浙江杭州高中数学教材版本A版还是B版-高中数学电子课本组合
解三角形的实际应用
知识集结
知识元
解三角形的应用
知识讲解
1.解三角形
【知识点的知识】
1.已知两角和一边(如A、B、C),由A+B+C=π求C,由正弦定理求a、b.
2.
已知两边和夹角(如a、b、c),应用余弦定理求c边;再应用正弦定理先求较短边所对的
角,然后利
用A+B+C=π,求另一角.
3.已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B
,由A+B+C=π求C,再
由正弦定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种情况.
4.已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+B+C=π,求角C.
5.方向
角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方
向线所成的角(一般
指锐角),通常表达成.正北或正南,北偏东××度,北偏西××度,南
偏东××度,南偏西××度.
6.俯角和仰角的概念:
在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角
,视线在水平线下方的角叫俯
角.如图中OD、OE是视线,是仰角,是俯角.
7.关于三角形面积问题
1 13
①S
△
ABC
=ah
a
=bh
b
=ch
c
(h<
br>a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c上的高);
②S
△
ABC
=absinC=bcsinA=acsinB;
<
br>③S
△
ABC
=2R
2
sinAsinBsinC.(R为外
接圆半径)
④S
△
ABC
=;
⑤S
△
ABC
=,(s=(a+b+c));
⑥S
△
ABC
=r?
s,( r为△ABC内切圆的半径)
在解三角形时,常用定理及公式如下表:
名称 公式
内角和定理 A+B+C=π
余弦定理
a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA
b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB
c
2
=a
2
+b
2
﹣2abcosC
正弦定理
=2R
R为△ABC的外接圆半径
射影定理
acosB+bcosA=c
acosC+ccosA=b
bcosC+ccosB=a
面积公式
①S
△
=ah
a
=bh
b
=c
h
c
②S
△
=absinC=acsinB=bcsinA
2
13
变形
+=﹣,2A+2B=2π﹣2C
cosA=
cosB=
cosC=
a=2RsinA,b=2RsinB,c=
2RsinC
sinA=,sinB=,sinC=
sinA=
sinB=
③S
△
=
④S
△
=
,(s=
sinC=
(a+b+c));
⑤S
△
=(a+b+c)r
(r为△ABC内切圆半径)
例题精讲
解三角形的应用
例1.
(2019秋?镜湖区校级月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=6,
A=,若该三角形有两解,则a的取值范围是( )
A.(3,6)
C.(3,6)
【答案】A
【解析】
题干解析:
∵在△ABC中,b=6,A=,
B.(0,3)
D.(3,+∞)
∴由正弦定理得:sinB=
∵A=
∴0,
,
==,
3 13
c=,tan(A+)=2,则a=( )
A.15
【答案】C
【解析】
题干解析:
由tan(A+)=
B.
C.3
D.
=2,解得tanA=,∴cosA=,
由余弦定理可得a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA=45+72-36∴a=3。
故选:C
.
×=9,
当堂练习
填空题
练习1.
(2019秋?中原区校级月考)线段AB外有一点C
,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80kmh
的速度由A向B行驶,同时摩托车以50k
mh的速度由B向C行驶,则运动开始__h后,两车
_
的距离最小.
【答案】
【解析】
题干解析:如图所示:设th后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到
E,则
AD=80t,BE=50t。因为AB=200,所以BD=200-80t,问题就是求DE
最小时t的
值.由余弦定理:DE
2
=BD
2
+BE
2-2BD?BEcos60°=(200-80t)
2
+2500t
2
-
(200-80t)
5 13
?50t=12900t
2
-42000t+40000.当t=时DE最小.故答案为:
解答题
练习1.
(2019秋?镇海区校级月考)如图,在△ABC中,A=
AC=CD,A,C,
E三点共线,DF⊥CE于点F,DF=
(1)若∠DCE=,求DE;
,在△CDE中,CE=4,BC⊥CD,
.
(2)求BC的最小值.
