高中数学抽象举例-高中数学人教版必修三第二章总结
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排列组合中的常用方法
1.排列数：<
br>P
n
?n(n?1)(n?2)???(n?m?1)?
m
n!
，（其中m≤n，m、n?N）.
(n?m)!
注意：为了使m=n时，
P
n
?P
n
?
mn
n!
?n!
公式成立，我们规定
0！?1
（同时
1！?1
）.
(n?n)!
P
n
m
n(n?1)(n?2)???(n?m?1)n!
(n,m?N
?
,且m?n)
2.组合数：
C?
m
??
P
m<
br>m(m?1)(m?2)???3?2?1m!?(n?m)!
m
n
mn?m<
br>?
C
n
?C
n
(n,m?N,且m?n)
.
注意：为了使m=n时，
C
n
?C
n
公式成立，我们规定
C
n
?1
，
所以<
br>C
k
?C
k?1
?C
k
?C
k?1
?1
；
3.排列组合问题联系生活实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组
合问题，
首先要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题或是排列与组合综合问题；其次要抓住问题<
br>的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
4.排列组合中的常用方法如下：
（1）特殊元素和特殊位置问题——优限法
（2）多元问题——合理分类与分步法
（3）相邻问题——捆绑法
（4）不相邻问题——插空法
（5）定序问题——倍缩法
（6）重排问题——求幂法
（7）平均分组问题——除序法
（8）分组问题——隔板法
（9）分配问题——先分组后排列法
（10）球盒问题
（11）区域涂色问题——分步与分类综合法
（12）“至少”“至多”问题或者部分符合条件问题——排除法或分类法（“正难则反”策略）
（13）元素个数较少的排列组合问题——枚举法
（14）复杂的排列组合问题——分解与合成法
00kk?1
n00
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1.特殊元素和特殊位置问题——优限法
元素分析法和位置分析法是解决排列组合问题最常用
也是最基本的方法，若以元素分析为
主，则先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位置分析为主，则先
满足特殊位置的要求，再
处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其
它条件。
例1.从含有甲乙的
6
名短跑运动员中任选
4
人参加4*
100米接力，问其中甲不能跑第一棒，且
乙不能跑第四棒的概率是_____________
2.多元问题——合理分类与分步法
例2.（1983第1
届美国高中数学邀请赛）数1447，1005和1231有某些共同点，即每个数都是
首位为1的四位
数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？
3.相邻问题——捆绑法
将n个不同元素排列成一排，其中某
k
个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？
先将这
k
个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，
共有
P
n?k?1
k
n?k?1
种排法，然后再将“捆绑”在一起的
元素进行内部排列，共有
P
k
种方法。由乘法原理得，符合
n?k?1k条件的排列共
P
n?k?1
?P
k
种。
例3.六种不
同的商品在货架上排成一排，其中
a,b
两种必须排在一起，而
c,d
两种不
能排在一
起，则不同的选排方法共有
______
种。
4.不相邻问题——插空法
不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素
全排列，再把规定的相邻的几个元素插入上述
几个元素的空位和两端。将
n
个不同元素
排成一排，其中
k
个元素互不相邻
(k
≤
n?k)
，有多<
br>少种排法？先把
(n?k)
个元素排成一排，然后把
k
个元素插入(n?k?1)
个空隙中，共有排法
P
n
k
?k?1
种
。
例4.某班新年联欢会原定的
6
个节目已排成节目单，开演前又增加了
3
个新节目，如果将这
3
个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为________
______
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5.定序问题——倍缩法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用
缩小倍数的方法，此法也叫作消
序法。如将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，
有多少种不同排法？
将n个不同元素排列成一排，共有
P
n
种排法；k个不同
元素排列成一排共有
P
k
种不同排法。
nk
P
n
n
于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的
P
分之一。故符合条件的排列共有
k
种。
P
k
k
k
例5.（2013浙江）将A,B,C,D,E,F
六个字母排成一排，且
A,B
均在
C
的
同侧，则不同的排
法共有________种。
6.重排问题——求幂法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各
个元素的位
置。一般地，n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
种。
例6.把7个不同的小球放入4个不同的盒子，共有_______种不同的方法。
7.平均分组问题——除序法
平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以阶乘n!
