全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解

23
?
8
2014
?
?
8
?
?< br>8
??
8
?
∴
A?
??
?
??
?
??
?
L
?
??
?1007?7?56(mod 63)
。
9999
??
??????
10．若
a
，
b
，
c
为关于
x
的方程
x
3
? x
2
?x?m?0
的三个实根，则
m
的最小值
为 。
【答案】
?
5

27
【解答】依题意，有
x
3
?x
2
?x?m?(x?a)(x?b)(x?c)
。
∴
x
3
?x
2
?x?m?x
3
?(a ?b?c)x
2
?(ab?bc?ca)x?abc
。
?
?1??(a?b?c)
?
a?b?c?1
??
∴
?
?1?ab?bc?ca
，
?
ab?bc?ca??1
。
?
m??abc
?
m??abc
??
∴
bc? ?1?(ab?ca)??1?a(b?c)??1?a(1?a)?a
2
?a?1
。
a
2
?b
2
?c
2
?(a?b?c)
2< br>?2(ab?bc?ca)?3
。
∴
a
2
?1
，
b
2
?1
，
c
2
?1
中至少有一个成立 。不妨设
a
2
?1
，
?1?a?1
。
∴ m??abc??a(a
2
?a?1)??a
3
?a
2
?a
。
设
m?f(a)??a
3
?a
2
?a，则
f
?
(a)??3a
2
?2a?1??(3a?1)(a? 1)
。
1
?
11
?
?
?
上为减函数，∴
?1?a??
时，
f
?
(a)?0
；
??a?1< br>时，
f
?
(a)?0
。
f(a)
在
?
?1，
3
?
33
?
?
1
?
1
?
上为增函数。 在
?
?，
?
3
?
15115151
∴
m
有最小值
f(?)??
。此时，
a??
，
b??
，
c?
或
a??
，
b?
，
c??
。
327333333

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．已知
?
a
n
?
为递增的等比数列，且
a
1< br>?a
2
?6
，
a
3
?a
4
?24< br>。
b
n
?
的前
n
项和为
T
n
，求证：对一切正整数
n
均有，
T
n
?3
。
【 解答】设
?
a
n
?
的公比为
q
，则
q?0
。
a
n
，数列
?
b
n
2
(a< br>n
?1)
?
?
a
1
?a
1
q?6< br>?
a
1
?2
由
a
1
?a
2
?6
，
a
3
?a
4
?24
，知
?
，。
?
23
?
a
1
q?a
1
q?24< br>?
q?2
∴
a
n
?2?2
n?1
?2
n
。 …………………………… 5分
a
n
2
n
∴
b
n
?
。
?
(a
n
?1)
2< br>(2
n
?1)
2
∵
n?2
时，
2n
2
n
2
n
2
n?1
11
b
n
?
n
?????
，
(2?1)
2
(2
n
?1)(2
n
?1)(2
n
?1)(2
n
?2) (2
n?1
?1)(2
n
?1)2
n?1
?12
n
?1
…………………………… 10分
∴
n?2
时，
T
n
?b
1
?(
1111111
?
2
) ?(
2
?
3
)?
L
?(
n?1
?
n
)?2?1?
n
?3
。
2?12?12?12?12?12?12?1
……………………………… 15分
又
n?1
时，
T
1
?b
1
?2?3
。
∴ 对一切正整数
n
均有
T
n
?3
。 …………………………… 20分

