2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题一、 填空题：本
大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的
横线上． 21.设 P 是函数 y x （ x 0 ）的图像上任意一点，
过点 P 分别向 x直线 y x 和 y 轴作垂线，垂足分别为 A
B ，则 PA PB 的值是_____________. 32.设 ABC 的内角 A
B C 的对边分别为 a b c ，且满足 a cos B b cos A c ， 5 tan
A则 的值是_____________. tan B3.设 x y z 01 ，则 M x y y
z z x 的最大值是_____________.4.抛物线 y 2 px p 0 的焦点
为 F ，准线为 l ， A B 是抛物线上的 2两个动点，且满
足 AFB ．设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N ， 3
MN 则 的最大值是_____________. AB 5．设同底的两个正
三棱锥 P ABC 和 Q ABC 内接于同一个球．若正三棱锥P
ABC 的侧面与底面所成的角为 45 ，则正三棱锥 Q ABC
的侧面与底面所成角的正切值是_____________.6.设 f x 是
定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f x x ．若对任意的 x
a a 2 ，不等式 f x a 2 f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是
_____________. 1 17．满足 sin 的所有正整数 n 的和是
_____________. 4 n 38．某情报站有 A B C D 四种互不相同< br>的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使
用的三种密码中等可能地随机选用一种 ．设第1周使用Ａ种
密码，那么第7周也使用 A 种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６

分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 1 3 19．（本
小题满分16分）已知函数 f x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2（1）
若对任意 x R ，都有 f x 0 ，求 a 的取值范围；（2）若 a
2 ，且存在 x R ，使得 f x 0 ，求 a 的取值范围．10．（本
小题满分２０分）已知数列 an 的各项均为非零实数，且对
于任意的正整数 n ，都有a1 a2 an 2 a13 a2 an 3 3（1）当 n 3
时，求所有满足条件的三项组成的数列 a1 a2 a3 （2）是否
存在满足条件的无穷数列 an ，使得 a2013 2012 若存在，
求出这 样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理
由．11．（本小题满分20分）如图5，在平面直角 坐标系 XOY
中，菱形 ABCD 的边长为 4 ， OB OD 6 ． 且（1）求证：
OA OC 为定值；（2）当点A在半圆 x 2 y 4 （ 2 x 4 ）上
运动时，求 2 2点 C 的轨迹． 2012 年全国高中数学联赛
加试试题一、（本题满分 40 分）如图，在锐角 ABC 中，
AB AC M N 是 BC 边上不同的两点，使得 BAM CAN . 设
ABC 和 AMN 的外心分别为 O1 O2 ，求证： O1 O2 A 三
点共线。二、（本题满分 40 分）试证明：集合 A 2 2 2 满
足 2 n（1）对每个 a A ，及 b N ，若 b 2a 1 ，则 bb 1 一
定不是 2a 的倍数；（2）对每个 a A （其中 A 表示 A 在
Ｎ 中的补集），且 a 1 ，必存在 b N ， b 2a 1 ，使 bb 1 是
2a 的倍数．三、（本题满分 50 分）设 P0 P P2 Pn 是平面
上 n 1 个点，它们两两间的距离的最小值为 d d 0 1 d求证：

P0 P P0 P2 P0 Pn n 1 n 1 3四、（本题满分 50 分） 1 1设 Sn
1 ， n 是正整数．证明：对满足 0 a b 1 的任意实数 a b ，
数列 Sn Sn 中有无穷多项属于 2 na b ．这里， x 表示不超
过实数 x 的最大整数． 2012年全国高中数学联赛一试及加
试试题 参考答案及详细评分标准A卷word版一、填空题：< br>本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中
的横线上． 2１． 设 P 是函数 y x （ x 0 ）的图像上任
意一点，过点 P 分别向 x直线 y x 和 y 轴作垂线，垂足
分别为 A B ，则 PA PB 的值是 ． 2 2 2解:方法1:设 p x0
x0 则直线 PA 的方程为 y x0 x x0 即 y x 2 x0 . x0 x0 x0 y
x 1 1由 2 A x0 x0 . y x 2 x0 x x0 x0 0 2 1 1 1又 B 0 x0 所以
PA PB x0 0. 故 PA PB x0 1. x0 x0 x0 x0 3２． 设 ABC 的内
角 A B C 的对边分别为 a b c ，且满足 a cos B b cos A c ，
5 tan A则 的值是 . tan B c2 a 2 b2 b2 c2 a 3 3解:由题设及余
弦定理得 a b c 即 a 2 b 2 c 2 故 2ca 2bc 5 5 a c b 2 2 2 8 2 a
ctan A sin A cos B 2ac c 2 a 2 b2 5 2 2 B sin B cos A b2 c
2 a 2 b c a 2 2 c 2 b 2bc 5３．设 x y z 01 ，则 M x y y z z x 的
最大值是 .解:不妨设 0 x y z 1 则 M y x z y z x.因为 y x z y
2 y x z y 2 z x.所以 M 2 z x z x 2 1 z x 2 1. 1当且仅当 y x z y
x 0 z 1 y 时上式等号同时成立.故 M max 2 1. 24.抛物线 y 2
px p 0 的焦点为 F ，准线为ｌ， A B 是抛物线上的 2两个
动点，且满足 AFB ．设线段ＡＢ的中点 M 在ｌ上的投影

