高中数学论文 范文-高中数学教学课题题目
解析几何解答题
x
2
y
2
1、椭圆G:
2
?
2
?1(a?b?0)
的两个焦点为F
1
、F
2
,短轴两端点B
1
、B
2
,已知
ab
F
1
、F
2
、B
1
、B
2
四点共圆,且点N(0,3
)到椭圆上的点最远距离为
52.
(1)求此时椭圆G的方程;
(2)设斜率为k(k≠0)的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关
于
过点P(0,
2、已知双曲线
x
2
?y
2
?1
的左、右顶点分别
为
A
1
、A
2
,动直线
l:y?kx?m
与圆x
2
?y
2
?1
相切,且与双曲
线左、右两支的交点分
别为
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
.
(Ⅰ)求
k
的取
值范围,并求
x
2
?x
1
的最小值;
(Ⅱ)记直线
PA
11
的斜率为
k
1
,直线
P
2
A<
br>2
的斜率为
k
2
,那么,
k
1
?k
2
是定值吗?证明你的结论.
1
3
)、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.
3
3、已知抛物线
C:y
2
?ax
的焦点为F,点
K(
?1,0)
为直线
l
与抛物线
C
准线的交点,直线
l
与抛物线
C
相交于
A
、
B
两点,点A关于
x轴的对称点为D .
(1)求抛物线
C
的方程。
(2)证明:点
F
在直线
BD
上;
????????8
(3)设
FA?FB?
,求
?BDK
的面积。.
9
4、已知椭圆
的中心在坐标原点
O
,焦点在
x
轴上,离心率为
中点
T在直线
OP
上,且
A、O、B
三点不共线.
(I)求椭圆的方程及直线
AB
的斜率;
(Ⅱ)求
?PAB
面积的最大值.
1
,点
P
(2,3)、
A、B
在该椭圆上,线段
AB
的
2
2
<
br>x
2
y
2
2
5、设椭圆
2
?
2?1(a?b?0)
的焦点分别为
F
1
(?1,0)
、
F
2
(1,0)
,直线
l
:
x?a
ab
?????????
交
x
轴于点
A
,且
AF
.
1
?2AF
2
(Ⅰ)试求椭圆的方程;
(Ⅱ)过
F
1
、(如图所示),若四边形
DMEN
F
2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于
D
、
E
、
M
、
N
四点
的面积为
27
,求
DE
的直线方程.
7
6、已知抛物线P:x
2
=2py (p>0).
(Ⅰ)若抛物线上点
M(m,2)
到焦点F的距离为
3
.
(ⅰ)求抛物线
P
的方程;
(ⅱ)设抛物线
P
的准线与y
轴的交点为E,过E作抛物线
P
的切线,求此切线方程;
(Ⅱ)设过焦点F的动直线
l交抛物线于A,B两点,连接
AO
,
BO
并延长分别交抛物线的准线于C,
D
两点,求证:以CD为直径的圆过焦点F.
3
7、在平面直角坐标系
xOy
中,设点
P(x,y),M(x,?4)
,以线段
PM
为直径的圆经过原点
O
.
(Ⅰ)求动点
P
的轨迹
W
的方程;
(Ⅱ)过点E(0,?4)
的直线
l
与轨迹
W
交于两点
A,B,点
A
关于
y
轴的对称点为
A'
,试判断直线
A'B
是否恒
过一定点,并证明你的结论.
x
2
y
2
22
8、已知椭圆
M:
2
?
2
?1
(a?b?0)
的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形<
br>ab
3
周长为
6?42
.
(Ⅰ)求椭圆
M
的方程;
(Ⅱ)设直线
l
与椭圆
M
交于
A,B
两点,且以
AB
为直径的圆过椭圆的右顶点
C
,
求
?ABC
面积的最大值.
4
9、过抛物线C:
y
2
?2px(p?0)上一点
M(
2
,p)
作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B
两点。
(1)求证:直线AB的斜率为定值;
(2)已知
A,B
两点均在
抛物线
C
:
y
2
?2px
?
y?0
?上,若△
MAB
的面积的最大值为6,求抛物线的方程。
p
x
2
y
2
1
0、已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左焦点
F(?c
,0)
是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右
ab
顶点,过点F且不与
y轴垂直的直线
l
交椭圆于C、D两点,记直线AD、BC的斜率分别为
k
1
,k
2
.
