第2讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 高考数学(人教版)大一轮复习(课件+学案+)

2020年9月18日发(作者：郎宗圣)

第2讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词


一、知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q?p
p?q且q?p
p?q
p?q且q?p
[注意] 不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，

< p>
才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题．
2．全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
量词名称
全称量词
存在量词
常见量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在一个、至少有一个、有些、某些等
符号表示
?
?
(2)全称命题和特称命题
名称
全称命题
形式
结构
简记
否定
常用结论
1．从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关< br>于充分条件，必要条件又可以叙述为：
(1)若A?B，则p是q的充分条件；
(2)若A?B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A
(5)若A
B，则p是q的充分不必要条件；
B，则p是q的必要不充分条件；
对M中任意一个x，有p(x)成立
?x∈M，p(x)
?x
0
∈M，﹁p(x
0
)
存在M中的一个x
0
，使p(x
0
)成立
?x
0
∈M，p(x
0
)
?x∈M，﹁p(x)
特称命题
(6)若A?B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型， 省去量词的要结合命题的含义加上量词，再
对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
二、教材衍化
1．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析： 选B．若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)
＝ 0，则x的值也可能为－2.故选B．
2．命题“?x
0
∈R，log
2< br>x
0
＋2<0”的否定是________________________．
答案：?x∈R，log
2
x＋2≥0

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(2)q不是p的必要条件时，“p? q”成立．( )

(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( )
(4)?x
0
∈M，p(x
0
)与?x∈M，﹁ p(x)的真假性相反．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
二、易错纠偏
常见
误区
|

(1)全称命题或特称命题的否定出错；
(2)对充分必要条件判断错误．
1．命 题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是__________________________．
答案：存在两个全等三角形的面积不相等
2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)
2
≤1”的________条件．
答案：必要不充分

考点一 全称命题与特称命题(基础型)
复习
指导
|

理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
核心素养：数学抽象
x
1．(2020·西安模拟)命题“?x＞0，＞0”的否定是( )
x－1

x
A．?x＜0，≤0
x－1
x
C．?x＞0，≤0
x－1
B．?x＞0，0≤x≤1
D．?x＜0，0≤x≤1
xx
解析：选B．因为
＞0，所以x＜0或x＞ 1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以
x－1x－1
命题的否定是?x＞0，0≤x≤1，故 选B．
2．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，e
x
＞0
C．?x
0
∈R，ln x
0
＜1
B．?x∈N，x
2
＞0
π
D．?x
0
∈N
*
，sin x
0
＝1
2
解析：选B．对于B．当x＝0时，x
2
＝0，因此B中命题是假命题．
3．已知命题p：?m∈R，f(x)＝2
x
－mx是增函数，则﹁p为 ( )
A．?m∈R，f(x)＝2
x
－mx是减函数
B．?m∈R，f(x)＝2
x
－mx是减函数
C．?m∈R，f(x)＝2
x
－mx不是增函数
D．?m∈R，f(x)＝2
x
－mx不是增函数
解析：选D．由特称命题 的否定可得﹁p为“?m∈R，f(x)＝2
x
－mx不是增函数”．
4．(202 0·宁夏石嘴山期中)若命题“?t∈R，t
2
－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值< br>范围是______．
解析：因为命题“?t∈R，t
2
－2t－a<0”为 假命题，所以命题“?t∈R，t
2
－2t－a≥0”
为真命题，所以Δ＝(－2)< br>2
－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.
答案：(－∞，－1]

(1)全称命题与特称命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词 的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对
量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
(2)全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称 真假
真
全称命题
假
真
特称命题
假 所有对象使命题为假 否定为真
存在一个对象使命题为假
存在一个对象使命题为真
否定为真
否定为假
判断方法一
所有对象使命题为真
判断方法二
否定为假
[提醒] 因为命题p与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其
真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真 假．
考点二 充分条件、必要条件的判断(基础型)

