2013四川高中数学竞赛试题及答案

2013年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满足：
f
?
x?3
?
??
【 】
1
，若
f(
则
f(0 )?2
，
2013)
f
?
x
?
?

1
1
A、
?
B、 C、2 D、2013
2
2
2、设等差数列
?
a
n
?
与等比数列
?
b
n
?< br>满足：
0?a
1
?b
1
?a
5
?b
5
，则下述四个结论：
①
a
3
?b
3
； ②
a
3
?b
3
； ③
a
6
?b
6
； ④
a
6
?b
6
中正确的个数是 【 】
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 < br>3、已知二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，
PA?
?
，
PB?
?
，
A
、
B
为 垂足，
PA=5
，
PB=4
，设
A
、
B
到 二面角的棱
l
的距离分别为
x
、
y
，当
?
变化时，点
(x,y)
的轨迹为下
列图形中的 【 】
A、 B、 C、 D、
4、从
[0,10]
上任取一个数
x
，从
[0,6]
上任取一个数
y
，则使得
|x?5|?|y?3|?4
的概
率是 【 】
113
1
A、 B、 C、 D、
5
324
5、当平面上的点
(x,y)
的坐标
x
、
y
都为有理数时，该点称为有理点，设
r
是给定的正
实 数，则圆
(x?1)
2
?(y?2)
2
?r
2
上的 有理点 【 】
A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个 D、可以有无穷多个
6、△ABC 中，
?C?90
，
?B?30
,
AC=2
，M是AB的中点 ，将△ACM沿CM翻折，
使A、B两点间的距离为
22
，则三棱锥
A?BC M
的体积等于 【 】
A、

2
2
B、
3
3
C、
6

3
D、
22

3
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
3?x
)?m
，，记
f(1)?f(2)?f(4)???f(1024
1?x
1111< br>f()?f()?f()???f()?n
，则
m?n?
．
2481024
2342013
8、已知
i
是虚数单位， z?1?i?i?i?i??i
，把复数
z
的共轭复数记为
z
， 则
z?z
= ．
y
2
2
?1
，则
x2?y
2
的最大值是 ． 9、实数
x,y
满足
x?
16
42
10、关于曲线C：
x?y?1
的下列命题：
7、已知函数
f(x)?
① 曲线C关于原点对称； ② 曲线C关于直线
y=x
对称；
③ 曲线C所围成的面积小于
?
； ④ 曲线C所围成的面积大于
?
，
其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）
11
11、设
n
是小于100的正整数，且满足
(n
2
?1)?n
为整数，则符合条件的所有正整数
n
的
35
1

和为 ．
12、已知函数
f(x)?
a?x
，对任意
x?(0,1)
，有
f(x)?f(1?x)?1
恒成立，则实数
a
的取
x
π
2
值范围是 ．
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
2
13、设实数< br>?
?0
，已知函数
f(x)?sin
?
x?3sin
?
x?sin(
?
x?)
的最小正周期是
πππ
．求
f(x)
在
[,]
上的最大值与最小值．
284

x< br>3
?3x
*
14、已知函数
f(x)?
，数列满足：，
{x}x?2
x?f(x)(n?N)
，记
n1
n?1n
2
3x?1
x
n?1
?1

b
n
?log()
(n?N
*
)
．
3
x
n?1
?1
( I ) 求证：数列
{b
n< br>}
成等比数列，并求数列
{b
n
}
的通项公式；
（ II）记
c
n
??nb
n
(n?N
*
)
， 求数列
{c
n
}
的前
n
项和公式
T
n．







x
2< br>15、已知点
B(0,1)
，P、Q为椭圆
+y
2
=1
上异于点B的任意两点，且
BP?BQ
．
4
（I）若点B在线段PQ上的射影为点M，求M的轨迹方程；
（II）求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围．












1 6、若实数
x
0
满足
f(x
0
)?x
0
， 则称
x?x
0
为
f(x)
的不动点．已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?3
，其中
a,b
为常数．
（Ｉ）若
a?0
，求函数
f(x)
的单调递增区间；
（I I）若
a?0
时，存在一个实数
x
0
，使得
x?x
0
既是
f(x)
的不动点，又是
f(x)
的极值
点．求实数
b
的值；
（III）求证：不存在实数组
(a,b)< br>，使得
f(x)
互异的两个极值点皆为不动点．


2

2013年全国高中数学联赛（四川）初赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只 设5分和0分两档；其它各题的
评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档 次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考 本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、A 2、B 3、C 4、C 5、B 6、D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9
1
10、①④ 11、635 12、
{a|a?1或a??}

4
4
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
7、42 8、2 9、
13、已知函数
f(x)?sin
?
x ?3sin
?
x?sin(
?
x?)
求
f(x)
在
[,]
上的最大值与最小值．
2
π
2
(
?
?0)
的最小正周期是
π
．
2
ππ
84
解：
f(x)?
1?cos2
?
x3311
?sin2
?< br>x?sin2
?
x?cos2
?
x?

