高中数学教师常用教学软件-写给高中数学老师的评语
2008届高三文科数学第二轮复习资料
——《解析几何》专题
1
.
已知动圆过定点
?
1,0
?
,且与直线
x??1
相切.
(1) 求动圆的圆心轨迹
C
的方程;
(2) 是否存在直线l
,使
l
过点(0,1),并与轨迹
C
交于
P,Q两点,且满足
OP?OQ?0
?若存在,
求出直线
l
的方程;若
不存在,说明理由.
x
2
y
2
2
.如图,设
F
1
、
F
2
分别为椭圆
C
:<
br>2
?
2
?1
(
a?b?0
)的左、右焦点.
ab
(Ⅰ)设椭圆C上的点
A(1,)
到F
1
、F
2
两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和离心率;
(Ⅱ)设点K是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点,求线段
F
1
K
的中点的轨迹方程
.
3.已知圆C:
x
2
+y
2
-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的
直线L,使以L 被圆C截得弦AB为直径的圆
经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说
明理由
3
2
y
A
F
1
O
F
2
x
4.已知圆
C
:
x
2
?y
2
?4
.
(1)直线
l
过点
P
?
1,2
?
,且与圆
C
交于
A<
br>、
B
两点,若
|AB|?23
,求直线
l
的方程;
(2)过圆
C
上一动点
M
作平行于
x
轴的直线m
,设
m
与
y
轴的交点为
N
,若向量
OQ?OM?ON
,
求动点
Q
的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
5.如图,已知圆A的半径是2,圆外一定点N与圆A
上的点的最短距离为6,过动点P作A的切线PM
(M为切点),连结PN使得PM:PN=
2
,试建立适当
的坐标系,求动点P的轨迹
P
M
A
N
6.已知三点P(5,2)、
F
1
(-6,0)、
F2
(6,0).
(Ⅰ)求以
F
1
、
F
2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点P、
F
1
、
F
2
关于直线y=x的对称点分别为
P
?
、
F
1'
、
F
2
'
,求以
F
1
'
、
F
2
'
为焦点且过点
P
?
的
双曲线的标准
方程.
7.某运输公司接受了向抗洪抢险地区
每天至少运送180吨支援物资的任务,该公司有8辆载重为6吨的
A
型卡车与4辆
载重为10吨的
B
型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返次数为
A
型卡
车4次,
B
型
卡车3次,每辆卡车每天往返的成本费用为
A
型卡车3
20元,
B
型卡车504元,请你给该公司调配车辆,
使公司所花的成本费用最低.
8.曲线
x?y?x?
6y?3?0
上两点P、Q满足:①关于直线
kx?y?4?0
对称;②
OP
?OQ
.求直
线PQ的方程.
9.两类药片有效成分如下表
成分
药品
A(1片)
B(1片)
阿斯匹林
(
mg
)
2
1
小苏打
(
mg
)
5
7
可待因
(
mg
)
1
6
每片价格
(元)
0.1
0.2
22
若要求提供12
mg
阿斯匹林,70
mg
小苏打,28
mg
可待因,两类药片的最小总数是多少?在最小总数情况下的两类药片怎样搭配价格最低?
参考答案
1.解:(1)如图,设
M
为动圆圆心,
F
?
1,0
?
,过点
M
作直
N
M
线
x??1
的垂
x
A
x??1
o
F
?
1,0
?
线,垂足为
N
,由题意知:
MF?MN
,
即动点
M
到定点
F
与定直线x??1
的距离相等,由
抛物线的定义知,点
M
的轨迹为抛物线,其中
F
?
1,0
?
为焦点,
x??1
为准线,
∴
动点
R
的轨迹方程为
y?4x
.
(2)由题可设直线
l
的方程为
x?k(y?1)(k?0)
, <
br>2
?
x?k(y?1)
2
由
?
2
得
y?4ky?4k?0
?
y?4x
△
?16k?16?0
,
k??1或k?1
.
设
P(x<
br>1
,y
1
)
,
Q(x
2
,y
2)
,则
y
1
?y
2
?4k
,
y
1
y
2
?4k
.
由
OP?OQ?0
,即
OP?
?
x
1
,y
1
?
,
OQ?
?
x
2
,y
2
?
,于是
x
1x
2
?y
1
y
2
?0
,
222<
br>即
k
2
?
y
1
?1
??
y
2
?1
?
?y
1
y
2
?0
,
(k
?1)y
1
y
2
?k(y
1
?y
2
)?k
?0
,
2
?k
4k(k?1)
222
4k?k?
,解得
0
,
k??4
或
k?0
(舍去)
又
k??4??1
,
∴ 直线
l
存在,其方程为
x?4y?4?0
2.解:(Ⅰ)
2a?4
,
19
??1
.
22
a4b
a?4
,
b?3
.
2
2
y
A
x
2
y
2
??1
,
椭圆的方程为
43
因为
c?a?b?1
.
所以离心率
e?
222
F
1
O
F
2
x
1
.
2
(Ⅱ)设
KF
1
的中点为
M(x,y)
,则点
K(2x?1,2y)
.
(2x?1)
2
(2y)
2
??1
.
又点K在椭圆上,则
KF
1
中点的轨迹方程为
43
3.解
:设直线L的斜率为1,且L的方程为y=x+b,则
?
?
y?x?b
?x?y?2x?4y?4?0
22
消元得方程
2x
2
+(2
b+2)x+b
2
+4b-4=0,设此方程两根为x
1
,x
2,则x
1
+x
2
=-(b+1),y
1
+y
2
= x
1
+x
2
+2b=b-1,
则AB
中点为
?
?
?
b?1b?1
?
2
2
,?
,又弦长为
k?1x
1
?x
2
=
2
?
