初高中衔接课程第二讲：二次根式——初遇分母(子)有理化

初高中衔接课程第二讲：二次根式——初遇分母（子）有理化

一、学习目标：
1. 了解无理式、有理式的概念，进一步熟悉二次根式的运算方法。
2. 能进行二次根式的运算和化简，会进行分母有理化。

二、学习重点：
二次根式的化简与运算

三、课程精讲：
1. 知识回顾：
1）二次根式
式子
a
（a≥0）叫做二次根式。
2）最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；② 被开方数中
含能开得尽方的因数或因式。 这样的二次根式叫做最简二次根式。
3）同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次
根式。
4）二次根式的性质
?
a(a?0)
?
?
0(a?0)< br>?
?a(a?0)
2
①（
a
）
2
=a（a≥ 0）； ②
a
=│a│=
?
；
bb
?
a
（b≥0，a>0）③
ab
=
a
·
b
（ a≥0，b≥0）； ④
a
。

例1. 填空题：
2
（1）若式子
x?3?2
有意义，则x的取值范围是_______。 < br>2
（2）实数a，b，c如图所示，化简
a
－│a－b│+
(b?c)
=______。
2

思路导航：回忆二次根式的定义与性质
解答：（1）由x－3≥0及
x?3
－2≠0，得x≥3且x≠7。
（2）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b│>│c│
2
2
(b?c)
a
∴=－a，－│a－b│=a－b，=b+c
2
2
(b?c)
a
∴－│a－b│+=c。

例2. 选择题：
（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A.
C.
3
和
18



1
B.
3
和
3

2
a
2
b和aba
22
b

和ab

D.

a?1D和.a??1和a?1
D.
x
;3)x
2
?xy;4)27abc
5
中，最简二次根式 是（ ）
D. 1） 4）
a
2
?b
2
;2)
（2）在根式1）
A. 1） 2） B. 3） 4） C. 1） 3）
a?b
（3）已知a >b>0，a+b=6
ab
，则
a?b
的值为（ ）
2
A.
2
B. 2 C.
思路导航：回忆同类二次根式、最简二次根式的概念
1
2
D.
2

解答：（1）∵
18
=3
2
，∴
3
与
18
不是同类二次根式，A错。
11
3
3
=
3
，∴
3
与
3
是同类二次根式，∴B正确。
∵
ab?|b|a,ab
=│a│
b
，
∴C错，显然，D也错，∴选B。
（2）选C。
（3）∵a>b>0，∴（
a
+
b
）
2
=a+b+2
ab
=8
ab
，（
a
－
b
）
2
=a+b－2
ab
=4
ab

22
(a?b)2
4ab1a?b2
??,??
2
2
，故选A。
8ab
2
a?b
∴
(a?b)
2、新知探密：
知识点一：二次根式的性质
（1）无理式：根号下含有字母、且不能开得尽方的式子称为无理式。
例如
3a?a?b?2b
，
a?b
等是无理式，
（2）有理式：如

例1. 化简下列各式
22
6
(1? x)?(2?x)(x?1)
4xy(x?0)
（1）（2）
222
2x2
?
2
x?1
22
2
2
，
x?2xy ?y
，
a
等是有理式。
。
思路导航：应用性质
a
=│
a
│
解：（1）
2< br>4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)

（2）原式=
x?1?x?2

①当
1?x?2
时，原式=1

②当
x?2
时，原式=2
x?3

点津：化简绝对值中含有字母的式子时，要注意绝对值符号内式子的符号（即正、负性）

知识点二：分母（子）有理化
把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代 数式相乘，?若它们的
积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
分母有理化的 方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；
而分子有理化则是分母和分子都 乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程

例2. 计算：
3?(3?3)
。
思路导航：去掉分母中的根号
3
解法一：
3?(3?3)
＝
3?3

3?(3?3)
＝
(3?3)(3?3)

33?3
＝
9?3

3(3?1)
6
＝
3?1
＝
2
。
3
解法二：
3?(3?3)
＝
3?3

3
＝
3(3?1)

1
＝
3?1

3?1
＝
(3?1)(3?1)

3?1
＝
2
。
点津：在二次根式的化简与运算过程中，二次根式 的乘法可参照多项式乘法进行，运算
中要运用公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而 对于二次根式的除法，通常先写成分式的形
式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项 式的加减法类似，应在化简的
基础上去括号与合并同类二次根式。

