高中数学中取最值的-教资面试高中数学和初中数学难度区别
高中数学必修一测试卷及答案3套
测试卷一
(时间:120分钟
满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.如果
A
={
x
|
x
>-1},那么( )
A.0?
A
C.?∈
A
B.{0}∈
A
D.{0}?
A
1
2.已知
f
(
x
-1)=2
x
+3,<
br>f
(
m
)=6,则
m
等于( )
2
1
A.-
4
3
C.
2
1
B.
4
3
D.-
2
3.函数
y
=
x
-1+lg(2-
x
)
的定义域是( )
A.(1,2)
C.[1,2)
3
B.[1,4]
D.(1,2]
4.函数
f
(
x
)=
x
+
x
的图象关于( )
A.
y
轴对称 B.直线
y
=-
x
对称
D.直线
y
=
x
对称 C.坐标原点对称
5.下列四类
函数中,具有性质“对任意的
x
>0,
y
>0,函数
f
(<
br>x
)满足
f
(
x
+
y
)=
f
(
x
)
f
(
y
)”的是( )
A.幂函数
C.指数函数
B.对数函数
D.一次函数
6.若0<
m
<
n
,则下列结论正确的是( )
A.2>2
mn
1
m
1
n
B.()<()
22
0.3
C.log
2
m
>log
2
n
D.
log
1
m
>
log
1
n
2
0.2
2
7.已知
a
=0.3,
b
=2,
c
=0.3,则
a
,
b
,
c
三者的大小关系是(
)
A.
b
>
c
>
a
C.
a
>
b
>
c
B.
b
>
a
>
c
D.
c
>
b
>
a
8.函数
f<
br>(
x
)=log
3
x
-8+2
x
的零点一定
位于区间( )
A.(5,6)
C.(2,3)
B.(3,4)
D.(1,2)
9.下列计算正确的是( )
A.(
a
)=
a
B.log
2
6-log
2
3=1
C.
a
?
1
2
329
·
a
=0
2
1
2
D.log
3
(-4)=2log
3
(-4)
10.已知函数
f
(
x
)=
a
+lo
g
a
x
(
a
>0且
a
≠1)在[1,2]上的最大
值与最小值之和为log
a
2+
6,则
a
的值为( )
1
A.
2
C.2
1
B.
4
D.4
x
11.函数
y
=|lg(
x
+1)|的图象是( )
4-
b
12.若函数
f
(
x
)=lg(10+1)+
ax
是偶函数,
g
(
x
)=
x
是奇函数,则
a
+
b
的值是
2
x
x<
br>( )
1
A.
2
B.1
D.-1
1
C.-
2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知
A
={
-1,3,
m
},集合
B
={3,4},若
B
∩
A
=
B
,则实数
m
=________.
14.已知
f
(
x
)=lg
x
,则
f
(2)=______
__.
15.函数
y
=
f
(
x
)是定义域为R的
奇函数,当
x
<0时,
f
(
x
)=
x
+2
-1,则
x
>0时函数
的解析式
f
(
x
)=___
___________.
4
16.幂函数
f
(
x
)的图
象过点(3,27),则
f
(
x
)的解析式是______________
.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
3
5
x
17.(10分)(1)计算:
?
2
x
?
7
?
?
27
?
0
+(lg5)+
?
??
;
9
??
?
64
?
1
2
?
1
3
(2)解方程:log
3
(6-9)=3.
<
br>18.(12分)某商品进货单价为40元,若销售价为50元,可卖出50个,如果销售价每
涨
1元,销售量就减少1个,为了获得最大利润,求此商品的最佳售价应为多少?
19.(12分)已知函数
f
(
x
)=-3
x<
br>+2
x
-
m
+1.
(1)当
m
为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点;
(2)若函数恰有一个零点在原点处,求
m
的值.
20.(12分)已知集合
M
是满足下列性质的函数
f
(
x
)的全体:在定义域
D
内存在
x
0
,使得
2
f
(
x
0
+1)=
f
(
x
0
)+
f
(1)成立.
1
(1)函数
f
(
x
)=是否属于集合
M
?说明理由;
x
(2)若函数
f<
br>(
x
)=
kx
+
b
属于集合
M
,试
求实数
k
和
b
满足的约束条件.
21.(12分)已知奇函数
f
(
x
)是定义域[-2,2]上的减
函数,若
f
(2
a
+1)+
f
(4
a
-3
)>0,
求实数
a
的取值范围.
<
br>22.(12分)已知函数
f
(
x
)=
(1)若
a<
br>=1,求函数
f
(
x
)的零点;
.
(2)若函数
f
(
x
)在[-1,+∞)上为增函数,求
a
的取值范围.
答案
1.D
[∵0∈
A
,∴{0}?
A
.]
1
2.A
[令
x
-1=
t
,则
x
=2
t
+2, <
br>2
所以
f
(
t
)=2×(2
t
+2)+3=
4
t
+7.
1
令4
m
+7=6,得
m
=-.]
4
?
?
x
-1≥0
3.C
[由题意得:
?
?
?
2-
x
>0
3
,解得1≤
x
<2.]
4.C
[∵
f
(
x
)=
x
+
x
是奇函数,
∴图象关于坐标原点对称.]
5.C [本题考查幂的运算性质.
f
(<
br>x
)
f
(
y
)=
a
x
a
y
=
a
x
+
y
=
f
(
x
+
y
).]
6.D [由指数函数与对数函数的单调性知D正确.]
7.A
[因为
a
=0.3=0.3<0.3=
c
<0.3=1,
而
b
=2>2=1,所以
b
>
c
>
a
.]
8.B [
f
(3)=log
3
3-8+2×3=-1<0, 0.30
0.50.20
f
(4)=log
3
4-8+2×4=
log
3
4>0.
