
m
为 “好数”．问1，
2，3，…，2014中“好数”的个数为 ．

二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知
a
，
b
，
c
为正实数，
a
x
?b
y
? c
z
，
???0
，求
abc
的值．


x
2
y
2
12．已知
F
1
，
F< br>2
分别是双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左右焦点，点
B
的坐标为
ab
(0,b)
，直线
F
1
B
与双曲线
C
的两条渐近线分别交于
P
，Q
两点，线段
PQ
的垂
1
直平分线与
x
轴交于 点
M
．若
MF
2
?F
1
F
2
，求 双曲线C的离心率．
2
1
x
1
y
1
z



13．如图，已知
?ABC
是锐角三角形，以
AB为直径的圆交边
AC
于点
D
，交边
AB
上的高
CH
于点
E
．以
AC
为直径的半圆交
BD
的延长线 于点
G
．求证：
AG?AE
．
2 7

14．（1）正六边形被
3
条互不交叉（端点可以重合）的对角 线分割成
4
个三角形．将
每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三 角形涂的颜
色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最
大？ （2）凸
2016
边形被
2013
条互不交叉（端点可以重合）的对角线 分割成
2014
个
三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边 的三角
形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色
三角形个数之 差的最大值是多少？证明你的结论．
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4 7

5 7

6 7

7 7