(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线l?x
轴时,求
k
1
:k
2
的值;
(2)求
k
1
:k
2
的值。
5
2
x
2
y
2
11、
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的
离心率为,其焦点在圆x
2
+y
2
=1上.
2
ab
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使
????????
?????
OM?cos
?
OA?sin
?
OB
.
(i)求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;
(ii)求OA
2
+OB
2
.
12、已知圆
M:(x?3)?y?
22
2
251
的圆心为M,圆N:(x?3)
2
?y
2
?
的圆心为
N
,一动圆与圆
M
内
1616
切,与圆
N
外切。
(Ⅰ)求动圆圆心
P
的轨迹方程;
(Ⅱ)(Ⅰ)中轨迹上是否存
在一点
Q
,使得
?MQN
为钝角?若存在,求出
Q
点横坐标
的取值范围;若不存在,
说明理由.
6
x
2
?y
2
?1(a?0)
的右焦点,点
M
(m,0)
、
N(0,n)
分别是
x
轴、
y
轴上的
动点,13、已知点
F
是椭圆
2
1?a
且满足
MN?NF?
0
.若点
P
满足
OM?2ON?PO
.
(Ⅰ)求点
P
的轨迹
C
的方程;
OB
与直线x??a
分别交于点
S
、
T
(
O
(Ⅱ)设过点
F
任作一直线与点
P
的轨迹交于
A
、
B
两
点,直线
OA
、
????????
为坐标原点),试判断
FS?FT
是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
14、在平面
直角坐标系
xOy
中,已知圆B:
(x?1)
2
?y
2?16
与点
A(?1,0)
,P为圆B上的动点,线段PA的垂直
平分线
交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线C。
(1)求曲线C的方程;
(2)
曲线C与
x
轴正半轴交点记为Q,过原点O且不与
x
轴重合的直线与曲线C的
交点记为M,N,连结
QM,QN,分别交直线
x?t(t
为常数,且
x?2
)于点E,F,设E,F的纵坐标分别为
y
1
,y
2
,求<
br>y
1
?y
2
的
值(用
t
表示)。
7
答案:
1、解:(1)根据椭圆的几何性质,线段F
1
F
2
与线段B
1
B
2
互相垂直平分,故椭圆中心即
为该四点外接圆的圆心
…………………1分
故该椭圆中
a?2b?2c,
即椭圆方程可为
x
2
?2y
2
?2b
2
………3分
设H(x,y)为椭圆上一点,则
|HN|
2
?x
2
?(
y?3)
2
??(y?3)
2
?2b
2
?18,其中?b?
y?b
…………… 4分
若
0?b?3
,则
y??b时,|HN|
2
有最大值
b?6b?9
2
2
…………………5分
由
b?6b?9?50得b??3?52
(舍去)(或b+3b+9<27,故无解)…………… 6分
若
b?3,当y??
3时,|HN|
2
有最大值2b
2
?18
…………………7分
2
x
2
y
2
??1
…………………
8分 由
2b?18?50得b?16
∴所求椭圆方程为
3216
22
?
x
1
2
y
1
2
??1
?
?<
br>3216
(1) 设
E(x
1
,y
1
),F(x2
,y
2
),Q(x
0
,y
0
)
,则
由
?
两式相减得
22
?
x
2
?
y
2
?1
?
?
3216
x
0
?2ky
0
?0
……③又直线PQ⊥直线m
∴直线PQ方程为
y?
13
x?
k3
将点Q(
x
0
,y
0
)代入上式得,
y
0
??
13<
br>……④…………………11分
x
0
?
k3
由③④得Q(233
)…………………12分
k,?
33
22
x
0
y
0
??1
, 而Q点必在椭圆内部
?
3216
由此得
k?
2
479494
,故当
,又k?0,???k?0或0
?k?
222
k?(?
9494
,0)?(0,)
22
时,E、F两点关于点P、Q的直线对称 14分
2、解:(Ⅰ)
?l
与圆相切,
?1?
m
1?k
2
?m?1?k
……①
22
由
?
