高一数学必修三,算法与程序框图知识点及题型

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第二节 算法与程序框图

一、基础知识
1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构
(1)顺序结构
定义 由若干个依次执行的步骤组成
程序
框图



(2)条件结构
定义 算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构

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程序
框图


(3)循环结构
定义
从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤
称为循环体
直到型循环结构
先循环，后判断，条件满足时终
止循环.
当型循环结构
先判断，后循环，条件满
足时执行循环.
程序
框图



三种基本逻辑结构的适用情境
(1)顺序结构：要解决的问题不需要分类讨论．
(2)条件结构：要解决的问题需要分类讨论．
(3)循环结构：要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间有相同的规律．



考点一 顺序结构和条件结构

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[例1] (2019·沈阳质 检)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值
为( )

A．－3
C．3或－9
B．－3或9
D．－3或－9
1
?
x
[解析] 当x≤0时，y＝
?
?
2
?
－8＝0，x＝－3；当x>0时，y＝2－log
3
x＝0，x＝9.故x＝－ 3或x＝9，
选B.
[答案] B
[例2] 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为( )

π
cos x
?
π
－
，且x≠0
?

A．f( x)＝
2
?
x
?
2
2
x
－1
B． f(x)＝
x

2
＋1

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|x|
C．f(x)＝

x
D．f(x)＝x
2
ln(x
2
＋1)
[解析] 由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数，选项A、C中的函数虽然是奇函数，但在< br>给定区间上不存在零点，故排除A、C.选项D中的函数是偶函数，故排除D.选B.
[答案] B
[解题技法] 顺序结构和条件结构的运算方法
(1)顺序结构是最简单的算法结构，语 句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此
类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其 范围进行逐步运算即可．
(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断．
(3)对于条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个
分支．
[题组训练]
1．半径为r的圆的面积公式为S＝πr
2
，当r＝5时，计算面积的流程图为( )

解析：选D 因为输入和输出框是平行四边形，故计算面积的流程图为D.
2．运行如图所示的程序框图，可输出B＝______，C＝______.

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解析：若直线x＋By＋C＝0与直线x＋3y－2＝0平行，则B＝3，且C≠－2，
若直 线x＋3y＋C＝0与圆x
2
＋y
2
＝1相切，则
又C≠－2，所以 C＝2.
答案：3 2
|C|
1
2
＋?3?
2
＝1，解得C＝±2，
考点二 循环结构

考法(一) 由程序框图求输出(输入)结果
[例1] (2018·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T
的 值为( )

A．1
C．3
[解析] 输入N的值为20，
第一次执行条件语句，N＝20，
B．2
D．4

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N
i＝2，
＝10是整数，
i
∴T＝0＋1＝1，i＝3＜5；
N20
第二次执行条件语句，N＝20，i＝3，＝不是整数，
i3
∴i＝4＜5；
N
第三次执行条件语句，N＝20，i＝4，＝5是整数，
i
∴T＝1＋1＝2，i＝5，此时i≥5成立，∴输出T＝2.
[答案] B
[例2] (2019·安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的n＝2，那么输入的 a的
值可以为( )

A．4
C．6
B．5
D．7
[解析] 执行程序框图，输入a，P＝0，Q＝1，n＝0，此时P≤Q成立，P＝ 1，Q＝3，n＝1，此时P≤Q
成立，P＝1＋a，Q＝7，n＝2.因为输出的n的值为2，所以应 该退出循环，即P>Q，所以1＋a>7，结合
选项，可知a的值可以为7，故选D.
[答案] D
[解题技法] 循环结构的一般思维分析过程
(1)分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．
(2)结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
(3)辨析循环结构的功能．
考法(二) 完善程序框图
[例1] (2018· 武昌调研考试)执行如图所示的程序框图，如果输入的a依次为2,2,5时，输出的s为17，
那么在 判断框中可以填入( )