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:(1)由DF=,∠DCE=及
DF⊥CE,得CD=2DF=2,在△CDE
×4×
,
=4,中,由余弦定理得DE
2
=CD
2
+CE
2
-2?CD?CE?cos∠DCE=
12+16-2×2
∴DE=2。(2)设∠DCE=α,则AC=CD=
∠ACB=,∠AB
C=
.在△ABC中,A=
=.由正弦定理,得,
∴BC====
6
13
=
即α=
练习2.
时取等号.∴BC的最小值为6(2-
≥
).
=6(2-).当2α-=<
br>(2019春?唐山期末)如图,为了测量河对岸A,B两点的距离,观察者找到一个点C,从C
点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可
以观察到
点B,C
.
并测量得到以下数据,∠DCA=105°,∠ADC=30°,∠BCE=90°
,
∠ACB=∠CEB=60°,DC=200米,CE=100米.求A,B两点的距离.
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:由题意可知,在△ACD中,∠
DAC=45°,由正弦定理得
=
BC=100×
,所以AC==200米,在Rt△
BCE中,
=300米,在△ABC中,由余弦定理得AB
2
=AC
2
+BC
2
-
米。 2AC×BC×cos60°=200
2
+30
0
2
-2×200×300×=70000,所以AB=100
练习3.
(
2019春?达州期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
(1)求角B;
(2)若b=,求△ABC周长的取值范围.
sinB+cosB=1.
【答案】
7 13
详见解析
【解析】
题干解析:
(1)∵
(0,π),∴B=
ac≥
长C=a+b+c∈
练习4.
(2019?普陀区模拟)如图,某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路,现
要修
一条地铁L,在OA,OB上各设一站A,B,地铁在AB部分为直线段,现要求市中心O
与AB的距离
为10(km),设地铁在AB部分的总长度为y(km)。
(1)按下列要求建立关系式:
(i)设∠OAB=α,将y表示成α的函数;
(i)设OA=m,OB=m用m,n表示y.
(2)把A,B两站分别设在公路上离中心O多远处,才能使AB最短?并求出最短距离.
s
inB+cosB=1,∴,∴,∵B∈
;(2)由余弦定理,有b
2
=a
2
+c
2
-2accosB=(a+c)
2-
,∵b=,∴(a+c)
2
≤4,∴a+c≤2,又a+c>b=
。
,∴周
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:(1)(i)过O作OH⊥AB
于H由题意得,
且
即AH=10cotα…(2分)
分)
∴=
即…(
4
=
…(8分)(ii)由等面积原理得,
8 13
即
p>
…(10分)(2)选择方案一:当时,…(12
分)此时,而所以
,由余
弦定理得
∴
时取等号)…(14分)
.…
(14分)选择方案二:因为
=
分)即
练习5.
(当
且仅当
…(12
(2019?西湖区校级模拟)在△ABC中,三角A,B,C所对的边分别为
a,b,c.已知△ABC
的周长为,且。
(Ⅰ)求边c的长;
(Ⅱ)若△ABC的面积为,求角C的大小.
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:(I)由题意及正弦定理,得,(2分),(4分)
,得
,(12
两式相减,得c=1.(6分)(II)由△ABC的面积
,(9分)由余弦定理,
得
分)所以C=60°.(14分)
练习6.
=
(2016秋?涵江区校
级期末)如图,有一块半径为2的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形
ABCD的形状,它的下底AB是⊙
O的直径,上底CD的端点在圆周上.设∠BAD=α
(Ⅰ)用α表示AD和CD的长;
(Ⅱ)写出梯形周长l关于角α的函数解析式,并求这个梯形周长的最大值.