?
y?kx?m
222
, 得
(1?k)x?2mkx?(m?1)?0
,
22
?
x?y?1
8
?
?
1?k
2
?0
?
?
?
?
??4m
2
k<
br>2
?4(1?k
2
)(m
2
?1)?4(m
2
?1?k
2
)?8?0
,
?
2
m
?
x
1
?x
2
?
2
?1
?0
?
k?
1
?
?k
2
?1,
??1?k?1
,故
k
的取值范围为
(?1,1)
.
由于
x
1
?x
2<
br>?
2mk2222
2
22
?x?x?(x?x)?4xx??
?0?k?1k?0
时,
x
2
?x
1
,
当
?
211212
22
2
1?k1?k
1?k
取最小值
22
.
6分
(Ⅱ)由已知可得
A
1
,A
2
的坐标分别为
(?1,0),(1,0)
,
?k
1
?
y
1
yy
1
y
2
(kx?m)(kx
2
?m)
,k
2
?
2
,
?k
1
?k
2
??
1
x
1?1x
2
?1(x
1
?1)(x
2
?1)(x
1
?1)(x
2
?1)
2
m
2
?12mk
k?
2
?mk?
2
?m
2
22
kx
1x
2
?mk(x
1
?x
2
)?m
k?1k?1
?
?
2
x
1
x
2
?(x
2
?x
1
)?1
m?122
??1
k
2
?1k
2
?1
m
2
k
2
?k
2
?
2m
2
k
2
?m
2
k
2
?m
2<
br>k
2
?m
2
,
??
2222
m?1?22?k?1m?k?2?22
由①,得
m?k?1
,
?k
1
?k
2
?
3、解:(1)
y?4x
设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)<
br>,
D(x
1
,?y
1
)
,
l
的方程
为
x?my?1(m?0)
.
(2)将
x?my?1
代人
y?4x
并整理得
y?4my?4?0
,
从而
y
1
?y
2
?4m,y
1
y
2
?4.
直线
BD
的方程为
y?y
2
?
22
2
22
?1
??(3?22)
为定值. 12分
3?22
y
2
?y
1
?(x?x
2
),
x
2
?x
1
2
yy
y
2
4
即
y?y
2<
br>??(x?)
令
y?0,得x?
12
?1.
4
y
2
?y
1
4
所以点
F(1,0)
在直线
BD
上
(3)由①知,
x
1
?x
2
?(my
1
?1)?(my
2
?1)?4m
2
?2
9
uuruur
x
1
x
2
?(my
1
?1)(my
2
?1
)?1.
因为
FA?(x
1
?1,y
1
),FB?(
x
2
?1,y
2
)
,
uuruur
FA?FB?
(x
1
?1)(x
2
?1)?y
1
y
2
?
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1?4?8
?4m
2
故
8?4m?
2
4
8
,解得
m??
<
br>3
9
所以
l
的方程为
3x?4y?3?0,3x?4y?3?
0
又由①知
y
1
?y
2
?4m?
16
111616
故
S
?
?KF?y
1
?y
2
??2??
2233
3
x
2
y
2
4、解:(I)设椭圆的方程
为
2
?
2
?1(a?b?0)
,
ab
?
a
2
?b
2
1
?
?
?
a2
,得<
br>a
2
?16
,
b
2
?12
. 则
?
?
4
?
9
?1
?
?
a
2
b
2
x
2
y
2
??1
.…………………3分 所以
椭圆的方程为
1612
设直线AB的方程为
y?kx?t
(依题意可知直线的
斜率存在),
?
x
2
y
2
?1
?
?设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则由
?
1612
,得
?
y?kx?t?
?
3?4k
?
x
22
?8ktx?4t
2<
br>?48?0
,由
??0
,得
b
2
?12?16k2
,
8kt
?
x?x??
12
?
?
3?4k
2
,设
T
?
x
0
,y
0
?
?
2
?
xx?
4t?48
12
?3?4k
2
?
x
0
??
4kt3t
,y?,易知
x
0
?0
0
3?4k
2
3?
4k
2
,
1
y
0
3
?
,即
k??
,
2
x
0
2
由OT与OP斜率相等可得
1
x
2
y
2
??1
,直线AB的斜率为
?
.………
……………6分 所以椭圆的方程为
2
1612
(II)设直线AB的方程为
y??
