高中数学困惑及解决方法-高中数学五三选修2-2答案
TSHOW文化2012年高二数学选修(2—3) ---------------
编讲:杨老师
高二数学选修(2—3)部分
排列、组合
⊙高考要求
排列、组合是每年高考必定考查的内容之一,纵观全国高考数学题,每年都有1~2道排列组合题,考查
排列
组合的基础知识、思维能力。
⊙重难点归纳
1、排列与组合的应用题,
是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问题,解决这类问题通常有三种
途径:
(1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素
(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置
(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数
前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接(剔除)解法。
2、在求解排列与组合应用问题时,应注意:
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
(3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;
(4)列出式子计算和作答
3、解排列与组合应用题常用的方法有:直接计算法与间接(剔除)计算法;分类法与分步法;元素分析法和位
置分析法;插空法和捆绑法等八种。
4、经常运用的数学思想是:
①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想
⊙解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1、认真审题弄清要做什么事
2、怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分
步与分类同时进行,确定分多少步及多少类
3、确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素
4、解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略
一、特殊元素和特殊位置优先策略
例1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数?
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
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1
①先排末位共有
C
3
1
②然后排首位共有
C
4
3
③最后排其它位置共有
A
4
113
由分步计数原理得
C
4
C
3
A
4
?288
C
4
1
A
4
3
C
3
1
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特
殊元
素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约
束条件,往往是
考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
二、相邻元素捆绑策略
例2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法?
解:可先将甲
乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,
52
2
同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
A
5
A
2
A
2
?480
种不同的排法
甲乙
丙丁
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
三、不相邻问题插空策略
例3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有
A
5
5
种,第二步
将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首
44
尾两个空位共有种
A
6<
br>不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有
A
5
5
A
6
种元素相离问题可先把没有位
置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
四、定序问题倍缩空位插入策略
例4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法?
解:(倍缩法)对于某几个
元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数
3
除以
这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:
A
7
7
A
3<
br>
4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A7
种方法,其余的三个位置甲乙丙共有
1种坐法,
4
则共有
A
7
种方法。
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五、重排问题求幂策略
例5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法?
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7
种分依此类推,
由分步计数原理共有
7
种不同的排法
允许重复的排列问题的
特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一
般地n不同的元素没
有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
种
六、环排问题线排策略
例6、8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没
有首尾之分,所以固定一人
A
4
4
并从此位置把圆形展成直线其
余7
人共有(8-1)!种排法即
7
!
n
6
C
D
E
F
G
H
B
A
AB
C
DEFGHA
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n
-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
七、排列组合混合问题先选后排策
略
例8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
1
m
A
n
n
2
解:第一步从5个球中选
出2个组成复合元共有
C
5
种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同
的
24
盒内有
A
4
4
种方法,根据分步计数原理装球的方法
共有
C
5
A
4
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?
八、正难则反总体淘汰策略
例11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字
中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种?
解:这问题中如果直接求不小于1
0的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所
123
312
取的三个数含有3个偶数的取法有
C
5
,只含有1个偶数的取法有
C
5
。再
C
5
?C
5
C
5
,和为偶数的取
法共有
C
5
123
淘汰和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有
C
5
C
5
?C
5
?9
有些排列组合问
题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
九、平均分组问题除法策略
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例12、 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?
222
解: 分三步取书得
C
6
C
4
C
2
种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二
步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则
222
C
6
C
4
C
2
中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(C
D,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有
A
3
3
种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)
222
一种分法,故共有
C
6
C
4
C
2
A
3
3
种分法。
平
均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
A
n
n<
br>(
n
为均分的组数)
避免重复计数。
十、数字排序问题查字典策略
例18、由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数? 54321
解:
N?2A
5
?2A
4
?A
3<
br>?A
2
?A
1
?297
数字排序问题可用查字典法
,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理
求出其总数。
★ ★★★课后练习:
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.由1,4,5,
x这四个数字组成无重复数字的四位数,若所有四位数的各位数字之和为288,则x等于( )
A.2
C.6
B.3
D.8
2
.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排
法共有( )
A.1 440种
C.720种
B.960种
D.480种
3.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A.72
C.108
B.96
D.144
4.某单
位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排
在相
邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有( )
A.504种
C.1 008种
B.960种
D.1 108种
5.某校开设A
类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,
则不同的选
法共有( )
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编讲:杨老师
A.30种
C.42种
B.35种
D.48种
6.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、
女医生都有,则不同的组队
方案共有( )
A.70种
C.100种
B.80种
D.140种
7.某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(
端午节假期)值班,每天安排2人,每人值班1天.若6
位员工中的甲不值14日,乙不值16日,则不
同的安排方法共有( )
A.30种
C.42种
B.36种
D.48种
8.在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中,与正八边形没有公共边的三角形有( )
A.24个
C.16个
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为________.
10.A,B,C,D,E五人并排站成一行
,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数是________.
11.甲组有5名
男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,
则选出的4
人中恰有1名女同学的不同选法共有________.
12.按ABO血型系统学说,每个人的血型
为A,B,O,AB四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少
有一人的血型是AB型时,子女一定
不是O型,若某人的血型为O型,则父母血型所有可能情况有________种.
三、解答题(每小题10分,共20分)
13.7位同学站成一排,
(1)其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
(4)其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种?
(5)甲、乙和丙三名同学必须相邻的排法共有多少种?
(6)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种?
(7)甲、乙两名同学间恰好间隔2人的排法共有多少种?
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B.48个
D.8个
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编讲:杨老师
14.用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,由小到大排列.
(1)第114个数是多少?
(2)3 796是第几个数?
15.(10分)明年高考后,我们就要填报志
愿啦!下面是高考第一批录取志愿表,假若你已经选中了较为满意
的8个学校和5个专业,若表格填满没
有重复,同一学校的专业也没有重复的话,那么你将有多少种不同的填写
方法?
学校
一
二
16.某学习小组有8名学生,从男生中选2人
,女生中选1人,参加三种不同的活动,要求每项活动均有一人
参加,共有180种不同的选法,那么该
小组中男、女同学各有多少人?
共7页 第6页
专业
1
2
3
4
5
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编讲:杨老师
17.如图,在∠AOB的两边上,分别有3个点和4个点,连同角的顶角在内共8个点
,问这
8个点能作多少个三角形?
18.(10分)袋中有大小相同的4个红球和6个白球,从中取出4个球.
(1)若取出的红球个数不少于白球个数,则有多少种不同的取法?
(2)取出一个红球记2
分,取一个白球记1分,若取出4球的总分不低于5分,则有多少种不同的取法?
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