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A．kC．k≥n?
B．k>n?
D．k≤n?
[解析] 执行程序框图，输入的a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入的a＝2，s＝2×2＋ 2＝6，k＝2；
输入的a＝5，s＝2×6＋5＝17，k＝3，此时结束循环，又n＝2，所以判断 框中可以填“k>n？”，故选B.
[答案] B
11111
[例2] (201 8·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空
23499100< br>白框中应填入( )

A．i＝i＋1
C．i＝i＋3
B．i＝i＋2
D．i＝i＋4
11111
1
1＋
＋… ＋
?
－
?
＋＋…＋
?
，[解析] 由题意可将S变形为S＝
?
则由S＝N－T，得N＝1＋＋…
99
??
24100
? ?
3
3
＋
111111
，T＝＋＋…＋
.据此，结合N＝N ＋
，T＝T＋易知在空白框中应填入i＝i＋2.故选B.
9924100i
i＋1
[答案] B

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[解题技法] 程序框图完善问题的求解方法
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．

[题组训练]

1．(2018·凉山质检)执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A，从集合A中任取一个< br>元素a，则函数y＝x
a
，x∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )

4
A.
7
3
C.
5
4
B.

5
3
D.

4
解析：选C 执行程序框图，x＝－3，y＝3；x＝－2，y＝0；x＝－1，y＝－1； x＝0，y＝0；x＝1，y
＝3；x＝2，y＝8；x＝3，y＝15；x＝4，退出循环．则集合A 中的元素有－1,0,3,8,15，共5个，若函数y
3
＝x
a
，x∈[0 ，＋∞)为增函数，则a>0，所以所求的概率为
.
5
2．(2019·珠海三校联 考)执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为4，则p的取值范围是( )

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37
?
A.< br>?
?
4
，
8
?

57
?
C.
?
?
16
，
8
?

5
?
B.
?
?
16
，＋∞
?
< br>57
?
D.
?
?
16
，
8
?

11133
解析：选A S＝0，n＝1；S＝，n＝2；S＝＋
2
＝， n＝3；满足条件，所以p>，继续执行循环体；
22244
317737
S＝
＋
3
＝，n＝4；不满足条件，所以p≤
.输出的n的值为4，所以 ，故选A.
428848
13
3．(2019·贵阳适应性考试)某程序框图如图所 示，若该程序运行后输出的值是
，则整数a的值为( )
7

A．6
C．8
B．7
D．9
1
解析：选A 先不管a的取值，直 接运行程序．首先给变量S，k赋值，S＝1，k＝1，执行S＝S＋，
k?k＋1?
1111 11
得S＝1＋，k＝2；执行S＝1＋＋，k＝3；……继续执行，得S＝1＋＋＋…＋
1× 21×22×31×22×3k?k＋1?

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11
?
111
1113
1－
?
＋
?
－?
＋…＋
?
k
－
＝1＋
?
＝2－，由2－＝得 k＝6，所以整数a＝6，故选A.
?
2
??
23
?
?< br>k＋1
?
k＋1k＋1
7


考点三 基本算法语句


2 019π2 019π
[典例] 执行如图程序语句，输入a＝2cos，b＝2tan，则输出y的值是( )
34
INPUT a，b
IF ay＝a(a＋b)
ELSE
y＝a
2
－b
END IF
PRINT y
END

A．3
C．6
B．4
D．－1
?
?
a?a＋b?，a[解析] 根据条件语句可知程序运行后是计算y＝
?
2

?
?
a
－b，a≥b，

2 019π
且a＝2cos＝2cos π＝－2，
3
2 019π3π
b＝2tan
＝2tan ＝－2.
44
因为a≥b，所以y ＝a
2
－b＝(－2)
2
－(－2)＝6，
即输出y的值是6.
[答案] C

[变透练清]

1. 执行如图所示的程序，输出的结果是________．
i＝11
S＝1
DO
S＝S*i

i＝i－1
LOOP UNTIL i<9
PRINT S
END

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解析：程序反映出的算法过程为
i＝11?S＝11×1，i＝10；
i＝10?S＝11×10，i＝9；
i＝9?S＝11×10×9，i＝8；
i＝8<9退出循环，执行“PRINT S”．
故S＝990.
答案：990

2．阅读如图所示的程序．
INPUT a
IF a>2 THEN
a＝2＋a
ELSE
a＝a*a
END IF
PRINT a
END
若输出的结果是9，则输入的a的值是________．
解析：由题意可得程序的功能是计算并输出
?
?
2＋a，a>2，
a＝
?
的值，
?
a×a，a≤2
?