1
x?t
,即
x?2y?2t?0
,
2
10
1
?
y??x?t,
?
?
2
由
?
2
2
?
x
?
y
?
1.
?
?
1612
得
x?tx?t?12?0
,
22
??t
2
?4(t
2
?12)?0
,
?4?t
?4
.………………8分
?
x
1
?x
2
?t,<
br>515
2222
..
|AB|?(1?k)[(x?x)?4xx]?(48
?3t)?16?t
?
1212
2
42
?
x
1?x
2
?t?12.
点P到直线AB的距离为
d?
于是
?PAB
的面积为
|8?2t|
5
.
S
?PAB?
1|8?2t|151
???16?t
2
?(4?t)
3?(12?3t)
……………………10分
222
5
设
f(t
)?(4?t)
3
(12?3t)
,
f'(t)??12(t?4)
2
(t?2)
,其中
?4?t?4
.
在区间
(?2,4)
内,
f'(t)?0
,
f(t)
是减函数;在区间
(?4,
?2)
内,
f'(t)?0
,
f(t)
是增函数.所以
f(
t)
的最
大值为
f(?2)?6
4
.于是
S
?PA
B
的最大值为18.…………………12分
?????
2
5、解:(Ⅰ)由
题意,
|FF
12
|?2c?2,?A(a,0)
-------1分
?????????
?
AF
为
F
1
的中点------------2分
1
?2AF
2
?
2
AF
?a
2
?3,b
2
?2
x
2
y
2
??1.
------------3分
即:椭圆方程为
32
b
2
4
(Ⅱ)当直线
DE
与
x
轴垂直时,
|DE|?2
,此时
|MN|?2a?23
,
?
a
3
|DE|?|MN|
?4
不符合题意故舍掉;
------------4分 四边形
DMEN
的面积
S?
2
同理
当
MN
与
x
轴垂直时,也有四边形
DMEN
的面积
------------5分
当直线,
MN
均与
x
轴不垂直时
,设
DE
:
y?k(x?1)
,
代入消去
不符合题意故舍掉;
y
得:
(2?3k
2
)x
2
?6k
2
x?(3k
2
?6)?0. ------------6分
?
?6k
2
x?x
2
?,
?
2
?
1
2?3k
------------7分设
D(x
1
,y
1
),E(x
2
,y
2
),则
?
2
?
xx?
3k?6
,
12
?
2?3k
2
?
11
43?k
2
?1
所以
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
, ------------8分
2
3k?2
43(k
2
?1)
2
所以
|DE|?k?1|x
1
?x
2
|?
,
------------9分
2
2?3k
11
43[(?)
2<
br>?1]43(
2
?1)
kk
同理
|MN|?
---
---------11分
?.
1
2
3
2?3(?)2?
2
kk
1
1
2
24(k??2)
43(?1)
2
2
|DE|?|MN|143(k
2
?1)
k
k
所以四边形的面积
S?
?
???2
1
3
22
2?3k
6(k
2
?
2<
br>)?13
2?
2
k
k
27
?k
2
?2?k??2
,
------------12分 由
S?
7
所以直线
l
DE
:2x?y?2?0
或
l
DE
:2x?y?2?0
2<
br>或
l
DE
:2x?2y?2?0
或
l
DE
:
2x?2y?2?0
---------13分
6、解:(Ⅰ)(ⅰ)
由抛物线定义可知,抛物线上点
M(m,2)
到焦点
F
的距离与到准线距离相
等,即
M(m,2)
到
y??
∴
?
p
的距离为3;
2
p
?2?3
,解得
p?2
.
2
2
∴ 抛物线
P
的方程为
x?4y
.
4分
(ⅱ)抛物线焦点
F(0,1)
,抛物线准线与y轴交点为
E(0,?
1)
,
显然过点
E
的抛物线的切线斜率存在,设为
k
,切
线方程为
y?kx?1
.
?
x
2
?4y
2
由
?
,
消y得
x?4kx?4?0
, 6分
?
y?kx?1
??16k
2
?16?0
,解得
k
??1
. 7分
∴切线方程为
y??x?1
.
8分
(Ⅱ)直线
l
的斜率显然存在,设
l
:
y?kx?<
br>设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2<
br>,y
2
)
,
p
,
2
?
x
2
?2py
?
