高考考前复习资料—高中数学排列组合易错题分析

高考考前复习资料—高中数学排列组合易错题分析
排列组合问题类型繁多 、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中
学生常见的错误进行正误解析，以 飨读者.
1没有理解两个基本原理出错
排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和 乘法原理，故理解“分类用加、分步用
乘”是解决排列组合问题的前提.
例
1
（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少
有原装与组 装计算机各两台,则不同的取法有 种.
误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台 原装与2台组装计算机，所以只有2
种取法.
错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2 台原装与3台组装计算机或是3台原装与2
台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还 有不同的取法.
正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台 ，有
2323
种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有
C
5
种方法，据乘法原理共有
C
6
种方法.
C
6
?C
5
32
同理，完成第二类办法中有
C
6
种方法.据加法原理完成全部的 选取过程共有
?C
5
2332
C
6
?C
5
?C
6
?C
5
?350
种方法.
例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共
有（ ）种.
3
3
（A）
A
4
（B）
4
3
（C）
3
4
（D）
C
4

误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.
错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.
正解：四项比赛的冠军依次 在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法
原理共有
3?3?3?3?3< br>4
种.
说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得
4
3
.这是由于没有考
虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可 能.
2判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的 组成有没有顺序性，有顺序的是排列，
无顺序的是组合.
例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方
法？
8
误解：因为是8个小球的全排列，所以共有
A
8
种方法.
错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同
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色球之间互换位置是同一种排法.
正解：8个小球排好后对应着 8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红
3
球，剩下的位置给白球，由于这 3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：
C
8
?56
排法 .
3重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免 重复计数，产
生错误。
例4（2002年北京文科高考题）5本不同的书全部分给4个学生， 每个学生至少一本，不同
的分法种数为（ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种
4
误解：先 从5本书中取4本分给4个人，有
A
5
种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4< br>4
种分法，共有
4?A
5
?480
种不同的分法，选A. < br>错因分析：设5本书为
a
、
b
、
c
、
d、
e
，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如
下的表1和表2：


乙 甲
丙
丁
丙
丁
甲
乙
b

b

d

d

a


c

e

c

e

a


表1 表2
表1是甲首先分得
a
、乙分得
b
、丙分得
c
、丁分得
d
，最后一本 书
e
给甲的情况；表2是甲首
先分得
e
、乙分得
b
、丙分得
c
、丁分得
d
，最后一本书
a
给甲的情况.这两种 情况是完全相同的，
而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次.
正解：首先把5本书 转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑
24
成一本书，有C
5
种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有
A
4
种方法 .由乘法原理，共有
24
C
5
?A
4
?240
种方 法，故选B.
例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，
其不同的排法共有（ ）种.
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630
误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再 进
223
C
5
A
3
?1260
，选B. 行全排列 .共有：
C
7
错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第 二人挑选的是周三、
周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在 全排列的过
程中就重复计算了.
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223
C
7
C
5
A
3
正解：
?630
种.
2
4遗漏计算出错
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。
例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）
（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个
误解：如右图，最后一位只能是1或3有两种取法，
又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取
0


1，3
22
法，剩下3个数排中间两个位置有
A
3
种排法 ，共有
2?3?A
3
?36
个.
错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数.
3
正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有
2?3?A
3
?36
个，再由前面 分析四位数个数和五
位数个数之和共有72个，选D.
5忽视题设条件出错
在解决 排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解
或者漏解.
例7 (2003全国高考题)如图，一个
地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）
误解：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂 相对的两
12
块区域，有
C
3
?2?A
2
?12< br>种，由乘法原理共有：
4?12?48
种.
2
3
1
4
5
错因分析：据报导，在高考中有很多考生填了48种.这主要是没有看清题设 “有4种颜色可
供选择”，不一定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务.
．．正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4
3
种颜色中选取3种有
C
4
种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四 个区域，只能
3
是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由 乘法原理有
C
4
?3?2?24
种.综上共有：
48?24?72< br>种.
例8 已知
ax
2
?b?0
是关于
x
的一元二次方程，其中
a
、
b?{1,2,3,4}
，求解集不同的一元二< br>次方程的个数.
2
误解：从集合
{1,2,3,4}
中任意取两个元 素作为
a
、
b
，方程有
A
4
个，当
a、
b
取同一个数时方
2
?1?13
个. 程有1个，共有
A
4
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错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解 集不同的??”所以在上述解法中要去掉同解
．．．．
情况，由于
?
?
a?1
?
a?2
?
a?2
?
a?4
和
?
和
?
同解、
?
同解，故要减去2个。
b?2b?4b?1 b?2
????
正解：由分析，共有
13?2?11
个解集不同的一元二次方 程.
6未考虑特殊情况出错
在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.
例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张 ，从
中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
误解：因为共有人民币10张，每张人民币 都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共
有
2
10
?1?1023
种.
错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、
取一张和取二张3种情况.
正解：除100元人民币以外每张均有 取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减
去全不取的1种情况，所以共有
2
9
?3?1?1535
种.

7题意的理解偏差出错
例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.
86384
3533
（A）
A
6
（B）
A
8
（C）
A
5
（D）
A
8

?A
6
?A
3
?A
6
?A
5
?A
3
5
误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先 排，有
A
5
种排法，5人排好后产生6个空档，插入
35
3
甲、乙、丙三人有
A
6
种方法，这样共有
A
6
种排法，选A .
?A
5
错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结 果是“甲、乙、
丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相 邻，但
．．．．
允许其中有两人相邻.
正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙 、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人
863
不相邻的方法数，即
A
8
，故选B.
?A
6
?A
3
8解题策略的选择不当出错 < br>有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难，要采取适当的解决策略，如间接法、插入
法、捆 绑法、概率法等，有助于问题的解决.
例10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社 会实践，其中工厂甲必须有班级
去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.
（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）48种 误解：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有
3?4?4? 48
种方案.
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错因分析：显然这里有重复计算.如：
a
班先派去了甲工厂，
b
班选择时也去了甲工厂，这与
b
班先派去 了甲工厂，
a
班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的
情 况，并且这种重复很难排除.
正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂 无人去的情况，即：
4?4?4?3?3?3?37
种方案.
排列组合问题虽然种类 繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类
用加、有序排列、无序组合”，留心 容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好.


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