又
f
(
x
)在(0,+∞)上为增函数,
所以其零点一定位于区间(3,4).]
9.B
[A中(
a
)=
a
,故A错;
6
B中log
2<
br>6-log
2
3=log
2
=log
2
2=1,故B
正确;
3
C中,
a
?
1
2
326
·a
=
a
2
1
2
11
??
22
=
a
=1,故C错;
2
0
D中,log
3
(-4
)=log
3
16=log
3
4=2log
3
4.]
10.C [依题意,函数
f
(
x
)=
a<
br>+log
a
x
(
a
>0且
a
≠1)在[1,
2]上具有单调性,因此
a
+
a
+log
a
2=loga
2+6,解得
a
=2.]
x
2
11.A
[将
y
=lg
x
的图象向左平移一个单位,然后把
x
轴下
方的部分关于
x
轴对称到
上方,就得到
y
=|lg(
x+1)|的图象.]
12.A [∵
f
(
x
)是偶函数,
∴
f
(-
x
)=
f
(
x
), <
br>1+10
x
即lg(10+1)-
ax
=lg
x
-<
br>ax
=lg(10+1)-(
a
+1)
x
10
-
x
x
=lg(10+1)+
ax
,
1
∴
a
=-(
a
+1),∴
a
=-,又
g
(
x
)是奇函数,
2
∴
g
(-
x)=-
g
(
x
),
x
bb
1
-xx
即2-
-
x
=-2+
x
,∴
b
=
1,∴
a
+
b
=.]
222
13.4
解析 ∵
A
={-1,3,
m
},
B
={3,4},
B∩
A
=
B
,
∴
m
=4.
1
2
5
解析
令
x
=
t
,则
x
=
t
.
51
5
11
∴
f
(
t
)=lg
t
,∴
f
(2)=lg2.
55
15.
x
-2+1
解析
∵
f
(
x
)是R上的奇函数,∴当
x
>0时,
3
-
x
f
(
x
)=-
f
(-
x
)=
-[(-
x
)
3
+2
-
x
-1]=
x3
-2
-
x
+1.
16.
f
(
x
)=
x
解析 设
f
(
x
)=
x
,则有3=27,即3=
3
, 3
∴
n
=,即
f
(
x
)=
x
4
.
4
3
nn
3
4
4
n
34
17.解 (1)原式=
?
54
=+1+=4.
33
?
?
3
?
?
25
?
0
+(lg5)+<
br>?
??
?
?
9
?
?
?
?
4
?
1
2
1
3
?
3
?
?
?
?
(2)由方程log
3
(6-9)=3得
x
6-9=3=27,∴6=36=6,
∴
x
=2.
经检验,
x
=2是原方程的解.
18.解 设最佳售价为(50+
x
)元,最大利润为
y
元, x
3
x
2
y
=(50+
x
)(50-
x
)-(50-
x
)×40
=-
x
+40
x
+500.
当
x
=20时,
y
取得最大值,所以应定价为70元.
故此商品的最佳售价应为70元.
19.解 (1)函数有两个零点,则对应方程-3
x
+2
x
-
m
+1=0有两个根,易知
Δ
>0,
即
Δ
=4+12(1-
m
)>0,
444
可解得
m
<;
Δ
=0,可解得
m
=;
Δ
<0,可
解得
m
>.
333
4
故
m
<时,函数有两个零点;
3
2
2
m
=时,函数有一个零点;
m
>时,函数无零点.
(2)因为0是对应方程的根,有1-
m
=0,可解得
m
=1.
20.解 (1)
D
=(-∞,0)∪(0,+∞),
1
若
f
(
x
)=∈
M
,则存在非零实数
x
0
,
4
3
4
3
x
使得
2
11
=+1,
x
0
+1
x
0
即
x
0
+
x
0
+1=0,
1
因为此方程无实数解,所以函数
f
(<
br>x
)=?
M
.
x
(2)
D
=R,由
f
(
x
)=
kx
+
b
∈
M
,存
在实数
x
0
,使得
k
(
x
0
+1)+<
br>b
=
kx
0
+
b
+
k
+
b
,解得
b
=0,
所以,实数
k
和
b
的取
值范围是
k
∈R,
b
=0.
21.解 由
f
(2
a
+1)+
f
(4
a
-3)>0得
f
(2
a
+1)>-
f
(4
a
-3),
又
f<
br>(
x
)为奇函数,得-
f
(4
a
-3)=
f
(3-4
a
),
∴
f
(2
a
+1)><
br>f
(3-4
a
),
又
f
(
x
)是定义域[-2,2]上的减函数,
∴2≥3-4
a
>2
a
+1≥-2
a≥
1
?
2≥3-4
a
4
即
?
?
3-4
a
>2
a
+1
?
?
2
a
+1≥-2
?
?
∴
?
a
<
1
?
3
?
a
≥-
3
2
∴实数a
的取值范围为[
1
4
,
1
3
).
22.解 (1)当
a
=1时,由
x
-
2
x
=0,
x
2
+2
x
=0,
得零点为2,0,-2. <
br>(2)显然,函数
g
(
x
)=
x
-
21x
在[
2
,+∞)上递增,
且
g
(
1
2
)=-
7
2
; 函数
h
(
x
)=
x
2
+2
x
+
a
-1在[-1,
1
2
]上也递增,
且
h(
1
2
)=
a
+
1
4
.
故若函数
f
(
x
)在[-1,+∞)上为增函数,
则a
+
1
4
≤-
7
2
,∴
a
≤
-
15
4
.
故
a
的取值范围为(-∞,-
15
4
].