复习
指导
|

理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
核心素养：逻辑推理
(1)(2020·烟台模拟)已知a，b都是实数，
11
那么“b>a>0”是“>”的( )
ab
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2020·佛山模拟)已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
1111
b－a
1111
【解析】 ( 1)若>，则
－＝
>0.当0
成立；当a>0，b<0时，满足
>，
ababababab
11
但0a>0”是“
>”的充分不必要条件，故选A．
ab
(2)当x－2＝2－x时，两边平方可得(x－2 )
2
＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x
1
＝2，
x< br>2
＝1.当x＝1时，－1＝1，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件，故选C．
【答案】 (1)A (2)C

充分条件、必要条件的2种判断方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
[提醒] 判断充要条件需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么．
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．

1．(2019· 高考天津卷)设x∈R，则“x
2
－5x<0”是“|x－1|<1”的( )
A．充分而不必要条件
C．充要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B．由x
2
－5x<0可得0真子集，故“x
2< br>－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．
2．(2020·安徽淮南二模)设 λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋
(1－λ)y＝4平行”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋ 1＝0，3x＋2y－2＝0，此
时两条直线平行；
若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线 6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ
＝－3或λ＝1，经检验 ，两者均符合．
综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝ 4平行”的充分不必要
条件，故选A．
考点三 充分条件、必要条件的探求及应用(综合型)
复习指导
|

寻求充分、必要条件的思路
(1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p；
(2)寻求q的必要条件p，即求使q为条件可推出的结论p.

已知条件p ：集合P＝{x|x
2
－8x－
20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x ≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范
围．
【解】 由x
2
－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由p是q的必要条件，知S?P.
1－m≤1＋m，
?
?
则
?
1－m≥－2，
所以0≤m≤3.
?
?
1＋m≤10，
所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
【迁移探究】 (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m，使p是q的充要条件．
解：若p是q的充要条件，则P＝S，
??
?
1－m＝－2，
?< br>m＝3，
所以
?
所以
?

??
?
1 ＋m＝10，
?
m＝9，
即不存在实数m，使p是q的充要条件．

根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项
(1)解决此类问题 一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然
后根据集合之间的关系列出关于参数 的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个 集合之间
的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

1．命题“?x∈[1，3]，x
2
－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )

A．a≥9
C．a≥10
B．a≤9
D．a≤10
解析：选C．命题“?x∈[1，3]，x
2
－a≤0”?“ ?x∈[1，3]，x
2
≤a”?9≤a.则a≥10
是命题“?x∈[1，3]，x
2
－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C．
2．若“x
2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．
解析：由x
2
－x－6>0，解得x<－2或x>3.
因为“x
2
－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.
答案：3

[基础题组练]
1．(2020·安徽蚌埠第一次教学质量检 查)命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p
为( )
A．任意常数列不是等比数列
B．存在常数列是等比数列
C．任意常数列都是等比数列
D．不存在常数列是等比数列

解析：选C．因为特称命题的否定是全称命题， 命题p：存在常数列不是等比数列的否
定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选C．
2．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A?C，B??
U
C” 是“A∩B＝?”
的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．由A?C，B??< br>U
C，易知A∩B＝?，但A∩B＝?时未必有A?C，B??
U
C，
如图所示，

所以“存在集合C使得A?C，B??
U
C”是“A∩B＝?”的充分不必要条件．
π
0，
?
，f(x)<0，则( ) 3．已知f(x)＝sin x－x ，命题p：?x∈
?
?
2
?
π
0，
?
，f (x)≥0 A．p是假命题，﹁p：?x∈
?
?
2
?
π
0 ，
?
，f(x)≥0 B．p是假命题，﹁p：?x∈
?
?
2
?
π
0，
?
，f(x)≥0 C．p是真命题，﹁p：?x∈
?< br>?
2
?
π
0，
?
，f(x)≥0 D．p是真命题， ﹁p：?x∈
?
?
2
?

π
0，
?< br>上是减函数，因为f(0)＝0，所
解析：选C．易知f′(x)＝cos x－1<0，所以f (x)在
?
?
2
?
ππ
0，
?
，f(x) <0是真命题，﹁p：?x∈
?
0，
?
，f(x)≥0，故选C．
以 f(x)<0，所以命题p：?x∈
?