(
n
为
均分的组数)，避免重复计数。
例7.已知
3
名医
生和
6
名护士被分配到
3
所学校为学生体检，每校分配
1
名
医生和
2
名护士，不
同的分配方法共有_________种。
8.分组问题——隔板法
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素
，可以用m-1块隔板，
插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法种数为
C
n?1
.
例8.有
5
本相同的数学书和
3
本相同的语文书
，要将它们排在同一层书架上，并且语文书不能
放在一起，则不同的放法数为____________
_
9.分配问题——先分组后排列法
例9.将9个学生分
配到3个不同的三个宿舍，每宿舍至多4人（床铺不分次序），则不同的分
配方法有多少种？
m?1
n
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10.球盒问题
例10.（1）8个相同的球放入3个相同的盒子，不能有空盒的放法种数等于_________ <
br>（2）8个相同的球放入3个相同的盒子，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数等
于
_________
（3）8个相同的球放入3个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数为__________
（4）8个相同的球放入3个不同的盒子中，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数
为___
_______
（5）8个不同的球放入3个相同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于__________
（6）8个不同的球放入3个相同的盒子中，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种数
等于_
_________
（7）8个不同的球放入3个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于__________
（8）8个不同的球放入3个不同的盒子中，可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放法种
数
等于_____
总结：
（1）ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n≥m），不
能有空盒的放法种数等于ｎ分解为ｍ个正
整数的和的种数。
（2）ｎ个相同的球放入ｍ个相同
的盒子（n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的放
法种数等于将ｎ分解为ｍ个、(ｍ－1)
个、(ｍ－2)个、…、2个、1个正整数的和的所有种数之
和。
（3）ｎ个相同的球放入ｍ
个不同的盒子中（n≥m），不能有空盒的放法种数为：
C
n?1
.
（4）
ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）可
以转化为先将
(ｎ+m)个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），不能有空盒，然后再从每个盒
子中取出一个球
即可，所以ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），可以有空盒（但至少
有一个盒子有球）的放
法种数为
C
n?m?1
.也可以多次利用隔板法，ｎ个相同的球放入ｍ个不同的
1111
C
n
m?1
?1
?C
n?2
?C
n?3
?...?C
n?m?1
?C
n
盒子中（n≥m），可以有
空盒的放法种数为得出：
?m?1
.
(m?1)!
m?1
m?1
不等于ｍ种。
（5）ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n
≥m），不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球
分成ｍ堆的种数。
（6）ｎ个不同的球放入
ｍ个相同的盒子中（n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的
放法种数等于将ｎ个不同的球分
成ｍ堆、(ｍ－1)堆、(ｍ－2)堆、…、2堆、1堆的所有种数之
和。
（7）ｎ个不同的
球放入ｍ个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆
的种数再乘以ｍ！. （8）ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥m），可以有空盒（但至少有一个盒子有球）的
ｎ
放法种数等于ｍ种。
注意：
（1）解决球盒问题的基本思路是先把球分组再把球分配，即先组合后排列。
（2）当球和盒
子都相同时，只需把球分组即可、不需分配。且分组时不能运用组合公式，因为
ｎ
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使用组合公式的前提是各元素要不同。
（3）当球相
同、盒子不同时，运用隔板法（盒子不能空）或者连续隔板法（盒子可以空，注意
排除重复计数的情况）
把球分组即可、不需分配，球相同时不能使用组合公式分组，这里运用
组合公式分组实际上已经把分配的
排序问题解决了。
（4）当球不同、盒子相同时，只需使用组合公式把球分组即可、不需分配。分组过
程中存在平
均分组时需要倍缩除序。
综合（3）和（4）可知，当球和盒子中有一项不同时，
只需分组不需分配：当球相同、盒子不
同时，运用隔板法或者连续隔板法分组；当球不同、盒子相同时，
使用组合公式分组。
（5）当球和盒子都不同时，只需使用组合公式把球先分组，然后再分配（盒子不
能空）或者分
步分配每个球（盒子可以空）。
11.区域涂色问题——分步与分类综合法
解答区域涂色问题，一是根据分步计数原理，对各
个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜
色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类。以上三
种方法常会结合起来使用。
例11.某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示
的6个点A、B、C、A