测试卷二
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.集合
A
={
0,2,
a
},
B
={1,
a
2
},若
A
∪
B
={0,1,2,4,16},则
a
的值为(
A.0
B.1
C.2 D.4
2.设函数
f
(
x
)
=,则
f
(
1
f
3
)的值为( )
)
A.
127
128
D.
127
B.-
128
1
16
1
C.
8
3.若函数
y
=
f
(
x
)的定义域是[0,2],则函数
g<
br>(
x
)=
A.[0,1]
2
f
2
x
的定义域是( )
x
-1
B.[0,1)
D.(0,1) C.[0,1)∪(1,4]
4.
已知
f
(
x
)=(
m
-1)
x
+3
mx
+3为偶函数,则
f
(
x
)在区间(-4,2)上为( )
A.增函数
B.减函数
C.先递增再递减
2
D.先递减再递增
0.3
5.三个数
a
=0.3,b
=log
2
0.3,
c
=2之间的大小关系是( )
A.
a
<
c
<
b
C.
b
<
a
<
c
B.
a
<
b
<
c
D.
b
<
c
<
a
6.若函数
f
(
x
)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2
)内,那么下列
命题中正确的是( )
A.函数
f
(
x
)在区间(0,1)内有零点
B.函数
f
(
x
)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C.函数
f
(
x
)在区间[2,16)内无零点
D.函数
f
(
x
)在区间(1,16)内无零点
7.已知
0<
a
<1,则方程
a
=|log
a
x
|的实根个
数是( )
A.2
C.4
B.3
D.与
a
值有关
|
x
|
8.函数
y=1+ln(
x
-1)(
x
>1)的反函数是( )
A.<
br>y
=e
C.
y
=e
x
+1
-1(
x
>0)
-1(
x
∈R)
2
B.
y
=e
D.
y
=e
x
-1
+1(
x
>0)
+1(
x
∈R)
x
+1
x<
br>-1
9.函数
f
(
x
)=
x
-2
a
x
+1有两个零点,且分别在(0,1)与(1,2)内,则实数
a
的取值范
围是( )
A.-1<
a
<1
5
C.1<
a
<
4
B.
a
<-1或
a
>1
5
D.-<
a
<-1
4
10.若一系列函数的解析式和值
域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函
数”,例如函数
y
=
x<
br>,
x
∈[1,2]与函数
y
=
x
,
x
∈[-2,-1]即为“同族函数”.请你找出
下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是(
)
A.
y
=
x
B.
y
=|
x
-3|
22
C.
y
=2
x
D.
y
=
log
1
x
2
11.下列4个函数中:
①
y
=2008
x
-1;
2 009-
x
②
y
=log
a
(
a
>0且
a
≠1);
2 009+
x
x
2 009
+
x
2
008
③
y
=;
x
+1
④
y
=
x
(
11
+)(
a
>0且
a
≠1).
a
-12
-
x
其中既不是奇函数,又不是偶函数的是( )
A.①
C.①③
B.②③
D.①④
11
12.设函数的集合
P
={<
br>f
(
x
)=log
2
(
x
+
a)+
b
|
a
=-,0,,1;
b
=-1,0,1},平
面上
22
11
点的集合
Q
={(
x
,
y<
br>)|
x
=-,0,,1;
y
=-1,0,1},则在同一直角坐标系中
,
P
中函数
22
f
(
x
)的图象恰好经过
Q
中两个点的函数的个数是( )
..
A.4
C.8
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
1
-4
13.计算:0.25×(-)+lg8+3lg5=________.
2
B.6
D.10
14.若规定=|
ad
-
b
c
|,则不等式<0的解集是____________.
15.已知关于
x
的函数
y
=log
a
(2-
ax
)在[0,1]上是减函
数,则
a
的取值范围是
________.
16.已知函数
f(
x
)是定义在R上的奇函数,当
x
>0时,
f
(x
)=1-2,则不等式
f
(
x
)<
1
-的解
集是______________.
2
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知函数
f
(
x
)=
log
1
(x?1)
的定义域为集合
A
,函数
g
(
x
)=<
br>3
2
m?2x?x
2
-
x
-1
的值域为集合
B
,且
A
∪
B
=
B
,求实数
m<
br>的取值范围.
18.(12分)已知
f
(
x
)=
证明你的结论.
19.(12分)若非零函数
f
(
x
)对任意实数
a
,
b
均有
f
(
a
+b
)=
f
(
a
)·
f
(
b
)
,且当
x
<0时,
x
+
a
是定义在[-1,1]上的奇函数
,试判断它的单调性,并
x
+
bx
+1
2
f
(x
)>1;
(1)求证:
f
(
x
)>0;
(2)求证:
f
(
x
)为减函数;
11
22(3)当
f
(4)=时,解不等式
f
(
x
+
x
-3)·
f
(5-
x
)≤.
164
20.(12分)我市有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不<
br>同.甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台
9
0元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从这两家中的一家租一张
球台开展活
动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.
(1)设在甲家租一张球台开展活动
x
小时的收费为
f
(
x
)元(15≤
x
≤40),在
乙家租一张球
台开展活动
x
小时的收费为
g
(
x
)
元(15≤
x
≤40),试求
f
(
x
)和
g
(
x
);
(2)选择哪家比较合算?为什么?
21.(12分)已知函数
y
=
f
(
x
)的定义域为
D
,且
f
(
x
)同时满足以下条件:
①
f
(
x
)在
D
上是单调递增或单调递减函数;
②存在闭区间[
a
,
b
]
D
(其中
a<
b
),使得当
x
∈[
a
,
b
]时,
f
(
x
)的取值集合也是[
a
,
b
].那
么,我们称函数
y
=
f
(
x
)(
x
∈D
)是闭函数.
(1)判断
f
(
x
)=-
x
是不是闭函数?若是,找出条件②中的区间;若不是,说明理由.
