全国高中数学联赛第一试模拟试卷

全国高中数学联赛第一试模拟试卷
考试时间：120分钟
考试对象：全日制普通高级中学学生


一、 填空题（每小题8分，共64分）

1. 函数
y?
5?sinx
的最大值是。（原创）
4?cosx
a
n
的最小值为。（原
n
2. 已知数列?
a
n
?
满足
a
1
?36
，
a
n?1
?a
n
?2n
（
n?N
*
），则
创）
13
abca?b?c
i
，若
??
，则3. 设
a,b,c
均为非零复数，令
w???
的值为。
22
bc aa?b?c
(改编自 2013年全国高中数学联赛辽宁省预赛)
3
，则
A
2
4. 设
B,C
是定点且都不在平面< br>?
上，动点
A
在平面
?
上且
sin?ABC?
点的轨迹是。（原创）

x
?
5. 已知
f(x)
为< br>R
上增函数，且对任意
x?R
，都有
f
?
则
f(3)?
。
f(x)?3
??
?4
，
(改编自 2013年全国高中数学联赛福建省预赛)

6. 将全体正整数自小到大一个接一个地顺序写成一排，则从左至右的第2015
个数字是。（原创）

7. 函数
f(x)?
?
|x?k|
的最小值是。（原创）
k?1
2015
8.
a,b,c
是不同的正整数，若集合
{a?b,b?c,c?a}?{n
2
,(n?1)
2
,(n?2)
2
}
，
n
为
正整数，则
a
2
?b
2
?c
2
的最小值是。（原创）


二、 解答题（本大题共3小题，共56分）

x
3
?3x
9. (16 分)已知函数
f(x)?
2
，数列
{x
n
}
满足：
x
1
?2
，
x
n?1
?f(x
n
)(n?N
*
)
，
3x?1
记
b
n
?lo g
3
(
x
n?1
?1
)
(n?N
*
)
．（原创）
x
n?1
?1
（1）求证：数列
{bn
}
成等比数列，并求数列
{b
n
}
的通项公式； < br>（2）记
c
n
??nb
n
(n?N
*
)，求数列
{c
n
}
的前
n
项和公式
T
n
．

10. (20分)设点
P
为圆
C
1:x
2
?y
2
?2
上的动点，过点
P
作
x
轴的垂线，垂足为
Q
，
uuuuruuur
点
M
满足
2MQ?PQ
。(改编自 2013年全国高中数学联赛辽宁省预赛)
（1）求点
M
的轨迹
C
2
的方程；
（2）过直线
x?2
上的点
T
作圆
C
1
的两条切线，设切点分别 为
A、B
，若直线
AB
与
(1)
中的曲线
C
2
交于
C、D
两点，求

|CD|
的取值范围。
|AB|

11. (20分) 设函数
f(x)
定义于闭区间
[0,1]
满足
f(0)?0
，
f(1)?1
，同时对任意
x?y
)?(1?a
2
)f(x)?a
2
f(y)
，其中常数
a
满足
2
（原创）
0＜a＜1
，求
a
的值。
x,y?[0,1]
，且
x?y
，都有
f(





解 答
1.
20?210

15
将函数式看做定点
(4,5)
与动点< br>(cosx,sinx)
连线的斜率。而动点
(cosx,sinx)
的轨迹是 一个单位圆，设过点
(4,5)
的直线方程为
y?5?k(x?4)
，即y?kx?(4k?5)?0
，当斜率取最大值时，该直线应是单位圆的一条切线，于
是原 点到该直线距离为1，即有
4k?5?k
2
?1
，所以
k?
20?210
。
15
20?210
，因此
15
最大值是
k?

2. 11
由
a
1
?36,a
n?1
?a
n
?2n
知，
a
n
?a
n?1
?2(n?1)< br>，
a
n?1
?a
n?2
?2(n?2)
，…，
a
2
?a
1
?2?1
，
a
1
?36。
n
个等式左右两边分别相加，得
a
n
?n(n?1)?36< br>。所
以，
a
n
a
36
?n?1?
。因此n?6
时，
n
有最小值11。
nnn

3.
1,
?
,
?
2

设
abc
???k
，则
k
3
?1
，
k?1,
?,
?
2
，
bca
a?b?cbk?b?bk
2
k?1?k
2
k?k
3
?k
2
a?b?c
???? k
，所以
?k?1,
?
,
?
2
。
222
a?b?cbk?b?bkk?1?kk?1?k
a?b?c

4. 椭圆，双曲线，抛物线
3
的
A
点的轨迹是以
B
为锥顶，以
BC
为轴线的一个圆锥
2
满足
sin?ABC?
面（母线与 锥线的夹角为60°）。因为
A
点在平面
?
上，从而其轨迹是圆锥
面 与平面
?
的交线，所以轨迹可能是三种圆锥曲线的任何一种，即椭圆，双
曲线，抛物线 均有可能。

5. 28
依题意，
f(x)?3
x
为常 数。设
f(x)?3
x
?m
，则
f(m)?4
，
f (x)?3
x
?m
。
∴
3
m
?m?4
，
3
m
?m?4?0
。易知方程
3
m
?m?4?0< br>有唯一解
m?1
。
∴
f(x)?3
x
?1
，
f(3)?3
3
?1?28
。


6. 0
全体一位数共占据9个数位，全体两位数共占据
2?90?180
个数位，接下来是顺次排列的三位数，由于
2015?9?180?1826
，而
18262?608
，因为
33

608?99?707
，所以第20 13个数字是三位数707的末位数字，于是第2015
个数字是三位数708的中间位置的数字0.