1
、
B
1
、C
1
上各装一
个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个
的安装方法共有_____
_______种。
12.“至少”“至多”问题或者部分符合条件问题——排除法或分类法（“正难则反”策略）
例12.四面体的顶点和各棱中点共
10
个点，在其中取
4
个不共面的点，
则不同的取法共有_________
13.元素个数较少的排列组合问题——枚举法
例13.已知
3
人相互传球
，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过
5
次传球后，球仍回到甲的
手中，则不同的
传球方式有______种。
14.复杂的排列组合问题----
分解与合成法
分解与合成法是排列组合问题的一种最基本的解题策略，即把一个复杂问题分解成几个小
问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从
而
得到问题的答案。每个比较复杂的问题都可以用这种解题策略。
例14.自然数30030能被多少个不同偶数整除？
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变式训练：
1.（2012全国Ⅰ）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行
、每列都没有重复数字，下面是一
种填法，则不同的填写方法共有_____________种。
2.设
，
，
，
是
，
，
，
的一个排列，把排在
的左边且比
小的数的个数称为
的顺序数
，
，
，
如在排列6，5，4，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为
则
在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺
序
数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为__________
3.设集合
A?{
?
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
?
|x
i
?
?
?1,0,1
?
,i?1,2,3,4
}
，那么集合
A
中满足条件：
2222
“
x
1<
br>?x
2
?x
3
?x
4
?4
”的元素个数为_
_________
4.设集合
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，那么集合
A
中
满足条件“
”的元素个数为______________
5.如图所示，在以AB为直径的半圆周上，
有异于A，B的六个点C
1
、C
2
、…、C
6
，直径AB上
有
异于A、B的四个点D
1
、D
2
、D
3
、D4
.则：
（1）以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
（2）以这1
0个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C
1
的有多
少个？
6.将25人排成5×5方阵，从中
选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选
法为__________种。
7.学生在拼写“hollywood”可能的拼写错误有_________种。
8.将2
0个相同的小球，全部装入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子内所放的球数不小于
盒子的编号数
，则共有________种不同的放法。
9.（2015静安区一模）两名高一学生被允许参加高二
年级象棋比赛，每两名参赛选手之间都比
赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分；两名高
一学生共得8分，，且每名高二学
生都得相同分数，则有________名高二学生参赛。
10.马路上有编号为1，2，3…，9九只相同路灯，现要关掉其中的三盏，但
不能关掉相邻的二
盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有_________种。
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11.有7个灯
泡排成一排，现要求至少点亮其中的3个灯泡，且相邻的灯泡不能同时点亮，则不
同的点亮方法有___
____种。
12.已知方程
x?y?z?w?100
，这个方程的自然数解的
组数为_______
13.如图，点
P
1
，
P
2
，…，
P
10
分别是四面体顶点或棱的中点，则在同一平面上的四点组
?
P，P，P，P
?
?
1?i?j?k≤10
?
有_____
________个。
1ijk
P
1
P
2
P
7<
br>P
5
P
6
P
3
P
4
P
10
P
9
P
8
5
个不同的颜色，并且14.将正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的
各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有
图 17-2
涂好了过顶点
A
的
3
个面的颜色，那么其余
3
个面的涂色方案共有________种。
15.用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求
有公共边的区域涂不同颜色，
一共有
______
种不同的涂色方法。
16.平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。
求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）？
（2）这些直线交成多少个三角形？
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17.按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
（1）6个不同的小球放入4个不同的盒子；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
1
8.包含甲在内的甲、乙、丙
3
个人练习传球，设传球
n
次，每人每次只能传
一下，首先从甲手
中传出，第8次仍传给甲，共有多少种不同的方法？