22
由
?
p
消y得
x?2pkx?p?0
. 且
??0
.
?
y?kx?
?2
∴
x
1
?x
2
?2pk
,
x
1
?x
2
??p
2
;
12
∵
A(x
1
,y
1
)
, ∴
直线
OA
:
y?
y
1
x
,
x
1
与
y??
p
pxpx
pp
联立可得<
br>C(?
1
,?)
,
同理得
D(?
2
,?)
. 10分
2
2y
1
22y
2
2
p
)
,
2
∵
焦点
F(0,
????????
px
1
px
∴
FC?(?,?p)
,
FD?(?
2
,?p)
,
12分
2y
1
2y
2
????????
px
1<
br>px
2
px
1
px
2
p
2
x
1
x
2
2
∴
FC?FD?(?,?p)?(?,?p)
??p??p
2
2y<
br>1
2y
2
2y
1
2y
2
4y
1y
2
p
2
x
1
x
2
p
4p
4
222
??p??p??p?0
22
2
xx
x
1
x
2
?p
4
12
2p2p
∴ 以
CD
为直径的圆过焦点
F
.
14分
7、解:(I)由题意可得
OP?OM
,
2分
?????????
所以
OP?OM?0
,即
(x,y)(x
,?4)?0
4分
即
x?4y?0<
br>,即动点
P
的轨迹
W
的方程为
x?4y
5分
(II)设直线
l
的方程为
y?kx?4
,
A(x<
br>1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,
则
A'(?x
1
,y
1
)
.
22
?y?kx?4
2
由
?
2
消
y
整理得
x
?4kx?16?0
, 6分
?
x?4y
则
??16k?64?0
,即
|k|?2
.
7分
2
x
1
?x
2
?4k,x
1
x2
?16
.
9分
直线
A'B:y?y
2
?
y
2
?y
1
(x?x
2
)
x
2
?x
1
?
y?
y
2
?y
1
(x?x
2
)?y
2x
2
?x
1
12分
2
x
2
2
?x
1
2
1
?y?(x?x
2
)?x
2
2
4(x
1
?x
2
)4x
2
?x
1
x?x
1
x
2
1
x??x
2
444
x?xxx
?
y?
21
x?
12
44
?y?
2
2
13
即
y?
x
2
?x
1
x?4
4
所以,直线
A'B
恒过定点
(0,4)
.
13分
8、解:(Ⅰ)因为椭圆
M
上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
6?42
,
所以
2a?2c?6?42
,
1分
又椭圆的离心率为
22c2222
,即
?
,所以
c?
a
, 2分
3a33
所以
a?3
,
c?22
.
4分
x
2
?y
2
?1
.
5分 所以
b?1
,椭圆
M
的方程为
9
(Ⅱ)方法一:不妨
设
BC
的方程
y?n(x?3),(n?0)
,则
AC
的方
程为
y??
1
(x?3)
.
n
?
y?n(x?3
),
1
?
2222
(?n)x?6nx?9n?1?0
,
6分 由
?
x
2
得
2
9
?
?y?1
?
9
81n
2
?927n
2
?3
设
A(
x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,因为
3x
2
?
,所以
x
2
?
, 7分
9n
2
?1
9n
2
?1
27?
3n
2
同理可得
x
1
?
,
8分
2
9?n
1?n
2
6n
2
所以
|B
C|?1?n
,
|AC|?
, 10分
2
2
9n?1
n
9?n
2
6
1
2(n?)
1
n
, 12分
S
?ABC
?
|BC||AC|?
1
2
64
2
(n?)?
n9
1
2t23
设
t?n??2
,则
S???
,
13分
6464
8
n
t
2
?t?
99t
83
当且仅当
t?
时取等号,所以
?ABC
面积的最大值为.
14分
38
方法二:不妨设直线
AB
的方程
x?ky?m
. ?
x?ky?m,
?
222
由
?
x
2
消去得
(k?9)y?2kmy?m?9?0
, 6分
x
2<
br>?
?y?1,
?
9
设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,
14
2km
m
2
?9
则有
y1
?y
2
??
2
,
y
1
y
2
?
2
. ① 7分
k?9k?9
????????