(2)若
f
(
x
)=
k
+
x
+2是闭函数,求实数
k
的取值范围.
(注:本题求解中涉及的函数单调性不用证明,直接指出是增函数还是减函数即可)
3
22.(12分)已知
f
(
x
)是定义在R上的奇函数,当
x
≥0时,
f
(
x
)=
a
-1.其中
a
>0且
x
a
≠1.
(1)求
f
(2)+
f
(-2)的值;
(2)求
f
(
x
)的解析式;
(3)解关于
x<
br>的不等式-1<
f
(
x
-1)<4,结果用集合或区间表示.
答案
1.D
[∵
A
∪
B
={0,1,2,
a
,
a
},
又∵
A
∪
B
={0,1,2,4,16},
∴
?
?
?
a
=4,
2
2
?
?
a
=16,
否则有
?
?
a
=16
?
?
?<
br>a
=4
2
即
a
=4.
矛盾.]
2
2.A [∵
f
(3)=3+3×3-2=16,
∴
11
=,
f
316
111
2
2127
)=
f
()=1-2×()=1-=.]
f
3161625612
8
∴
f
(
?
?
0≤2
x
≤2
3.
B [由题意得:
?
?
?
x
≠1
2
,∴0≤
x
<1.]
4.C [∵
f
(
x
)=(
m
-1)
x
+3
mx
+3是偶函数,
∴
m
=0,
f
(
x
)=-
x
+3,函数图象
是开口向下的抛物线,顶点坐标为(0,3),
f
(
x
)在
(-4,
2)上先增后减.]
5.C
[2>2=1=0.3>0.3>0=log
2
1>log
2
0.3.]
6.C [函数
f
(
x
)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故函
数
f
(
x
)在区间[2,16)内无零
点.]
7.A [
分别画出函数
y
=
a
与
y
=|log
a
x
|的图象,通过数形结合法,可知交点个数为
2.]
|
x
|
0.3002
2
8.D
[∵函数
y
=1+ln(
x
-1)(
x
>1),
∴ln(
x
-1)=
y
-1,
x
-1=e
2
y
-1
,
y
=e
x
-1
+1(
x
∈R).]
9.C
[∵
f
(
x
)=
x
-2
ax
+1,
∴
f
(
x
)的图象是开口向上的抛物线.
f
0>
0,
?
?
由题意得:
?
f
1<0,
?
?<
br>f
2>0.
10.B
1>0,
?
?
即<
br>?
1-2
a
+1<0,
?
?
4-4
a
+1>0,
5
解得1<
a
<.]
4
11.C
[其中①不过原点,则不可能为奇函数,而且也不可能为偶函数;③中定义域不
关于原点对称,则既不是
奇函数,又不是偶函数.]
11
12.B [当
a
=-,
f
(
x
)=log
2
(
x
-)+
b
,
22
1
∵
x
>,
2
∴此时至多经过
Q
中的一个点;
1
当
a
=0时,
f
(
x
)=log
2
x
经过(,-1)
,(1,0),
2
f
(
x
)=log
2
x
+1经过(,0),(1,1);
1
当
a
=1时,
f
(
x
)=log
2
(
x
+1)+1经过(-,0),(0,1
),
2
1
2
f
(
x
)=log
2
(
x
+1)-1经过(0,-1),(1,0);
111
当
a<
br>=时,
f
(
x
)=log
2
(
x
+
)经过(0,-1),(,0)
222
f
(
x
)=log
2
(
x
+)+1经过(0,0),(,1).]
13.7
解析
原式=0.25×2+lg8+lg5=(0.5×2)×2+lg(8×5)=4+lg1000=7.
14.(0,1)∪(1,2)
43223
1
2
1
2
?
1
解析
?
?
1
由log
2
1
?
x
?<
br>?
=|
x
-1|,
|
x
-1|<0,得0<|
x
-1|<1,
即0<
x
<2,且
x
≠1.
15.(1,2)
解析 依题意,
a
>0且
a
≠1,
∴2-
ax
在[0,1]上是减函数,
即当
x=1时,2-
ax
的值最小,又∵2-
ax
为真数,
?
?
a
>1
∴
?
?
?
2-
a
>0
,解得1<
a
<2.
16.(-∞,-1)
1
-
x
解析 当
x
>0时,由1-2<-,
2
1
x
3
()>,显然不成立.
22
当
x
<0时,-
x
>0.
因为该函数是奇函
数,所以
f
(
x
)=-
f
(-
x
)=2-
1.
1
xx
-1
由2-1<-,即2<2,得
x
<-1.
2
1
又因为
f
(0)=0<-不成立,
2
所以不等式的解集是(-∞,-1).
17.解 由题意得
A
=
{
x
|1<
x
≤2},
B
=(-1,-1+3
由<
br>A
∪
B
=
B
,得
A
?
B
,
即-1+3
所以
m
≥0.
18.解 ∵
f
(
x<
br>)=
1+
m
1+
m
x
].
≥2,即3
1+
m
≥3,
x
+
a
是定义在[-1,1]上的奇函数,
x
+
bx
+1
2
0+
a
∴
f
(0)=0,即
2
=0,
0+0+1
∴
a
=0.
-11
又∵
f
(-1)=-
f
(1),∴=-,
2-
b
2+
b
∴
b
=0,∴
f
(
x
)=
x
2
x
+1
.
∴函数
f
(
x
)在[-1,1]上为增函数.
证明如下:
任取-1≤
x
1
<
x
2
≤1,
∴
x
1
-
x
2
<0,-1<
x
1
x
2
<1,
∴1-
x
1
x
2
>0.