当a>2时，由2＋a＝9得a＝7；
当a≤2时，由a
2
＝9得a＝－3，
综上知，a＝7或a＝－3.
答案：－3或7
[课时跟踪检测]

1
?
2
2) *
?
?
8
?
－
3
1．(2019·湖北八校联考) 对任意非零实数a，b，定义a*b的运算原理如图所示，则(log

＝( )
2
2

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A．1
C．3
解析：选A 因为log

B．2
D．4
1
?
2
4－1
?
22＝3，
－＝4,3<4，所以输出＝1 ，故选A.
2
?
8
?
33
2．执行如图所示的程序框图， 则输出的x，y分别为( )

A．90,86
C．98,78
B．94,82
D．102,74
86
解析：选C 第一次执行循环体， y＝90，s＝＋15，不满足退出循环的条件，故x＝90；第二次执
7
90439441< br>行循环体，y＝86，s＝＋，不满足退出循环的条件，故x＝94；第三次执行循环体，y＝82，s＝ ＋，
7373
不满足退出循环的条件，故x＝98；第四次执行循环体，y＝78，s＝27， 满足退出循环的条件，故x＝98，
y＝78.
3．(2018·云南民族大学附属中学二模 )执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为6，则判断框内可
填入的条件是( )

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1
A．s>
？
2
3
C．s>
？
5
7
B．s>？
10
4
D．s>？
5
947
解析：选B s＝1，k＝9 ，满足条件；s＝，k＝8，满足条件；s＝，k＝7，满足条件；s＝，k＝6，
10510
7
不满足条件．输出的k＝6，所以判断框内可填入的条件是“s>？”．故选B.
104．(2019·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是( )

A．20
C．22
B．21
D．23
解析：选A 根据程序框图可知，若输出的k＝3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第< br>1次时，S＝2×0＋3＝3，执行第2次时，S＝2×3＋3＝9，执行第3次时，S＝2×9＋3＝2 1，因此符合题
意的实数a的取值范围是9≤a<21，故选A.
5．(2019·重庆质检 )执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝－1，n＝1，则输出x，y的值满
足( )

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A．y＝－2x
C．y＝－4x
B．y＝－3x
D．y＝－8x
1
解析：选C 初始值x＝0，y＝－1，n＝1，x＝0，y＝－1，x
2
＋y
2
<36，n＝2，x＝
，y＝－2，x
2
＋y
2<36，
2
33
n＝3，x＝
，y＝－6，x
2
＋y< br>2
>36，退出循环，输出x＝
，y＝－6，此时x，y满足y＝－4x，故选C. < br>22
6．(2018·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果s＝1 32，则判断框中可
以填( )

A．i≥10?
C．i≤11?
B．i≥11?
D．i≥12?
解析：选B 执行程序框图，i＝12，s＝1； s＝12×1＝12，i＝11；s＝12×11＝132，i＝10.此时输出
的s＝132，则判断 框中可以填“i≥11？”．
7．(2019·漳州八校联考)执行如图所示的程序，若输出的y的值为1，则输入的x的值为
( )

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INPUT x
IF x>＝1 THEN
y＝x
2
ELSE

y＝－x
2
＋1
END IF
PRINT y
END
A．0
C．0或1
B．1
D．－1,0或1
解析：选C 当x≥1时，由x
2
＝1得x＝1或x＝－1(舍去)；当x<1时，由 －x
2
＋1＝1得x＝0.∴输入
的x的值为0或1.
8．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝4，则输出的s＝( )