为 N ， 3 MN 则 的最大值是 . AB AF BF解:由抛物线的
定义及梯形的中位线定理得 MN . 2在 AFB 中由余弦定理
得 AB AF BF 2 AF BF cos 2 2 2 3 AF BF 2 AF BF 2 AF BF 2
3 AF BF AF BF 2 3 MN . 2 2 2 MN当且仅当 AF BF 时等号
成立.故 的最大值为1. AB 设同底的两个正三棱锥 P ABC
和 Q ABC 内接于同一个球．若正三棱锥 P ABC 的侧面与
底面所成的角为 45 ，5．则正三棱锥 Q ABC 的侧面与底
面所成角的正切值是 ．解:如图.连结 PQ 则 PQ 平面 ABC
垂足 H 为正 ABC 的中心且 PQ 过球心 O 连结 CH 并
延长交 AB 于点 M 则 M 为 AB 的中点且 CM AB 易知
PMH QMH 分别为正三棱锥P ABC Q ABC 的侧面与底面
所成二角的平面角则 PMH 45 1从而 PH MH AH 因为
PAQ 90 AH PQ 2 1所以 AP PH QH 即 AH AH QH . 2 2 2
QH所以 QH 2 AH 4 MH . 故 tan QMH 4 MH6. 设 f x 是定
义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f x x ．若对任意的x a
a 2 ，不等式 f x a 2 f x 恒成立，则实数 a 的取值范围
是 ． x 2 x 0解:由题设知 f x 则 2 f x f 2 x. 因此原不等式
等价于 f x a f 2 x. x x 0 2因为 f x 在 R 上是增函数所以 x
a 2 x 即 a 2 1 x. 又 x a a 2 所以当 x a 2 时 2 1x 取得最大
值 2 1a 2. 因此 a 2 1a 2 解得 a 2. 故 a 的取值范围是 2 .
1 1７．满足 sin 的所有正整数 n 的和是 ． 4 n 3 3 1 3 1解:
由正弦函数的凸性有当 x 0 时 x sin x x 由此得 sin sin 6 13

13 4 12 12 4 1 3 1 1 1sin sin . 所以 sin sin sin sin sin . 10 10 3
9 9 3 13 4 12 11 10 3 9 1 1故满足 sin 的正整数 n 的所有值
分别为 101112 它们的和为 33 . 4 n 3８．某情报站有 A B C
D 四种互不相同的密码，每周使用 其中的一种密码，且每周
都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设
第１周使用 Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率
是 ．（用最简分数表示）解:用 Pk 表示第 k 周用 A 种密
码的概率则第 k 周末用 A 种密码的概率为 1 1 1 1 1 3 11
Pk .于是有 Pk 1 1 Pk k N 即 Pk 1 Pk 由 P 1 知， Pk 是首
项为 ，公比为 的 1 3 4 3 4 4 4 3 1 3 1 k 1 3 1 k 1 1 61等比数
列。所以 Pk ，即 Pk ，故 P7 4 4 3 4 3 4 243二、解答题：
本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过
程或演算步骤． 1 3 1９．（本小题满分１６分）已知函数 f
x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2（１）若对任意 x R ，都有 f x
0 ，求 a 的取值范围；（２）若 a 2 ，且存在 x R ，使得
f x 0 ，求 a 的取值范围． 3 3解:1 f x sin x a sin x a 2 . 令 t
sin x1 t 1 则 g t t 2 at a 4 分 a a 3 g 1 1 a 0对任意 x R f x 0
恒成立的充要条件是 a 018 分 g 1 1 2a 3 0 a a 32因为 a 2
所以 1. 所以 g t min g 1 1 12 分 2 a 3 3因此 f x min 1 . 于
是存在 x R 使得 f x 0 的充要条件是 1 0 0 a 3. a a故 a 的
取值范围是 23.16 分１０．（本小题满分２０分）已知数列
an 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 n ，都有a1