∴
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)=
x
1
2
1
x
+1
x
+1
-<
br>x
2
2
2
2
x
1
x
2<
br>2
+
x
1
-
x
1
x
2
-<
br>x
2
=
2
x
1
+1
x
2
2
+1
=
x
1
x
2
x
2<
br>-
x
1
+
x
1
-
x
2
x<
br>2
1
x
2
1
+
2
+1
=
x
1
-
x
2
1-
x
1
x
2
x
2
1
+1
x
2
<0,
2
+
1
∴
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
),
∴
f
(
x
)为[-1,1]上的增函数.
19.(1)证明
f
(
x
)=
f
(
xx
2
x
2
+
2
)=
f
(
2
)≥0,
又∵
f
(
x
)≠0,∴
f
(
x
)>0.
(2)证明 设
x
1
<
x
2
,
则
x
1
-
x
2
<0,
又∵
f
(
x
)为非零函数,
∴
f
(x
1
-
x
2
)=
fx
1
-
x
2
·
fx
2
fx
1
-
x
2
+
x
fx
=
2
2
fx
2
=<
br>fx
1
fx
>1,∴
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
),∴
f
(
x
)为减函
数.
2
(3)解 由
f
(4)=
f
2
(2)=<
br>11
16
,
f
(
x
)>0,得
f
(
2)=
4
.
原不等式转化为
f
(
x
2
+
x
-3+5-
x
2
)≤
f
(2),结合(2)得:
x
+2≥2,∴
x
≥0,
故不等式的解集为{
x
|
x
≥0}.
20.解 (1)<
br>f
(
x
)=5
x,
15≤
x
≤40;
g
(
x
)=
?
?
?
90, 15≤<
br>x
≤30
?
30+2
x
,30<
x
.
?
≤40
(2)①当15≤
x
≤30时,5
x<
br>=90,
x
=18,
即当15≤
x
<18时,
f<
br>(
x
)<
g
(
x
);
当
x
=18时,
f
(
x
)=
g
(
x
); <
br>当18<
x
≤30时,
f
(
x
)>
g
(
x
).
②当30<
x
≤40时,
f
(
x
)>
g
(
x
),
∴当15≤
x
<18时,选甲家比较合算;
当
x
=18时,两家一样合算;
当18<
x
≤40时,选乙家比较合算.
21.解 (1)
f(
x
)=-
x
3
在R上是减函数,满足①;
3
设存在区间[
a
,
b
],
f
(
x
)的取
值集合也是[
a
,
b
],则
?
?
?
-a
=
b
?
?
-
b
3
=
a
1,
所以存在区间[-1,1]满足②,
a
=-1,
b<
br>=,解得
所以
f
(
x
)=-
x
(
x
∈R)是闭函数.
(2)
f
(
x
)=k
+
x
+2是在[-2,+∞)上的增函数,
由题意知,
f<
br>(
x
)=
k
+
x
+2是闭函数,存在区间[
a
,
b
]满足②
3
即:
?
?
k
+
a
+2=
a
?
k
.
+
b
+2=
b
即
a
,
b
是方程
k
+
x
+2=
x
的两根,化简得,
a<
br>,
b
是方程
x
2
-(2
k
+1)
x
+
k
2
-2=0的两根.
且
a
≥
k
,
b
>
k
.
?
fk
≥0
令
f
(
x
)=
x
2<
br>-(2
k
+1)
x
+
k
2
-2,得
?
?
Δ
>0
?
?
2
k
+1
2>
k
解得-
9
4
<
k
≤-2,
所以实数
k
的取值范围为(-
9
4
,-2].
22.解 (1)∵
f
(
x
)是奇函数,
∴
f<
br>(-2)=-
f
(2),即
f
(2)+
f
(-2)=
0.
(2)当
x
<0时,-
x
>0,
∴
f
(-
x
)=
a
-
x
-1.
由
f
(
x
)是奇函数,有
f
(-
x
)=-
f
(
x
),
∵
f
(-
x
)=
a
-
x
-1,
∴
f
(
x
)=-
a
-
x
+1(<
br>x
<0).
x
∴所求的解析式为
f
(
x
)
=
?
?
?
a
-1
x
≥0
?
?
-
a
-
x
+1
x
<0
(3)
不等式等价于
?
?
?
x
-1<0
?
?
-1
<-
a
-
x
+1
+1<4
或
?
?
?
x
-1≥0
?
?
-1<
a
x
-1
-1<4
,
即
?
?
?
x
-1<0
?
-
x
.
?
-3<
a
+1
<2
或
?
?<
br>?
x
-1≥0
?
?
0<
a
x
-1<
br><5
当
a
>1时,有
?
?
?
x<
br><1
或
?
?
x
≥1
?
?
x
>1-log
a
2
?
?
,
?
x
<1+log
a
5
注意此时log
a
2>0,log
a
5>0,
,
.
可得此时不等式的解集为(1-log
a
2,1+log
a
5).
同理可得,当0<
a
<1时,不等式的解集为R.
综上所述,当
a
>1时,
不等式的解集为(1-log
a
2,1+log
a
5);
当0<
a
<1时,不等式的解集为R.
测试卷三
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设全集
U
是实数集R,
M
={
x
|
x
>4},
N
={
x
|
合是( )
A.{
x
|-2≤
x
<1}
C.{
x
|1<
x
≤2}
B.{
x
|-2≤
x
≤2}
D.{
x
|
x
<2}
2
2
≥1},则上图中阴影
部分所表示的集
x
-1
11
ab
2.设2=5=
m
,且+=2,则
m
等于( )
ab
A.10
C.20
B.10
D.100
3.设函数
f
(
x
)满足:①
y=
f
(
x
+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则
f
(-1)
与
f
(2)的大小关系是( )
A.
f
(-1)>
f
(2)
B.
f
(-1)<
f
(2)
D.无法确定
2
C.
f
(-1)=
f
(2)
x
4.若集合
A
={
y
|
y
=2,
x
∈R}
,
B
={
y
|
y
=
x
,
x
∈R},则( )
A.