?b?6b?9
?
,由题意可列式
22
??
2
?
2
?
?b
2
?6b?9
?
?
?
b
?1
??
b?1
?
??
解得b=1或b=-9,经检验b=-9不合
题意.所以所求直线
??
?
??
=
??
2
?
2
??
2
?
??
??
22
方程为y=x+1.
4.解(Ⅰ)①当直线
l
垂直于
x
轴时,则此时直线方程
为
x?1
,
l
与圆的两个交点坐标为
1,3
和
1,
?3
,
其距离为
23
,满足题意
②若直线
l
不垂直于
x
轴,设其方程为
y?2?k
?
x?1
?
,即
kx?y?k?2?0
设圆
心到此直线的距离为
d
,则
23?24?d
2
,得
d?1<
br>
∴
1?
????
|?k?2|
k
2
?1
,
k?
3
,
4
故所求直线方程为
3x?4y?5?0
综上所述,所求直线为
3x?4y?5?0
或
x?1
(Ⅱ)设点
M
的坐标为
?
x
0
,y
0?
,
Q
点坐标为
?
x,y
?
则
N
点坐标是
?
0,y
0
?
∵
OQ?OM?ON
,
∴
?
x,y
?
?
?
x
0
,2y
0
?
即
x
0<
br>?x
,
2
0
2
0
y
0
?
y
2
y
2
?4
又∵
x?y?4
,∴
x?
4
2
由已知,直线m
ox轴,所以,
y?0
,
y
2
x
2
??1(y?0)
,
∴
Q
点的轨迹方程是
164
轨迹是焦点坐标为
F
1
(0,?23),F
2
(0,23)
,长轴为8的椭圆,并去掉
(?2,0)
两点.
5.解:以AN所在直线为x轴,AN的中垂
线为y轴建立平面直角坐标系如图所示,
则A(-4,0),N(4,0),设P(x,y)
由|PM|:|PN|=
2
,|PM|
2
=|PA|
2
–|MA|
2
得:
M
A
P
N
2|PN|
2
?|PA|
2?4
2222
代入坐标得:
2
?
?
(x?4)?y
?
?
?(x
?4)?y?4
整理得:
x
2
?y
2
?24x?20?0
即
(x?12)
2
?y
2
?124
所以动点P的轨迹是以点
(12,0)为圆心,
以231为半径的圆
. x
2
y
2
6.解:(I)由题意,可设所求椭圆的标准方程为
2
+
2
?1
(a?b?0)
,其半焦距
c?6
. <
br>a
b
2a?|PF
1
|?|PF
2
|
?11
2
?2
2
?1
2
?2
2
?65
,
∴
a?
35
,
x
2
y
2
?1
;
b?a?c?45?36?9
,故所求椭圆的标准方程为+
45
9
2
22
(II)点P(5,2)、
F
1
(-6,0)、
F
2<
br>(6,0)关于直线y=x的对称点分别为:
、
F
2
'
(0,6)
P
?
(2,5)<
br>、
F
1
'
(0,-6)
设所求双曲线的标准方程为
x
2
a
1
2
-
y
2
b
1
2
?1
(a
1
?0,b
1
?0)
,由题意知半焦距<
br>c
1
?6
,
2a
1
?|P'F
1
'|?|P'F
2
'|
?11
2
?2
2
?1
2
?2
2
?45
,
∴
a
1
?
25
,
b
1
?c
1<
br>?a
1
222
y
2
x
2
?36?20?16
,故所求双曲线的标准方程为
?1
. -
2016
点评:本题主要考
查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力
7.解:该公司调8辆A型车,成本最低.
8.解:
?圆上两点P、Q关于直线kx?y?4?0对称,
11
?直线kx?y?4?0经过圆心(?,3),即有k(??)?3?4?0,?k?2,
22
1
设直线PQ方程为y??x?t,P(x
1
,y
1),Q(x
2
,y
2
),
2
1
?
5
?
y??x?t,
由
?
消y得x
2
?
(4?t)x?t
2
?6t?3?0
.
2
4
?
x
2
?y
2
?x?6y?3?0,
?
(44?t)(4t2
?6t?3)
?x
1
?x
2
?,x
1
x
2
?,
55
?OP?OQ,?
y
1
y
2
???1即x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
x
1
x
2
1111
?
y
1
??x
1
?t,y
2
??x
2
?t
,?x
1
x
2
?(?x
1
?t)(?x
2
?t)?
0
2222
515(4t
2
?6t?3)1(4
4?t)
22
即x
1
x
2
?t(x
1
?x
2
)?t?0,???t?t?0,
424525
35
或t?
24
1315
?直线P
Q方程为y??x?或y??x?即x?2y?3?0或2x?4y?5?0
.
2224
化简得
8t?22t?15?0,?t?
2
9.解:设A类药x片,B类药y片,
?
2x?y?12,
?
5x
?7y?70,
?
?
由题意
?
x?6y?28,
?x、y
满足的可行域如图
?
x?0且x?N,
?
??
y?0且y?N,
两类药片的最小总数
z?x?y
由图象可知,最小总数应在B点附近可行域内的整点处取得.
y
12
10
14
B
3
O
6
A
14
28 x
14
?
x?,
?
?
2x
?y?12,
1480
?
9
??B(,)
??
5
x?7y?70,80
99
?
?
y?,
?
9
?在B点附近可行域内的整点有C(1,10),D(2,9),E(3,8),F(4,8).
?
两类药片的最小总数是11片.
xy
?
,
?x?y?11(x?1,2,3)
105xyx11?x22?x19
?w?????
,
?当x?3时有最小值元
,
1051051010
设在最小总数情况下的两类药片总价格
w?
即用A
类3片B类8片可使价格最低.
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