因为以
AB
为直径的圆过点
C
,所以
CA?CB?0
.
????????
由
CA?(x1
?3,y
1
),CB?(x
2
?3,y
2
)
,
得
(x
1
?3)(x
2
?3)?y
1
y
2
?0
.
8分
将
x
1
?ky
1
?m,x
2
?ky
2
?m
代入上式,
得
(k
2
?1)y
1
y
2
?k(m?3)(y
1
?y
2
)?(m?3
)
2
?0
.
12
或
m?3
(舍).
10分
5
12
12
所以
m?
(此时直线
AB经过定点
D(,0)
,与椭圆有两个交点),
5
5
1
所以
S
?ABC
?|DC||y
1
?y
2
|
2
将 ① 代入上式,解得
m?
13925(k
2
?
9)?144
2
??(y
1
?y
2
)?4y
1y
2
?
. 12分
25525(k
2
?9)<
br>2
设
t?
11
,0?t?
,
2
k?99<
br>则
S
?ABC
?
所以当
t?
9144
2??t?t
.
525
3
251
?(0,]
时,
S
?ABC
取得最大值. 14分
8
2889
2
y
1
2
y
2
9、解:(1)不妨设A(,y
1
),B(,y
2
)
2p2p
k<
br>MA
??k
MB
?y
1
?y
2
??2p,?
k
AB
?
y
2
?y
1
??1
………………
…………………5分
2
y
2
y
1
2
?
2
p2p
y
1
2
y
1
2
(2)AB的直线方程为:<
br>y-y
1
??(x?),即x?y?y
1
??0
2
p2p
点M到AB的距离
d?
3p
2
?2py
1
?
y
1
2
22p
。………………………………………7分
2
y
2
y
1
2
2
AB?2x
2
?x
1
?2??y
1
?y
2
?y
2
?y
1?22p?y
1
……… 9分
2p2p2p
又由
y
1
?y
2
??2p
且
y
1
,y
2
?
0,y
1
?
?
?2p,0
?
,令p?y
1
?t,?t?
?
?p,p
?
S
?MAB
3p
2
?2py
1
?y
1
2
11
??2
2P?y
1
??4p
2
t?t
3
………………………
11分
22p
22p
15
设
f(t)?4pt?
t
为偶函数,故只需考虑
t?
?
0,p
?
,
23
所以
f(t)?4p
2
t?t
3
,f(t)
??4p
2
?2t
2
?0,f(t)在
?
0,p
?
上递增,
3
当
t?p
时,
f(t)
max?3p?(S
?MAB
)
max
?
13
?3p
3
?p
2
2p2
3
2
p?6?p?2
。
故所求抛物线的方程为
y
2
?4x
……………………13分
2c1
10、(Ⅰ)解:由题意椭圆的离心率
e??
,
2a?4
,
所以
a?2,c?1,b?3
,
a2
?
x
2
y
2
??1
,
┄┄┄┄┄┄3分 故椭圆方程为
43
则直线
l:x??1
,
A(?
2,0),B(2,0)
,
故
C(?1,),D(?1,?)
或
C(?1,?),D(?1,)
,
3
2
3
2
3
2
3
2
33
2
??
3
,k?
2
??
1
,
当点
C
在
x
轴上方时,
k
1
?
2
?1?22?1?22
?
所以
k
1
:k
2
?3
,
当点
C
在
x
轴下方时,同理可求得
k
1
:k
2
?
3
,
综上,
k
1
:k
2
?3
为所求.
┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)解:因为
e?
2
1
,所以
a?2c
,
b?3c
,
2
22
椭圆方程为<
br>3x?4y?12c
,
A(?2c,0),B(2c,0)
,直线
l:
x?my?c
,
设
C(x
1
,y
1
),D(x<
br>2
,y
2
)
,
?
3x
2
?4y<
br>2
?12c
2
,
222
由
?
消
x
得,
(4?3m)y?6mcy?9c?0
, <
br>?
x?my?c
?
6mc??6mc??6mc
y?y???,
?
12
222
2(4?3m)2(4?3m)4?3m
?
所以
?
┄┄┄┄┄┄8分
2
?
y?y?
6mc??
?
6mc??
??
9c
,
?