A
?
B
C.
A
=
B
B.
AB
D.
A
∩
B
=?
5.某企业去年销售收入1000万元,
年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元
两部分.若年利润必须按
p
%纳
税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按
p
%纳税,其他不
纳税.已知该企业去
年共纳税120万元,则税率
p
%为( )
A.10%
C.25%
B.12%
D.40%
6.设
A.0
C.2
则
f
(
f
(2))的值为( )
B.1
D.3
7.定义运算:
a
*
b
=
A.R
如1*2=1,则函数f(x)
B.(0,+∞)
D.[1,+∞)
的值域为( )
C.(0,1]
8.若2lg(
x
-2
y
)=lg
x
+lg
y
,则log
2
等于
( )
A.2
C.0
B.2或0
D.-2或0
x
y
9.设函数
个数是( )
A.4
C.2
,
g
(
x
)=log
2
x
,则函数
h
(
x
)=
f
(
x
)-
g
(<
br>x
)的零点
B.3
D.1
2
10.在下列四图中,二次函
数
y
=
ax
+
bx
与指数函数
y
=()的
图象只可为( )
b
a
x
11.已知
f
(<
br>x
)=
a
x
-2
,
g
(
x
)=log
a
|
x
|(
a
>0且
a
≠1)
,若
f
(4)
g
(-4)<0,则
y
=
f
(
x
),
y
=
g
(
x
)在同一坐标系内的
大致图象是( )
12.设函数
f
(
x
)定义在实数
集上,
f
(2-
x
)=
f
(
x
),且当<
br>x
≥1时,
f
(
x
)=ln
x
,则有
( )
11
A.
f
()<
f
(2)<
f
() <
br>32
11
B.
f
()<
f
(2)<
f
()
23
11
C.
f
()<
f
()<
f
(2)
23
11
D.
f
(2)<
f
()<
f
()
23
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数
f
(
x
),
g
(
x
)分别由下表给出:
x
f
(
x
)
1
1
2
3
3
1
x
g
(
x
)
1
3
2
2
3
1
则不等式
f
[
g
(
x
)]>
g
[
f
(
x
)]的解为________.
11
x
2
?2x?4
14.已知
log
a
>0,若
a
≤,则实数
x
的取值范围为_____
_________.
2
a
15.直线
y
=1与曲线
y<
br>=
x
-
|
x
|
+
a
有四个交点,则
a
的取值范围为
2
________________.
16.已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.
x
1.5
3
5
6
8
9
lg
x
4
a
-2
b
+
c
2
a
-
b a
+
c
1+
a
-
b
-
c
3[1-(
a
+
c
)] 2(2
a
-
b
)
其中错误的对数值是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
1
x
17.(10分)已知函数
f
(
x
)=
lo
g
1
[()-1],
2
2
(1)求
f
(
x
)的定义域;
(2)讨论函数
f
(
x
)的增减性.
18.(12分)已知集合
A
={
x
∈R|<
br>ax
-3
x
+2=0,
a
∈R}.
(1)若
A
是空集,求
a
的取值范围;
(2)若
A
中只有一个元素,求
a
的值,并把这个元素写出来; <
br>2
(3)若
A
中至多只有一个元素,求
a
的取
值范围.
19.(12分)设函数
f
(
x
)=
ax
-1
,其中
a
∈R. x
+1
(1)若
a
=1,
f
(
x
)的
定义域为区间[0,3],求
f
(
x
)的最大值和最小值;
(2)
若
f
(
x
)的定义域为区间(0,+∞),求
a
的取值范围
,使
f
(
x
)在定义域内是单调减函
数.
20.(12分)关于
x
的二次方程
x
+(<
br>m
-1)
x
+1=0在区间[0,2]上有解,求实数
m
的取
值
范围.
21.(12分)
2
据气象中心观察和预测:发生于
M
地的沙尘暴一直向正南方向移
动,其移动速度
v
(kmh)
与时间
t
(h)的函数图象如图所示,
过线段
OC
上一点
T
(
t,
0)作横轴的垂线
l<
br>,梯形
OABC
在直
线
l
左侧部分的面积即为
t(h)内沙尘暴所经过的路程
s
(km).
(1)当
t
=4时,求
s
的值;
(2)将
s
随
t
变化的规律用数学关系式表示出来;
(3
)若
N
城位于
M
地正南方向,且距
M
地650km,试判断
这场沙尘暴是否会侵袭到
N
城,
如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到
N
城?如果不会,请说明理由.
22.(12分)已知函数
f
(
x
)的定义域
是{
x
|
x
≠0},对定义域内的任意
x
1
,x
2
都有
f
(
x
1
·
x
2<
br>)
=
f
(
x
1
)+
f
(
x
2
),且当
x
>1时,
f
(
x
)>0,<
br>f
(2)=1.
(1)证明:
f
(
x
)是偶函数;
(2)证明:
f
(
x
)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式
f
(2
x
-1)<2.
答案
1.C [题图中阴影部分可表示为(?
U
M
)∩
N
,集合
M
={
x
|
x
>2或
x
<-2},集合
N
=
{
x
|1<
x
≤3}
,由集合的运算,知(?
U
M
)∩
N
={
x
|1<
x
≤2}.]
2.A [由2=5=
m
得
a
=l
og
2
m
,
b
=log
5
m
,
11
∴+=log
m
2+log
m
5=log
m
1
0.
ab
2
ab
ab
11
2
∵+=2,∴log
m
10=2,∴
m
=10,
m
=10.]