9
13
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析
:(本题满分12分)(I)过D、C分别作DE⊥AB、CF⊥AB,垂足分别
为E、F,…(1分)
因为′AB为半圆的直径,AD⊥BD,又∠BAD=α所以在
Rt△ABD中,AD=AB?cosα
=4cosα,…(3分)又在Rt△ADE中,
AE=AD?cosα=4cos
2
α,…(4分)由等腰梯形ABCD同理可得,
BC=4cosαBF=4cos
2
α
,…(5分)∴CD=EF=4-8cos
2
α;…(6分)(II)∵梯形
ABCD
的周长l=AB+BC+CD+AD,当点D接近于点A时,
近重合时,,∴l=-8cos
2
α+8cosα+8,(
,…(10分)∴当,即
,当点C、D接
),…(8
分)
时,梯形ABCD的周
长l取最大值为10.…(12分)
练习7.
(2017春?泰州期末)如图1,在路边安装路灯,路宽为OD,灯柱OB长为h米,灯杆AB长为1米,且灯杆与灯柱成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,其轴截面的顶角为2θ,灯罩轴线
AC
与灯杆AB垂直。
(1)设灯罩轴线与路面的交点为C,若OC=5米,求灯柱OB长;
(2)设h=10米,若灯罩轴截面的两条母线所在直线一条恰好经过点O,另一条与地面的交点
为E(如图2);
(i)求cosθ的值;
(ii)求该路灯照在路面上的宽度OE的长.
【答案】
10 13
详见解析
【解析】
题干解析:(1)过A作AE⊥OD
,垂足为E,过B作BF⊥AE,垂足为F,则
∠ABF=120°-90°=30°,∴AF=AB=
,BF=
∴CE=OC-OE=
AB=,∴OE=BF=,
。在四边形ABOC中,∵
∠BOC=∠BAC=90°,
=,∠ABO=120°,∴∠ACO=60°,在Rt△ACE中,t
an∠ACE=
∴AE=CE=,∴OB=EF=AE-AF=13.即灯柱OB高13米.
在
△ABO中,由余弦定理得OA==
(2)(i)
,由正弦定理
得=,∴sin∠BA
O=
.(ii)sinθ=
-
=
=
=
=
.
.
,sin2θ=2sinθcosθ=,∴cosθ=sin∠BAO=
∴sin∠AEO
=sin(60°-θ)=
得
练习8.
=,解得OE=
.在△AOE中,由
正弦定理
(2017春?荔湾区期末)某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线,因地理条件限制,
不能
直接测量A、B两地距离.现测量人员在相距km的C、D两地(假设A、B、C、D在同一
平面上)测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(如图),假如考
虑到
电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度为A、B距离的
准备多长的电线?
倍,问施工单位应该
11 13
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:在△ACD中,∵∠ADC=30°,∠ACD=7
5°+45°=120°,
∴∠CAD=30°,∴AC=CD=,在△BCD中,∵∠BDC=30°
+45°=75°,
∠BCD=45°,∴∠CBD=60°,由正弦定理得:
∴BC===<
br>,
。在△ABC中,由余弦定理得:
)
2
-2??=5,AB
2
=AC
2
+BC
2
-2AC?BC?cos∠ACB=3+(∴AB=
练习9.
.故施工单位应该准备电线长为=5km.
(2017春?
连云港期末)如图,半圆O的半径为1,A为直径延长线上一点,OA=2,B为半圆
上任意一点,以A
B为一边做等边三角形ABC,设∠AOB=θ.
(1)当时,求四边形OACB的面积;
(2)求线段OC长度的最大值,并指出此时θ的值.
【答案】
详见解析
【解析】
12 13
题干解析
:(1)在△OAB中,由余弦定理得AB
2
=1+4-2×1×2×cos
∴AB=
,∴S
△
ABC
==,S
△
AOB
==
=3,,∴四边
形OACB的面积为+=。(2)由余弦定理得AB
2
=1+4-
2×1×2×cosθ=5-4cosθ,∴AB=,∴AC=,由正弦定理得
,即sin∠OAB=
∴cos∠OAB=
=,
)=
×(
-
-
,∴cos
∠OAC=cos(∠OAB+
,由余弦定理得:OC
2
=4+5-4cosθ-2×
2×
)=5+2sinθ-2cosθ=5+4sin(θ-
时,OC最大,OC的最大值为3
.
).∵θ∈(0,π),∴当θ=
13 13
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