12
2(4?3m<
br>2
)2(4?3m
2
)4?3m
2
?
8c
?
x?x?m(y?y)?2c??,
1212
?
?
3m
2<
br>?4
故
?
①
222
?
x?x
?m
2
yy?mc(y?y)?c
2
?
4c?12mc
,<
br>121212
?
3m
2
?4
?
16
由
k
1
y
2
(x
1
?2c)
33(2c?x)(2c?x)
222
,及
y?(4c?x)?<
br>,┄┄9分
?
44
k
2
y
1
(x
2
?2c)
k
1
2
y
2
2
(x
1
?2c)
2
(2c?x
1
)(2c?x
2
)4c<
br>2
?2c(x
1
?x
2
)?x
1
x
2
得
2
?
2
,
??
22
(2c?x1
)(2c?x
2
)
4c?2c(x
1
?x
2
)?x
1
x
2
k
2
y
1
(x2
?2c)
k
1
2
将①代入上式得
2
k
2
16c
2
4c
2
?12m
2
c
24c??
22
36c
2
3m?43m?4
???9
,┄
┄10分
22222
16c4c?12mc4c
4c
2
?
2
?
3m?43m
2
?4
2
注意到
y
1<
br>?y
2
?0,x
1
?2c?0,x
2
?2c?0,得
k
1
y
2
(x
1
?2c)
??0
,┄┄11分
k
2
y
1
(x
2
?2c)
所以
k
1
:k
2
?3
为所求.
┄┄┄┄┄┄12分
11、解:(1)依题意,得
c=1.于是,a=
2
,b=1. …………………2分
x
2
所以所求椭圆的方程为
?y
2
?1
.
……………………………… 4分
2
2
x
1
2
x
2
22
?1
②. (2) (i)设A(x
1
,y
1<
br>),B(x
2
,y
2
),则
?y
1
?1①,
?y
2
22
?????????????
?
x?x
1
cos
?
?x
2
sin
?
,
又
设M(x,y),因
OM?cos
?
OA?sin
?
OB
,
故
?
……7分
y?ycos
?
?ysin
?
.
?
12
(x
1
cos
?
?x
2
s
in
?
)
2
?(y
1
cos
?
?y
2
sin
?
)
2
?1
. 因M在椭圆上,故
2<
br>2
x
1
2
x
2
xx
222
)sin
2
?
?2(
12
?y
1
y
2
)c
os
?
sin
?
?1
. 整理得
(?y
1
)cos
?
?(?y
2
222
将①②代入上式,并注意
co
s
?
sin
?
?0
,得
所以,
k
OA
k
OB
?
2
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
2
y
1
y
2
1
??
为定值.
………………………………10分
x
1
x
2
2
2
x
1
x
2
2
x
1
2
x
2
222
2
)???(1?y
1
2
)(1?y
2
)?
1?(y
1
2
?y
2
)?y
1
2
y
2
(ii)
(y
1
y
2
)?(?
,故
y
1
2
?y
2
?1
.
222
2
x
1
2
x
2
22
2
)?2
,故
x<
br>1
2
?x
2
又
(?y
1
)?(?y
2
?2
.
22
22
?y
2
所以,OA
2
+OB
2
=
x
1
2
?y
1
2?x
2
=3. ………………………16分
12、解:
(Ⅰ)设动圆P的半径为r,则
|PM|?
两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|
151
?r,|PN|?r?
44
由椭圆定义知,点P的轨迹是以
M、N为焦点,焦距为
23
,实轴长为4的椭圆
17
x
2
y
2
??1
…………6分 其方程为
41
?????????
(Ⅱ)假设存在,设
Q(x,y).则因为
?MQN
为钝角,所以
QM?QN?0
?
?????????????????
QM?(?3?x,?y)
,
QN?(3?x,
?y)
,
QM?QN?x
2
?y
2
?3?0
x
2
y
2
??1
又因为
Q
点在椭圆上,
所以
41
8
x
2
2
?3?0
化简得:
x<
br>2
?
, 联立两式得:
x?1?
3
4
x
2<
br>?y
2
?
1(
a?
0)
右焦点
F
的
坐标为
(a,0)
, ………(1分) 解得:13、解:(Ⅰ)
?<
br>椭圆
2
1?a
?????????