3.A
[由
y
=
f
(
x
+1)是偶函数,得到
y
=
f
(
x
)的图象关于直线
x
=1对称,∴
f(-1)=
f
(3).
又
f
(
x
)在[1,+∞)上为单调增函数,
∴
f
(3)>
f
(2),即
f
(-1)>
f
(2).
]
4.A [∵
x
∈R,∴
y
=2>0,即
A
=
{
y
|
y
>0}.
又
B
={
y
|
y
=
x
,
x
∈R}={
y
|
y
≥0},
∴
A
?
B
.]
5.C
[利润300万元,纳税300·
p
%万元,
年广告费超出年销售收入2%的部分为
200-1000×2%=180(万元),
纳税180·
p
%万元,
共纳税300·
p
%+180·
p
%=120(万元),
∴
p
%=25%.]
2
x
6.C
[∵
f
(2)=log
3
(2-1)=log
3
3=1,
∴
f
(
f
(2))=
f
(1)=2e
7.
C
1-1
2
=2.]
?
?
2
x
≤0,
[由题意可知
f
(
x
)=
?<
br>-
x
?
2,
x
>0.
?
x
作出
f
(
x
)的图象(实线部分)如右图所示;
由图可知
f
(
x
)的值域为(0,1].]
8.A
[方法一 排除法.
由题意可知
x
>0,
y
>0,
x-2
y
>0,
∴
x
>2
y
,>2,∴log
2
>1.
方法二 直接法.
依题意,(
x
-2
y
)=
xy
,∴
x
-5
xy
+4
y
=0,
∴(x
-
y
)(
x
-4
y
)=0,∴
x<
br>=
y
或
x
=4
y
,
∵
x
-2
y
>0,
x
>0,
y
>0,∴
x
>2
y
,
∴
x
=
y
(舍去),∴=4,∴log
2
=2.]
9.B [当
x
≤1时,函数
f
(
x
)=4
x
-4与
g
(
x
)=log
2
x
的图象
有两个交点,可得
h
(
x
)有
两个零点,当
x
>1
时,函数
f
(
x
)=
x
-4
x
+3与g
(
x
)=log
2
x
的图象有1个交点,可得函数<
br>h
(
x
)
有1个零点,∴函数
h
(
x
)共有3个零点.]
10.C [∵>0,∴
a
,
b
同号.
若
a
,
b
为正,则从A、B中选.
又由
y
=
ax
+
bx
知对称轴
x
=-<0,∴B错,
2
a
但又∵
y
=
ax
+
bx
过原点,∴A
、D错.
若
a
,
b
为负,则C正确.]
11.B [据
题意由
f
(4)
g
(-4)=
a
×log
a
4<0,得0<
a
<1,因此指数函数
y
=
a
(0<a
<1)是
减函数,函数
f
(
x
)=
a
x
-2
2
2
2
2
222
x
y
x
y
x
y
x
y
b
a
b
x
的
图象是把
y
=
a
的图象向右平移2个单位得到的,而
y
=<
br>x
log
a
|
x
|(0<
a
<1)是偶函数
,当
x
>0时,
y
=log
a
|
x
|=l
og
a
x
是减函数.]
12.C [由
f
(2-
x
)=
f
(
x
)知
f
(
x
)的图
象关于直线
x
=
2-
x
+
x
=1对称,又当
x
≥1时,
2
f
(
x
)=ln
x
,所以
离对称轴
x
=1距离大的
x
的函数值大,
11
∵|2-1|>|-1|>|-1|,
32
11
∴
f
()<
f
()<
f
(2).]
23
13.
x
=2
解析 ∵
f
(
x)、
g
(
x
)的定义域都是{1,2,3},
∴当
x
=1时,
f
[
g
(1)]=
f
(3)=1,
g
[
f
(1)]=
g
(1)=3,不等式不成立;
当<
br>x
=2时,
f
[
g
(2)]=
f
(2)=3
,
g
[
f
(2)]=
g
(3)=1,此时不等式成立; <
br>当
x
=3时,
f
[
g
(3)]=
f
(1)=1,
g
[
f
(3)]=
g
(1)=3,
此时,不等式不成立.
因此不等式的解为
x
=2.
14.(-∞,-3]∪[1,+∞)
1
解析
由log
a
>0得0<
a
<1.
2
由
a
2
x
2
?2x?4
1
-1
x
2
?2x?4
≤得
a
≤
a
,
a
∴
x
+2x
-4≥-1,解得
x
≤-3或
x
≥1.
5
15.1<
a
<
4
?
?
x
-
x
+
a
,
x
≥0,
解析
y
=<
br>?
2
?
x
+
x
+
a
,
x<
br><0,
?
2
作出图象,如图所示.
11
此曲线与
y
轴交于(0,
a
)点,最小值为
a
-,要使
y
=1与其有四个交点,只需
a
-<1
44
<a
,
5
∴1<
a
<.
4
16.lg1.5
解析 ∵lg9=2lg3,适合,故二者不可能错误,同理:lg8=3lg2=3(1-lg5),
∴
lg8,lg5正确.
lg6=lg2+lg3=(1-lg5)+lg3=1-(
a
+
c
)+(2
a
-
b
)=1+
a-
b
-
c
,故lg6也正确.
1
x
17.解
(1)()-1>0,即
x
<0,
2
所以函数
f<
br>(
x
)定义域为{
x
|
x
<0}.
1x
(2)∵
y
=()-1是减函数,
f
(
x
)
=
log
1
x
是减函数,
2
2
?
?1
?
x
?
∴
f
(
x
)=
lo
g
1
?
??
?1
?
在(-∞,0)上是增函数.
?
2
?
?
?
2
?
?
?
?
a
≠0
18.解 (1)要使
A
为空集,方程应无实根,应满足
?<
br>?