7. 1015056
由于1,2，…，2015的中位数是1008，当
x?1008
时，函数取得最小值
f(1008)?2(1?2?L+1007)=1015 056
。

8. 1297
由
n
2
?(n?1 )
2
?(n?2)
2
?2(a?b?c)?偶数
，所以
n, n?1,n?2
两奇一偶，即
n
为奇数，显然
n＞1
，不妨设
a＜b＜c
，如果
n?3
，则由
a?b?9
，
a?c?1 6
，
b?c?25
得
a?b?c?25
，此时推得
a?0< br>，矛盾。所以
n?5
，当
n?5
时，
由
a?b?25
，
a?c?36
，
b?c?49
解得
a?6
，b?19
，
c?30
，这时
a
2
?b
2
?c
2
?1297
。

3
x
n
?3x
n
?1
3
232
x
n?1
?1f(x
n< br>)?13x
n
?1x
n
?3x
n
?3x
n< br>?1
?
x
n
?1
?
9. （1）
??
3
?
3
?
??

2
? 3x
n
x
n?1
?1f(x
n
)?1
x
n
x
n
?3x
n
?3x
n
?1
?
x
n
?1
?
?1
2
3x
n
?1
…… …（4分）
x
n?1
?1x?1
)?3log
3
(
n
)
，即
b
n?1
?3b
n
，所以数列
?
b
n
?
成等比数列。
x
n?1
?1x
n
?1
2?1
)??1
，于是
b
n
??3
n?1
，所以．数列
?
b
n
?
的通项公式为
2?1
于是
log
3
(
又
b
1
?log
3
(
b
n
??3
n?1
． ………（8分）

（2）由（1）知，
b
n
??3
n ?1
，故
c
n
?n?3
n?1
，
T
n< br>?1?3
0
?2?3
1
?3?3
2
?L?n?3n?1
，
3T
n
?1?3
1
?2?3
2?3?3
3
?L?n?3
n
，
于是
?2T
n
?1?3?3?L?3
2n?1
3
n
?1
?n?3??n? 3
n
， ………（12分）
2
n
n?3
n< br>3
n
?1(2n?1)?3
n
?1
??
即
T
n
?
，
244
n
(2n?1)?3?1
(n?N
*
)
。 ………（16分）∴数列
{c
n
}
的前
n
项和公式
T
n
?

4
uuuuruuur
10. （1）设点
M(x,y)
，由
2?MQ?PQ
，得
P(x,2y)
。
22
22
由于点
P
在
C
1
：x?y?2
上，所以
x?2y?2
，即
M
的轨迹方程为
x
2
? y
2
?1
。………（5分）
2
（2）设点
T(2,t )
，
A(x
1
?
,y
1
?
)，B(x2
?
,y
2
?
)

则
AT
，
BT
的方程为
x
1
?
x?y
1
?
y?2
，
x
2
?
x?y
2
?
y?2
，
又点
T(2,t)
在
AT
、
BT
上，则有：
2x
1
?
?ty
1
?
?2
①，
2x
2
?
?ty
2
?
?2
②， ………（8分）
由①、②知
AB
的方程为：
2x?ty?2
， < /p>

设点
C(x
1
,y
1
)，D(x
2< br>,y
2
)
，则圆心
O
到
AB
的距离
d?
2
4?t
2
，则

2t
2
?4
|AB|?2r?d?2
2
； ………（10分）
t?4
22
?
2x?ty?2
?
22< br>(t?8)y?4ty?4?0
， 又由
?
x
2
，得
2
?
?y?1
?2
于是
y
1
?y
2
?
4t
?4
yy?
，，
12
2
2
t? 8
t?8
t
2
2t
2
?4?2t
2
?8< br>∴
|CD|?1?|y
1
?y
2
|?
，
4 t
2
?8
|AB|(t
2
?8)t
2
?2
?
于是，
22
|CD|
(t?4)t?4
2

|A B|s
3
?6s
2
?32632
??1??
3
， 设
t?4?s
，则
s?4
，于是
3
|CD|sss
设
11
|AB|
?m，m?(0,]
，于是
?1?6m?32m3
，………（15分）
|CD|
s4
1
，得
4
32
设
f(m)?1?6m?32m
，
f
?
(m)?6? 96m
，令
f
?
(m)?0
，得
m?

|CD|
f(m)
在
(0,]
上单调递增，故
f(m)?(1,2 ]
，即的范围为
|AB|
1
4
?
2
?
,1
?
。 ………（20分）
?
?
?
2
?

11. 取x?0
，
y?1
，则
f()?f(
1
2
0?1
)?(1?a
2
)f(0)?a
2
f(1)?a
2
①
2
13
?
13
1
44
)?(1?a
2
)f(
1
)?a
2
f(
3
)
② 再取x?
，
y?
，则
f()?f(
44
2244
… ……（10分）
1
1
1
2
)?(1?a
2
)f( 0)?a
2
f(
1
)?a
4
③ 取
x?0
，
y?
，则
f()?f(
2
422
0?
1
?1
1
31
2224
取
x?
，
y?1
，则
f()?f(
2
)?(1?a)f()?af(1)?2a?a
④
2
422
1
f()?(1?a
2
)a
4
?a
2
(2a
2
?a
4
)??2a
6
?3a
4
⑤
将③、④代入②得
2
………（15分）
由①与⑤得
a
2
??2a
6
?3a
4
，解得
a?0
，
a??
2
，
a??1
，而
0＜a＜1
，
2
因此
a?
2
。
………（20分）
2