A．10
C．20
B．16
D．35
解析：选C 执行程序框图，第一次循环，得s＝4，i＝2；
第二次循环，得s＝10，i＝3；
第三次循环，得s＝16，i＝4；
第四次循环，得s＝20，i＝5.
不满足i≤n，退出循环，输出的s＝20.
9.(2018·洛阳第一次统考)已知某算法的程序框图如图所示，则该
( )
A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和
B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和
C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和
D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和
解析：选D 由程序框图得，输出 的S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…
算法的功能是

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＋(2×2 019－1)，可看作数列{2n－1}的前2 019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列
的前1 010项和．故选D.
10．(2018·郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值
范围是( )

A．(30,42]
C．(42,56]
B．(30,42)
D．(42,56)
解析：选A k＝1，S＝2，k＝2； S＝2＋4＝6，k＝3；S＝6＋6＝12，k＝4；S＝12＋8＝20，k＝5；S
＝20＋10 ＝30，k＝6；S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足S＝42A.
11．(2019·石家庄调研)20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想， 规则如下：任意写出一个自然
n
数n，按照以下的规律进行变换，如果n是奇数，则下一步变成 3n＋1；如果n是偶数，则下一步变成
.
2
这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么 庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4
－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子 ，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，
则输入的n值为( )

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A．5或16
C．5或32
B．16
D．4或5或32
解析：选C 若n＝5， 执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i
＝ 6，结束循环，输出的i＝6.若n＝32，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝ 4；n＝2，i
＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的i＝6.当n＝4或16时，检验可知不正确 ，故输入的n＝5或32，故选
C.
12．(2018·贵阳第一学期检测)我国明朝数学家 程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一
百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一 个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此
题的一个求解算法，则输出的n的值为( )

A．20
C．30
B．25
D．35
802
解析：选B 法一：执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋＝86≠100；
33
791
n＝21，m＝79，S＝63＋
＝89≠100；
33

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78
n＝22，m＝78，S＝66＋
＝92≠100；
3
772
n＝23，m＝77，S＝69＋
＝94≠100；
33
761
n＝24，m＝76，S＝72＋
＝97≠100；
3 3
75
n＝25，m＝75，S＝75＋
＝100，退出循环．所以输出的n＝25.
3
法二：设大和尚有x个，小和尚有y个，
x＋y＝100，
?
?
?
?
x＝25，
则
?
解得
?

1
?
y＝75，
3x＋y＝100，
?
?
3
?


根据程序框图可知，n的值即大和尚的人数，所以n＝25.
13．已知函数 y＝lg|x－3|，如图所示程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值y的算法．请将该
程序框图 补充完整．其中①处应填________，②处应填________．

?
?< br>lg?x－3?，x>3，
解析：由y＝lg|x－3|＝
?
及程序框图知，① 处应填x<3？，②处应填y＝lg(x－3)．
?
lg?3－x?，x<3
?

答案：x<3？ y＝lg(x－3)
14．执行如图所示的程序框图，若输入的N＝20，则输出的S＝________.

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解析：依题意，结合题中的程序 框图知，当输入的N＝20时，输出S的值是数列{2k－1}的前19项和，
即
19?1＋3 7?
＝361.
2
答案：361
15．执行如图所示的程序框图，则输出的λ是________．


解 析：依题意，若λa＋b与b垂直，则有(λa＋b)·b＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝0，解得λ＝－ 2；若λa＋b
与b平行，则有－2(λ＋4)＝4(－3λ－2)，解得λ＝0.结合题中的程序框图 可知，输出的λ是－2.
答案：－2
16．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为________．

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解析：当条件x≥0，y≥0， x＋y≤1不成立时，输出S的值为1，当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立时，
x≥0，
?
?
?
y≥0，
?
?
x＋y≤1
输出S＝2x＋y ，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．作出不等式组

表示的平面区域如图中阴影部分所 示，由图可知当直线S＝2x＋y经过点
最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S的最大值为2.
答案：2

M(1,0)时S