x
2
y
2
?1
的右焦点，12．已知
F
为椭圆
C< br>：
?
椭圆
C
上任意一点
P
到点
F
的 距离与点
P
到
43
直线
l
：
x?m
的距离 之比为
（1）求直线
l
方程；
1
。
2
（2）设
A
为椭圆
C
的左顶点，过点
F
的直线交椭圆
C于
D
、
E
两点，直线
AD
、
AE
与< br>直线
l
分别相交于
M
、
N
两点。以
MN为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；
若不是，请说明理由。
(x?1)
2
?y
2
1
?
。 【解答】（1）F(1，0)
，设
P(x，y)
为椭圆
C
上任意一点，依题意有
x?m2
∴
4(x?1)
2
?4y
2
?(x? m)
2
。将
4y
2
?12?3x
2
代入，并整理得
(8?2m)x?m
2
?16?0
。
由点
P(x，y)< br>为椭圆上任意一点知，方程
(8?2m)x?m
2
?16?0
对
?2?x?2
的
x
均成立。
∴
8?2m?0
，且< br>m
2
?16?0
。解得
m?4
。
∴ 直线
l
的方程为
x?4
。 …………………… 5分
（2）易知直线
DE
斜率不为0，设
DE
方程为
x?ty?1
。
?
x?ty?1
?
由
?< br>x
2
y
2
，得
(3t
2
?4)y
2
?6ty?9?0
。
??1
?
3
?
4
y
1
)
，
E(x
2
，y
2
)
，则< br>y
1
?y
2
?
设
D(x
1
，
?6t?9
，。 …………… 10分
yy?
12
3t
2< br>?43t
2
?4
0)
，知
AD
方程为
y?0 ?
由
A(?2，
y
1
?06y
(x?2)
，点M
坐标为
M(4，
1
)
。
x
1
?2 x
1
?2
6y
同理，点
N
坐标为
N(4，
2
)
。 ………………… 15分
x
2
?2
0)
在以
MN
为直径的圆上。 由对称性 ，若定点存在，则定点在
x
轴上。设
G(n，
uuuuruuur
6 y6y36y
1
y
2
?0
。 则
GM?GN?(4?n，< br>1
)?(4?n，
2
)?(4?n)
2
?
x
1
?2x
2
?2(x
1
?2)(x
2
?2)
∴
(4?n)
2
?
即
(4?n)
2
?
36y
1
y
2
36y
1
y
2
?(4?n )
2
?
2
?0
。
(ty
1
?3)(ty
2
?3)ty
1
y
2
?3t(y
1
?y< br>2
)?9
36?(?9)
?0
，
(4?n)
2
?9?0
，
n?1
或
n?7
。
22
?9t?3 t(?6t)?9(3t?4)
0)
和
(7，0)
。 ………………… 20分 ∴ 以
MN
为直径的圆恒过
x
轴上两定点
(1，
注：若只求出或证明两定点中的一个不扣分。
0)
和
(7，0)
后，再予以证明。 也可以由特殊的直线
l
，如
x?1
，得到圆与
x
轴的交点
(1，

13．如图，在五边形
ABCDE
中，
BC∥AE
，
AB?BC?A E
，
?ABC??CDE
，
M
为
CE
中点，
O
为
△BCD
的外心，且
OM?MD
。延长
DM
至点
K
，使得
MK?MD
。
（1）求证：
?BKC??BDC
；
（2）求证：
?ABC?2?BDA
。
【解答】（1） ∵
M
为
KD
中点，且
OM?MD
，
∴
OK?OD
，点
K
在
△BCD
的外接圆上。
∴
?BKC??BDC
。 ………… 5分
（2）延长
AE
至点< br>T
，使得
ET?BC
。联结
TB
，
TC
，< br>TD
，
TK
，
KE
。
由
AB?BC?AE
知，
AT?AB
。
又
BC∥AE
。
∴
?CBT??BTA??ABT
，
?ABC?2?BTA
，且四边形
BCTE
为平行四边形。
∴
M
也是
BT
中点。 …………… 10分
∴ 四边形
BKTD
为平行四边形，
?BKD??KDT
。
四边形
KCDE
为平行四边形，
?CKD??KDE
。
∴
?BKC??BKD??CKD