?NF?(a,?n)
.<
br>?
MN?(?m,n)
,
?
由
MN?NF?0
,得
n
2
?am?0
.
………… (2分)
设点
P
的坐标为
(x,y)
,由
OM
?2ON?PO
,有
(m,0)?2(0,n)?(?x,?y)
,
?m??x,
?
2
2
?
y
代入
n?am?0,得
y?4ax
. ……… (4分) <
br>n?.
?
2
?
y
1
2
y
2
2
,y
1
)
、
B(,y
2
)
, (Ⅱ)解
法一:设直线
AB
的方程为
x?ty?a
,
A(
4a4a<
br>则
l
OA
:y?
4a4a
x
,
l
O
B
:y?x
. …………
(5分)
y
1
y
2
4a
?
y?x,
4a
2
4a
2
?
y
1
,得
S(?a,?
由
?
)
, 同理得
T(?a,?)
. …………
(7分)
y
1
y
2
?
x??a
?
???
?????????????
4a
2
4a
2
16a
4
2
. ……(8分)
?FS?(?2a,?)
,
FT?(?2a,?)
,则
FS?FT?4a?
y
1
y
2
y
1<
br>y
2
由
?
?
x?ty?a,
2
?
y
?4ax
,得
y?4aty?4a?0
,
?y
1
y
2
??4a
2
. ……… (9分)
22
1
6a
4
?4a
2
?4a
2
?0
.
…………… (11分) 则
FS?FT?4a?
2
(?4a)
??????
??
因此,
FS?FT
的值是定值,且定值为
0
.
……… (12分)
解法二:①当
AB?x
时,
A(a,2a)
、
B(a,?2a)
,则
l
OA
:y?2x
,
l
OB
:y??2x
.
2
18
????
?
y?2x,
得点
S
的坐标为<
br>S(?a,?2a)
,则
FS?(?2a,?2a)
.
?
x??a
????
?
y??2x,
由
?
得点
T
的坐标为
T(?a,2a)
,则
FT?(?2a,2a).
x??a
?
????????
?FS?FT?(?2a)?(?2a
)?(?2a)?2a?0
. …………… (6分) 由
?
yy
②当
AB
不垂直
x
轴时,设直线AB
的方程为
y?k(x?a)(k?0)
,
A(
1
,
y
1
)
、
B(
2
,y
2
)
,同解
法一,
4a4a
22
????????
16a
4
2
得
FS?FT?4a?
. …
(8分)
y
1
y
2
?
y?k(x?a),
由?
2
,得
ky
2
?4ay?4ka
2
?0,
?y
1
y
2
??4a
2
.
…………(9分)
?
y?4ax
16a
4
22
则
FS?FT?4a??4a?4a?0
. …………
(11分)
2
(?4a)
????????
因此,
FS?FT的值是定值,且定值为
0
.
………… (12分)
2
,所以存在。…… 13分
14、解:(1)连接
RA
,由题意得,
RA?RP
,
RP?RB?4
,
所以
RA?RB?4?AB?2
,…………………………………………………2分
x
2
y
2
??1
.……………………………4分 由椭圆定
义得,点
R
的轨迹方程是
43
(2)设
M
(x
0<
br>,y
0
)
,则
N(?x
0
,?y
0
)
,
QM,QN
的斜率分别为
k
QM
,k
QN,
则
k
QM
?
y
0
y
0
,
k
NQ
?
,……………………………………………6分
x
0
?2
x
0
?2
y
0
y
0
(x?
2)
,直线
QN
的方程
y?(x?2)
,8分
x
0
?2x
0
?2
所以直线
QM
的方程为
y?
令
x?t(t?2)
,则
y
1
?
y
0
y
0
(t?2),y
2
?(t?2)
,……………………10分 x
0
?2x
0
?2
22
x
0
y
0
3
22
??1
,所以
y
0
又因为
(x
0
,y
0
)
在椭圆,
?3?x
0
43<
br>4
3
2
(3?x
0
)(t?2)
2
2
y
3
2
4
所以
y
1
?y
2
?<
br>2
0
(t?2)
2
?
,其中
t
为常数.…1
4分
??(t?2)
2
x
0
?4x
0
?44
19
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