22222
?
1
?sin(2
?
x?)?
， （5分）
62
2
??
?
，则
?
?2
． 由条件知
T?
2
?
2
?
1
于是
f(x)? sin(4x?)?
， （10分）
62
??
??
5
?
当
?x?
时，
?4x??
，
84366
1
??
13
故
?sin(4x?)?1
，即
1?sin(4x?)? ?
． （15分）
26622
?
3
?
所以，
f(x)
在
x?
时取最大值，在
x?
时取最小值是
1
． （20分）
624
x
3
?3x
14、已知函数
f(x)?
，数列
{x
n
}
满足：
x
1
?2
，
x
n?1
?f(x
n
)(n?N
*
)
. ，
2
3x?1
记
b
n
?log
3
(x
n?1
?1
)

(n?N
*
)
．
x
n?1
?1
( I ) 求证：数列
{b
n
}< br>成等比数列，并求数列
{b
n
}
的通项公式；
（II）记< br>c
n
??nb
n
(n?N)
，求数列
{c
n
}
的前
n
项和公式
T
n
．
*
3

3
x
n
?3x
n
?1
3
232
x
n?1
?1f(x
n
)?13x
n< br>?1x
n
?3x
n
?3x
n
?1
?
x
n
?1
?
解：（1）
??
3
?
3
?
??
（5分）
2
x
n?1
?1f(x
n
)?1
x
n
?3x
n
x
n
?3x
n
?3x
n
?1
?
x
n
?1
?
?1
2
3x
n
?1
于是
log
3
(
x
n?1
?1x?1
)?3log
3
(
n
)，即
b
n?1
?3b
n
，所以数列
?
b
n
?
成等比数列．
x
n?1
?1x
n
?12?1
)??1
，于是
b
n
??3
n?1
，
2?1
又
b
1
?log
3
(
所以．数列< br>?
b
n
?
的通项公式为
b
n
??3
n?1
． （10分）
（II）由（I）知，
b
n
??3
n?1
，故
c
n
?n?3
n?1
，
T
n
?1?3
0
?2 ?3
1
?3?3
2
?
3T
n
?
?n?3< br>n?1
，
?n?3
n
，
n
1?3
1?2?3
2
?3?3
3
?
2
于是
?2T
n
?1?3?3??3
n?1
3
n
?1
?n?3??n? 3
n
， （15分）
2
n?3
n
3
n
?1(2n?1)?3
n
?1
??
即
T
n
?
，
244
(2n?1)?3
n
? 1
(n?N
*
)
. （20分） 所以，数列{c
n
}
的前
n
项和公式
T
n
?4
x
2
15、已知点
B(0,1)
，P、Q为椭圆
+y
2
=1
上异于点B的任意两点，且
BP?BQ
，
4
（I）若点B在线段PQ上的射影为M，求M的轨迹方程；
（II）求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围．
解：（I）设
P(x< br>1
,y
1
)
、
Q(x
2
,y
2)
，PQ的方程为
y=kx+m
，
与椭圆方程联立消去
y得：
(1+4k
2
)x
2
+8kmx+4m
2
-4=0
，
4m
2
-4
-8km
所以
x
1
+x
2
=
，
x
1
x
2
=
， （5分）
4k
2+1
4k
2
+1
y-1y
2
-1
?-1
，即
x
1
x
2
+y
1
y
2
-( y
1
+y
2
)+1=0
， 由
BP?BQ
得
1
x
1
x
2
(k
2
+1)(4m
2-4)-8km
+k(m-1)?
从而可得
4k
2
+14k2
+1
(m-1)
2
=0