a2 an 2 a13 a2 an 3 3（１）当 n 3 时，求所有满足条件的三
项组成的数列 a1 a2 a3 （２）是否存在满足条件的无穷数列
an ，使得 a2013 2012 若存在，求出这样的无穷数列的一个
通项公式；若不存在，说明理由．解:1当 n 1 时 a1 a1 由 a1
0 得 a1 1 .当 n 2 时 1 a2 1 a2 由 a2 0 得 a2 2 或 a2
1 ………5 2 3 2 3分当 n 3 时 1 a2 a3 1 a2 a3 . 若 a2 2 得
a3 3 或 a3 2 若 a2 1 得 a3 1 2 3 3综 上满足条件的三项数
列有三个:123或12-2或
1-1………………………………………1 0分2令 S n a1 a2 an
则 S n a1 a2 an n N 从而 S n an 1 a1 a2 an an 1. 2 3 3 3 2 3 3
3 3两式相减结合 an 1 0 得 2 S n an 1 an 1 当 n 1 时由1知
a1 1 2当 n 2 时 2an 2 S n S n 1 an 1 an 1 an an 即 an 1 an an
1 an 1 0 2 2所以 an 1 an 或 an 1 an
1 ……………………………………15分又 a1 1 a2013 2012
n1 n 2012所以 an ………………………………20分 2012 1 n
2013 n１１．（本小题满分２０分）如图5，在平面直角坐
标系 XOY 中，菱形 ABCD 的边长为 4 ，且 OB OD
6 ．（１）求证： OA OC 为定值；（２）当点A在半圆 x
2 y 4 （ 2 x 4 ）上运动时，求 2 2点 C 的轨迹．解:因为 OB
OD AB AD BC CD 所以 O A C 山的共
线………………………………………5分如图连结 BD 则
BD 垂直平分线段 AC 设垂足为 K 于是有 OA OC OK

AK OK AK OK AK OB BK AB BK OB AB 62 42 20 定
值…………10分 2 2 2 2 2 2 2 22设 C x y A2 2 cos 2sin 其中
XMA 则 XOC . 2 2 2因为 OA 2 2 cos 2sin 81 cos 16 cos 所
以 OA 4 cos 2 2 2 2 …………15分 2 2由1的结论得 OC cos
5 所以 x OC cos 5. 从而 y OC sin 5 tan 55. 2 2 2 2故点 C
的轨迹是一条线段其两个端点的坐标分别为 A55 B 5
5 ……………20分 2012 年全国高中数学联赛加试试题（ A
卷）一、（本题满分４０分）如图，在锐角 ABC 中， AB AC
M N 是 BC 边上不同的两点，使得 BAM CAN . 设 ABC
和 AMN 的外心分别为 O O ，求证： O O A 三点共线。 A
1 2 1 2证明：如图.连接 AO1 AO2 过 A 点作 AO1 的垂线
AP 交 BC 的延长线于点 P 则 AP是 O1 的切线.因此 B
PAC ………10 分因为 BAM CAN 所以 AMP B BAM PAC
CAN PAN …………20 分 B M N C因而 AP 是 AMN 的
外接圆 O2 的切线…………………30 分故 AP AO2 .所以
O1 O2 A 三点共线。………………………………40 分二、
（本题满分４０分）试证明：集合 A 2 2 2 满足 2 n（１）
对每个 a A ，及 b N ，若 b 2a 1 ，则 bb 1 一定不是 2a 的
倍数；（２）对每个 a A （其中 A 表示 A 在Ｎ 中的补集），
且 a 1 ，必存在 b N ，b 2a 1 ，使 bb 1 是 2a 的倍数． k
1证 明 : 对 任 意 的 a A 设 a 2 k N 则 2a 2 如 果.