??KDT??KDE??EDT
。
∴
?BDC??BKC??EDT
。 ……… 15分
∴
?BDT??BDE??EDT??BDE??BDC

??CDE??ABC
。
∴
?BDT??BAT??ABC??BAT?180?
。
∴
B
、
A
、
T
、
D
四点共圆。
∴
?BDA??BTA
。
∴
?ABC?2?BTA?2?BDA
。 …………… 20分

14．已知
f(x)?aln(x?1)?
1
?3x?1
。
x? 1
（1）若
x?0
时，
f(x)?0
恒成立，求实数
a的取值范围；
（2）求证：
立。
a13(x?1)
2
?a( x?1)?13x
2
?(a?6)x?a?2
??3??
【解答】（1）f
?
(x)?
。
222
x?1(x?1)(x?1)(x?1 )
234n?11
???
L
??ln(2n?1)
对一切正整数n
均成
2222
4?1?14?2?14?3?14?n?14
若
a??2
，则
a?6?0
，
x?0
时，
f
?(x)?0
。此时，
f(x)
在区间
?
0，??
?上为增函数。
∴
x?0
时，
f(x)?f(0)?0
。
a??2
符合要求。 …………………… 5分
若
a??2
，则方程
3x
2
?( a?6)x?a?2?0
有两个异号的实根，设这两个实根为
x
1
，
x
2
，
且
x
1
?0?x
2
。
∴
0?x?x
2
时，
f
?
(x)?0
。
f( x)
在区间
?
0，x
2
?
上为减函数，
f(x2
)?f(0)?0
。
∴
a??2
不符合要求。
∴
a
的取值范围为
?
?2，??
?
。 …………………… 10分
（2）由（1）知，
x?0
时，不等式
?2ln(x?1)?
∴
x?0
时，
1
?3x?1?2ln(x?1)
恒成立。
x?1
1
?3x?1?0
恒成立。
x?1
令
x?
2
（
k?N
*
），得
2k?1
1
2
?1
2k?1
?3?
22
?1?2ln(?1)
，
2k?12k?1
整理得
∴
8k?82k?1
。 …………………… 15分
?2ln
2
4k?12k?1
k?112k?1
。令
k?1
，2，3，…，
n
，得
?ln
4k< br>2
?142k?1
213315417n?112n?1
?ln?ln?ln? ln
，，，…，。
4?1
2
?1414?2
2
?1434 ?3
2
?1454?n
2
?142n?1
将上述
n
个不等式的左右两边分别相加，得
234n?113572n?11
???
L
??ln(???
L
?)?ln(2n?1)
。
2222
4?1?14?2?14?3?14?n?141352n?14
∴ 234n?11
???
L
??ln(2n?1)
对一切正整数
n
均成立。
2222
4?1?14?2?14?3?14?n?14
…………………………… 20分

15．给定2014个和为1的非负实数
a
1
，a
2
，
a
3
，…，
a
2014
。 < br>证明：存在
a
1
，
a
2
，
a
3，…，
a
2014
的一个排列
x
1
，
x
2
，
x
3
，…，
x
2014
，满足
x< br>1
x
2
?x
2
x
3
?L?x
201 3
x
2014
?x
2014
x
1
?
1。
2014
【解答】为方便起见，称和式
y
1
y
2< br>?y
2
y
3
?L?y
2013
y
2014< br>?y
2014
y
1
为2014个实数
y
1
，
y
2
，…，
y
2014
的“循环和式”。
由于2 014个排列：
b
1
，
b
2
，
b
3
，…，
b
2014
；
b
2
，
b
3，…，
b
2014
，
b
1
；
b
3< br>，
b
4
，…，
b
2014
，
b
1< br>，
b
2
；……；
b
2014
，
b
1
，
b
2
，…，
b
2013
。对应的“循环和式”是 同一个“循环和式”。
因此，
a
1
，
a
2
，a
3
，…，
a
2014
的
2014!
个排列对 应
2013!
个“循环和式”。
………………………… 5分
记这
2013!
个“循环和式”为
P
1
，
P
2
，P
3
，…，
P
k
。其中
k?2013!
。 < br>设这
2013!
个“循环和式”总和为
S
，即
S?P
1
?P
2
?P
3
?L?P
k
。
由于每一 个
a
m
（
m?1
，2，3，…，2014）在每个“循环和式”中均 出现两次，因此，在
S
中共出现
2?2013!
次。
∴
S?（
1?i?j?2014
?
a
i
a
j
）?2 ?2012！
。 ………………………… 10分
（这里
1?i ?j?2014
?
a
i
a
j
?a
1
a2
?a
1
a
3
?
L
?a
1
a
2014
?a
2
a
3
?a
2
a
4
?
L
?a
2
a
2014
?
L
?a
2013
a
2014
）
另一方面，由
2
1?i? j?2014
222
?a
3
?L?a
2014
)
， 以及柯西不等式：
(a
1
?a
2
?a
3
?L?a< br>2014
)
2
?(1
2
?1
2
?1
2
?L?1
2
)(a
1
2
?a
2
?
222
a
i
a
j
?(a
1
?a
2
?a
3
?
L
?a
2014
)
2
?(a< br>1
2
?a
2
?a
3
?
L
?a
2014
)
，
222
得
a
1
2
?a
2
?a
3
?L?a
2014
?
1
1
，
2
?
a
i
a
j
?1?
。
2014
2014
1?i?j?2014
∴
1?i?j?201 4
?
a
i
a
j
?
2013
。 ……………………… 15分
2?2014
∴
S?
20132013!
?2?2012!?
。
2?201420 14
S11
?
。设
P
l
?
，则对应的“循
2013!20142014
∴
P
1
，
P
2
，< br>P
3
，…，
P
k
中至少有一个不大于
环和式”为P
l
的排列符合要求。
∴ 存在一个
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
2014
的排列符 合要求。 …………………… 20分