?
2
??
2
?
4．(2020·郑州模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“ b＝c”
的( )
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B．由b＝c，得b－c ＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是
“b＝c”的必要不充分条件 ．
5．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分条件
C．充要条件
B．必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B． “攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡 ”的必要非充分条件．故选B．
1
2
＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的 取值范围是6．已知命题“?x
0
∈R，使2x
00
2
( )
A．(－∞，－1)
C．(－3，＋∞)
B．(－1，3)
D．(－3，1)
1
解析：选B．原命题的否定为?x∈R，2x
2
＋(a－1)x＋
>0，由题意知，其为真命题，则
2
Δ
＝(a－1)2
－4×2×
2
<0，则－27．(多选)已知a，b，c是实数，下列结论中正确的是( )
A．“a
2
>b
2
”是“a>b”的充分条件
1

B．“a
2
>b
2
”是“a>b”的必要条件
C．“ac
2
>bc
2
”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件
解析：选CD．对于A，当a ＝－5，b＝1时，满足a
2
>b
2
，但是a 立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是a
2
2
，所以必 要性不成立；对于C，由
ac
2
>bc
2
得c≠0，则有a>b成立 ，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|
成立，但是ab，但是|a|<|b|，所以必
要性也不成立，故“| a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选CD．
8．(多选)(2021·预测)下列命题说法错误的是( )
A．?x
0
∈R，e
x
0
≤0
B．?x∈R，2
x
>x
2

a
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
b
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
解析：选ABC ．根据指数函数的性质可得e
x
>0，故A错误；x＝2时，2
x
>x
2
不成立，
a
故B错误；当a＝b＝0时，没有意义，故C错误； 因为“x＋y> 2，则x，y中至少有一个
b
大于1”的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”， 是真命题，所以原命题为真命
题，故选ABC．
9．若命题p的否定是“?x∈(0，＋∞) ，x>x＋1”，则命题p可写为
____________________．
解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
答案：?x
0
∈(0，＋∞)，x
0
≤x
0
＋1
10．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．

解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为00答案：充要
11．条件p：x>a，条件q：x≥2. < br>(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_______________________ ____；
(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________________ ____________．
解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，
(1)因为p是q的充分不必要条件，
所以AB，所以a≥2；
(2)因为p是q的必要不充分条件，
所以BA，所以a<2.
答案：(1)[2，＋∞) (2)(－∞，2)
12．已知集合A＝{x|a－2________．
?
?
a＋2≤4，
解析：A∩B＝??
?
?0≤a≤2.
?
?
a－2≥－2
答案：[0，2]
[综合题组练]
1 1
1．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x，y∈R，则“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的 ( )
22
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
1
解析：选B．当“x＋ y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足“x≤
且y
2

< br>1111
≤”．当“x≤
且y≤
”时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”．故 “x＋y≤1”是“x≤
且
2222
1
y≤”的必要不充分条件．故选B．
2
2．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x的不等式|x－1|则实数a的取值范围是( )
A．a≤1
C．a>3
B．a<1
D．a≥3
解析：选D．|x－1|?
?
a≥1，
?< br>1－a≤0，
?
件是0 ?
?
?
?a≥3.故D正确．
?
a≥3
?
1＋a ≥4
?
?
m＋1m－1
1
3．设p：－0)；q：x< 或x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数
222
m的取值范围为______．
m－1
1
解析：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以≤，所以022
答案：(0，2]
1
?
2
4．若?x
0∈
?
?
2
，2
?
，使得2x
0
－λx
0
＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是
________．
1< br>?
1
??
，2
，使得2x
2
解析：因为?x
0
∈
?
－λx＋1＜0成立是假命题，所以?x∈
00
?
2
??
2
，2
?
，使得
1
?
1
，2
，使得λ≤2x＋
恒成立是真命题，令f(x)＝
2x
2
－λx＋1 ≥0恒成立是真命题，即?x∈
?
?
2
?
x
11
1 22
2x＋，则f′(x)＝2－
2
，当x∈
?
，
?
时，f′(x)＜0，当x∈
?
，2
?
时，f′(x)＞0，所以f(x)
xx
?
22
??
2
?
≥f
?
2< br>?
＝22，则λ≤22.
?
2
?
答案：(－∞，22]