高中数学试卷含答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目
要求的．
1．函数
y?
1
的定义域为
x?1
A．
?
??,?1
?
B．
?
??,?1
?
C．
?
?1,??
?
D．
?
?1,??
?

?
1?i
?
（其中
a,b?R
，
i
是虚数单位），则
a?b
的值为
?
?
?
?
?
的最小正周期为，则
?
的值为
?
?0
?
?
?
6
?
2
2．已知复 数
a?bi?i
A．
?2
B．
?1
C．0 D．2
3．如果函数
f
?
x
?
?sin
?
?
x?
A．1 B．2 C．4 D．8
4．在△
ABC
中，
?ABC
率为
A．
?60< br>o
，
AB?2
，
BC?3
，在
BC
上任取一 点
D
，使△
ABD
为钝角三角形的概
11
12
B． C． D．
63
23
2
2
2
2
5．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为
．．．
43
A． B．
43

3
C．8 D．12
2
正(主)视图
2
侧(左)视图
?
x? y?2≥0,
?
6．在平面直角坐标系中，若不等式组
?
x?y?2≥0,< br>表示的
?
x≤t
?
平面区域的面积为4，则实数
t
的值为
2
2
A．1 B．2 C．3 D．4
俯视图
2m
2
?6< br>7．已知幂函数
y?m?5m?7x
在区间
0,??
上单调递增，则实 数
m
的值为
??
??
图1
A．3 B．2 C．2或3 D．
?2
或
?3

8．已知两个非零向量
a
与b
，定义
则
a?b?absin
?
，其中
?
为
a
与
b
的夹角．若
a=
?
?3,4
?，
b=
?
0,2
?
，
a?b
的值为

A．
?8
B．
?6
C．
6
D．
8

9．已知函数< br>f
?
x
?
?2x?1
，对于任意正数
a
，< br>x
1
?x
2
?a
是
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?a
成立的
D．既不充分也不必要条件
22
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件
2
10．已知圆
O
：< br>x?y?r
，点
P
?
a，b
?
（
ab?0< br>）是圆
O
内一点，过点
P
的圆
O
的最短弦所在的直线
2
为
l
1
，直线
l
2
的方程为
a x?by?r?0
，那么

A．
l
1
∥l
2
，且
l
2
与圆
O
相离 B．
l
1
?l
2
，且
l
2
与圆
O
相切
C．
l
1
∥l
2
，且
l
2
与圆
O
相交 D．
l
1
?l
2
，且
l
2
与圆
O
相离
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．若函数
f
?
x
?< br>?ln
?
x
2
?ax?1
?
是偶函数，则实数
a
的值为 ．
12．已知集合
A?
?
x1≤x≤3
?
，
B?
?
xa≤x≤a?3
?
，若
A? B
，则实数
a
的取值范围为 ．
13．两千多年前，古希腊毕 达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子
来表示数，按照点或小 石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为
五角形数，其 中第1个五角形数记作
a
1
?1
，第2个五角形数记作
a
2
?5
，第3个五角形数记作
a
3
?12
，第
4个五 角形数记作
a
4
?22
，…，若按此规律继续下去，则
a
5
?
，若
a
n
?145
，则
n?
．

22
1 5 12
图

2
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲 选做题）如图3，圆
O
的半径为
5
cm
，点
P
是弦
AB
的中点，
C
A
O
P
D
B
CP1
?
，则
CD
的长为
cm
． < br>OP?3
cm
，弦
CD
过点
P
，且
CD3< br>15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线
l
与曲线
C
的
参数方程分别为
l
：
?
若
l
与
C
相交于
?
x?t?2,
?
x?1?s,
（
s< br>为参数）和
C
：
?
（
t
为参数），
2
?
y?1?s
?
y?t
图3
A
、
B
两点，则
AB?
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?tan
?
3x?
?
?
?
?
?
．
4
?
?
?
?
?
f
?
?
?
?2
，求
cos 2
?
的值．
?
34
?
频率
a


（1）求
f
?
?
?
?
?
的值； （2）若
9
??
17．（本小题满分12分）
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考
试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分
成六段：
40,50
?
，
50,60
?
，…，
90,100
后得到如图 4的
频率分布直方图．
（1）求图中实数
a
的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级
期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在
组距
????


0 40 50 60 70 80 90 100
（分数）
?
40,50
?
与
?
90 ,100
?
两个分数段内的学
生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差
图4

的绝对值不大于10的概率．
18．（本小题满分14分）
如图5所示，在三棱锥
P?ABC
中，
AB?BC?6
，平面
PAC?
平面
ABC
，
PD?AC
于点
D
，
AD?1
，
CD?3
，
PD?2
．
（1）求三棱锥
P?ABC
的体积；
（2）证明△
PBC
为直角三角形．
19．（本小题满分14分）
已知等差数列
（1）求数列
?
a
n
?
的公差
d? 0
，它的前
n
项和为
S
n
，若
S
5
?70
，且
a
2
，
a
7
，
a
2 2
成等比数列．
图5
?
a
n
?
的通项公式；
?
1
?
13
n
T
的前项和为，求证：．
≤T?
?
n
n
68
S
?
n
?
32
（2）设数列
?
20．（本小题满分14分）
已知函数
f(x)? ?x?ax?b
（1）求函数
?
a,b?R
?
．
f(x)
的单调递增区间；
（2）若对任意
a?
?
3,4
?
，函数
f(x)
在
R
上都有三个零点，求实数
b
的取值范围．
21．（本小题满分14分）
y
2
?1
的 左、右两个顶点分别为
A
、
B
．曲线
C
是以
A、
B
两点为顶点，离心率为
5
的已知椭圆
x?
4
2
双曲线．设点
P
在第一象限且在曲线
C
上，直线
AP< br>与椭圆相交于另一点
T
．
（1）求曲线
C
的方程；
（2）设点
P
、
T
的横坐标分别为
x
1
、
x
2
，证明：
x
1
?x
2
?1
； （3）设
?TAB
与
?POB
（其中
O
为坐标原点）的 面积分别为
S
1
与
S
2
，且
的取值范围。
?
?
22
≤15，求
S
1
?S
2

PA?
PB