化简得
5m
2
-2m-3=0
，解得
m=1
（舍去）或
m=-
3．
5
4

设
M(x,y)
，因为
BM^PQ
，所以
k=-
x
2
3
-
， 代入PQ方程得
y=-
y-15
x
，
y-1
整理得
x?(y?)?()
，由题意知轨迹不经过点
B(0,1)
．
所以，动点
M
的轨迹方程为：
x?(y?)?()(y?1)
． （10分）
（II）PQ方程为
y=kx-
x+x
2
y
1
+y
2
12k-3
3
==
，所以
1
， < br>25(4k
2
+1)25(4k
2
+1)
5
3112 k
=-(x-)
， （15分） 所以PQ中垂线方程为
y+5(4k
2
+1)k5(4k
2
+1)
2
2
1
5
2
4
5
2
1
5
2
4
5
2
其在x轴上的截距为
b=
99
9k
??b?
，所 以,． （20分）
5(4k
2
+1)
2020
16、若实数
x
0
满足
f(x
0
)?x
0
，则称
x?x
0
为
f(x)
的不动点．
已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?3
，其中
a,b
为常数．
（I）若
a?0
，求函数
f(x)
的单调递增区间；
（II）若
a?0
时，存在一个实数
x
0
，使得
x ?x
0
既是
f(x)
的不动点，又是
f(x)
的极值
点．求实数
b
的值；
（III）求证：不存在实数组
(a,b)< br>，使得
f(x)
互异的两个极值点皆为不动点．
32
解：（I）若< br>a?0
，
f(x)?x?bx?3
，故
f
?
(x)? 3x?b
．
当
b?0
时，显然
f(x)
在
R
上单增；
当
b?0
时，由
f
?
(x)?0
知
x??
bb
或
x???
．
33
所以，当
b?0
时，< br>f(x)
的单调递增区间为
(??,??)
；
当
b?0
时，
f(x)
的单调递增区间为
(??,??)
，
(?,??)
． （5分）
2
?
3x
0
?b?0
（II）由条件知
?
3
，
?
x
0
?bx
0
?3?x
0
b
3
b
3
于是
2x
0
?x
0
?3?0
，即
(x
0
?1)(2x0
?2x
0
?3)?0
，解得
x
0
?1

从而
b??3
． （10分）
5
32

（III）假设存在一组实数(a,b)
满足条件．由条件知
f
?
(x)?3x
2
? 2ax?b
，
因为
f(x)
的两个不同极值点，则
??4a?12 b?0
，即
a?3b
． ①
设
f(x)
的两个不同极值点为
x
1
,x
2
，其中
x
1?x
2
，则
x
1
,x
2
是方程
3x? 2ax?b?0
的
两实根，所以
x
1
?x
2
??< br>2
22
2ab
,x
1
x
2
?
． < br>33
又由
x
1
,x
2
是
f(x)
的 不动点，则
x
1
,x
2
是方程
x
3
?ax
2
?(b?1)x?3?0
的两根，设其
另一个根为
x
3< br>．故
x
3
?ax
2
?(b?1)x?3?(x?x
1
)(x?x
2
)(x?x
3
)

即
x3
?ax
2
?(b?1)x?3?x
3
?(x
1
?x
2
?x
3
)x
2
?(x
1
x
2
?x
2
x
3
?x
3
x
1
)x ?x
1
x
2
x
3

?
x
1
?x
2
?x
3
??a
?
故有
?
x
1
x
2
?x
2
x
3
?x
3
x< br>1
?b?1

?
xxx??3
?
123
于是
x
3
??
a9
??
，从而
ab?27
． ②
3b
b2aa
2a
2
2b
)(?)
，即
??1?0
， 又
b?1?x
1
x
2
?(x
1< br>?x
2
)x
3
??(?
333
93
2a2
18
??1?0
，即
2a
3
?9a?162?0 （15分） 故
9a
令
g( x)?2x?9x?162
，则
g
?
(x)?6x?9?0

故
g(x)
在
R
上单增，从而
g(x)?0
至多有一个实 根；
又因为
g(0)??162?0
，
g(4)?2?0
，从而
g(x)?0
至少有一个实根；
所以，
g(x)?0
恰有一个实数根
x?a?(0,4)
．
由①、②知
a?3b?
2
32
81
3
，即
a?81
，这与
a?(0,4)
，矛盾！ （20分）
a
所以，不存在实数组
(a,b)
，使得
f(x)
互异的两个极值点皆为不动点 ．


6