Δ
<0
?
,
9
解得
a
>.
8
2
(2)当
a
=0时,方程为一次方程,有一解
x
=;
3
9
当
a
≠0,方程为一元二次方程,使集合
A
只有一个元素的条件是
Δ
=0,解得
a
=,
x
8
4
=.
3
294
∴
a
=0时,
A
={};
a
=时,
A
={}
.
383
(3)问题(3)包含了问题(1)、(2)的两种情况,
9
∴
a
=0或
a
≥.
8
19.解 f
(
x
)=
ax
-1
ax
+1-
a<
br>-1
a
+1
==
a
-,
x
+1
x
+1
x
+1
a
+1
a
+1
a
+1
-=
x
2
+1
x
1
+1
x
1+1
x
1
-
x
2
.
x
2
+
1
设
x
1
,
x
2
∈R,则
f
(<
br>x
1
)-
f
(
x
2
)=
(1)当<
br>a
=1时,
f
(
x
)=1-
则
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)=
2
,设0≤
x
1
<
x
2
≤3,
x
+1
2
x
1
-
x
2
,
x
1
+1
x
2
+1
又
x
1
-<
br>x
2
<0,
x
1
+1>0,
x
2
+
1>0,
∴
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)<0,∴
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
).
∴
f
(
x
)在[0,3]上是增函数,
21
∴<
br>f
(
x
)
max
=
f
(3)=1-=, <
br>42
f
(
x
)
min
=
f
(0)=
1-=-1.
(2)设
x
1
>
x
2
>0,则x
1
-
x
2
>0,
x
1
+1>0,<
br>x
2
+1>0.
若使
f
(
x
)在(0,+∞)上是减函数,
2
1
只要
f
(
x
1
)-
f
(<
br>x
2
)<0,
而
f
(
x
1
)-<
br>f
(
x
2
)=
a
+1
x
1
+1
x
1
-
x
2
,
x
2
+1<
br>∴当
a
+1<0,即
a
<-1时,有
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)<0,
∴
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
). ∴当
a
<-1时,
f
(
x
)在定义域(0,+∞)内是
单调减函数.
20.解 设
f
(
x
)=
x
+(<
br>m
-1)
x
+1,
x
∈[0,2].
2
f
(0)=1>0,
(1)当2是方程
x
+(
m
-1)
x
+1=0的解时,
3
则4+2(
m
-1)+1=0,∴
m
=-.
2
(2)当2不是方程
x
+(
m
-1)
x
+1=0的
解时,
①方程
f
(
x
)=0在(0,2)上有一个解时,则
f
(2)<0,
3
∴4+2(
m
-1)+1<0.∴
m
<-.
2
②方程
f
(
x
)=0在(0,2)上有两个解时,则 <
br>-4≥0,
?
?
m
-1
?
0<-
2
<2,
?
?
f
2=4+2
m
-1+1>0,
3∴-<
m
≤-1.
2
综合(1)(2),得
m
≤-1.
∴实数
m
的取值范围是(-∞,-1].
21.解
(1)由图象可知:当
t
=4时,
v
=3×4=12,
1
∴
s
=×4×12=24.
2
13
2
(2)当0≤
t
≤10时,
s
=·
t
·3
t
=
t
,
22
1
当10<
t
≤20时,
s
=×10×30+30(
t
-10)=30
t
-150;
2
11
2
当20<
t
≤35时,
s
=×10×3
0+10×30+(
t
-20)×30-×(
t
-20)×2(
t<
br>-20)=-
t
22
+70
t
-550.
2
2
Δ
=
m
-1
2
m
≥3或
m
≤-1,
?
?
-3<
m
<1,
∴
?
3
m
>-
?
?
2
.
3
?
?
2
t
,
t
∈[0,10],
综上可知
s
=
?
30
t
-15
0,
t
∈10,20],
?
?
-
t
+70
t
-550,
t
∈20,35].
2
2
3
2
(3)∵
t
∈[0,10]时,
s
max
=
×10=150<650.
2
t
∈(10,20]时,
s
max<
br>=30×20-150=450<650.
∴当
t
∈(20,35]时,令-
t
+70
t
-550=650.
解得
t
1
=30,
t
2
=40,∵20<
t
≤35,∴
t
=30,
所以沙尘暴发生30h后将侵袭到
N
城.
22.(1)证明 令
x
1
=
x
2
=1,得
f
(1)=2
f
(1),
∴
f
(1)=0.令
x
1
=
x
2
=-1,得
f
(-1)=0,
∴
f
(-<
br>x
)=
f
(-1·
x
)=
f
(-1)+f
(
x
)=
f
(
x
).
∴
f
(
x
)是偶函数.
(2)证明
设
x
2
>
x
1
>0,
则
f
(<
br>x
2
)-
f
(
x
1
)=
f
(
x
1
·)-
f
(
x
1
)
=<
br>f
(
x
1
)+
f
()-
f
(
x
1
)=
f
(),
∵
x
2
>
x
1
>0,∴>1.
∴
f
()>0,即
f
(
x
2
)-
f
(x
1
)>0.
∴
f
(
x
2
)>f
(
x
1
).
∴
f
(
x
)在(0,+∞)上是增函数.
(3)解 ∵<
br>f
(2)=1,∴
f
(4)=
f
(2)+
f
(2)=2.
又∵
f
(
x
)是偶函数,
∴不等式
f
(2
x
-1)<2可化为
f
(|2
x
-1|)
<
f
(4).
又∵函数
f
(
x
)在(0,+∞)
上是增函数,∴|2
x
-1|<4.
解得-
1010
<
x
<,
22
1010
,).
22
2
22
2
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
即
不等式的解集为(-
我认可的高中数学教学方式-高中数学必修四弧度制课件
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-
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