2
例3. 化简 ：（1）
(1?a?b)(1?a?b)?(a?b)

aa
?
（2）
a?aba?ab

思路导航：多项式乘法公式、分式法则
22
解：（1）原式=
(1?b)? (a)?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?1

aa112a
????
a(a?b)a?ba?b
a?b
（2）原 式=
a(a?b)
点津：二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式
②被开方数中各项的次数不高于1。
x?
仿练：已知
思路导航：先化简再求值。
3?23?2
,y?< br>22
3?23?2
，求
3x?5xy?3y
的值。
x?y?
解：∵
3?23?2
??(3?2)
2
?(3?2)
2?10
3?23?2
，
3?23?2
??1
3?23?2
，
2222
∴
3x?5xy?3y?3(x?y)?11xy?3?10?11?289
。
xy?
点津：有关代数式求值问题：（1）要注意已知条件与所求值的代数式的关系，先化简再
求值 （2） 当直接代入运算较为复杂时，可根据结论式的结构特点，倒推几步，再代入条件，
有时整体代换可简化计 算量。

【拓展篇】
例4. 试比较下列各组数的大小：
12?11
和
11?10
。
思路导航：有些问题，按常规的思路解 比较麻烦，为了化繁为简，减少计算量，可以利
用数与式的特点，对其适当的变形，这种变形其实是一种 解题技巧。
12?11?
解：∵
12?11(12?11)(12?11)1
??
1
12?1112?11
，
11?10?
11?10(11 ?10)(11?10)1
??
1
11?1011?10
，
又
12?11?11?10
，
∴
12?11
＜
11?10
。
点津：比较两个无理数的 大小的一般方法是：通过平方，把无理数化为有理数来比较大
小。但本题巧妙的运用有理化知识，将分子 有理化后，转化为比较分母的大小，计算量小，
解法简便。
2
仿练：比较
6?4
和
22－6
的大小
22－6 ?
解：∵
22－6(22－6)(22+6)2
??,
1
22+62 2+6

又 4＞2，
∴＋4＞＋2，
2
∴
6?4
＜
22－6
。

20042005
(3?2)?(3?2)
例5. 化简：。
思路导航：运用乘法公式简化计算
20042005
(3?2)?(3?2)
解：
20042004
(3?2)?(3?2)?(3?2)
＝
?
(3 ?2)?(3?2)
?
?
＝
?
＝
1
2004
2004
?(3?2)

?(3?2)

＝
3?2
。
点津：对于化简的题目，首先应仔细观察题目，观察多项式之 间是否存在某种内在联系。
如本题
3?2
与
3?2
互为有理化因式， 那么结合幂的运算性质，可以极大的简化计算。

例6. 化简：（1）
9?45
； （2）
思路导航：将被开方式凑成完全平方式
解：（1）原式
?5?45?4

x
2
?
1
?2(0?x?1)
2
x
。
?(5)
2
?2?2?5?2
2

?(2?5)
2

?2?5
?5?2
。
1
1
(x?)
2
?x?
x
，
x
（2）原式=
∵
0?x?1
，
1
?1?x
∴
x
，
1
?x
x
所以，原式＝。
点津：对于根式的化简，往往需要被开 方式凑成完全平方式，这是常用的化简方法。注
意结合完全平方公式合理进行凑配。

【点击高中】
1、推导椭圆方程．
化简：
(x?c)?y?(x?c)?y?2a(a?c?0)

解： 2222
(x?c)
2
?y
2
?(x?c)
2
?y
2
?2a(a?c?0)
---①

4cx
将 ①式左边分子有理化，得
即
(x?c)?y?(x?c)?y
2cx
a
---②
2222
?2a
．
(x?c)
2
?y
2
?(x?c)
2
?y
2
?
22
a
2
?c
2
22
c
x?y?a
2
?c
2< br>(x?c)?y?a?x
2
a
， 两边平方整理，得
a
由①+②可得
b
2
2
x
2< br>y
2
22
x?y?b
?
2
?1
222
2
2
(a?b?0)
．
b?a?c
b
又，故
a
，即
a

2、解不等式：
x?2x?7?2x?5x?3?0
．
22
?x< br>2
?3x?4
解：原不等式左边分子有理化，得
x?2x?7?2x?5x?3
22
?0

??x
2
?3x?4?0
， 解得
?1?x?4
．
故原不等式的解集是
(?1,4)
．

【小结】
上述两小题直接证明都较有困难．但深入分析数式结构，运用构造思维， 结合分子有理
化就能打通思路，使论证顺利进行，可见运用分子有理化能使得问题的解决柳暗花明。
在高中，分子、母有理化是根式运算的基本要求，它在解方程、解不等式、证明不等式
等诸多方面都有广泛的体现，这已得到广大高中同学们的重视和认可．希望同学们在进入高
中以后也能够 充分重视它们在运算中的作用．

四、知识提炼图


五、目标期望
同学们在初中已经学习过被开方数是实数的根式运算，对被开方数是字母的情形 并没有
深入接触，而且在初中没有学习分母有理化和分子有理化等化简技巧，而这些根式的运算技
巧在高中数学中会经常用到。希望本节课后同学们能够熟练地进行根式的化简和运算。

六、下讲预告
下节课我们将学习重要的恒等变形——因式分解，主 要介绍初中没有提及到的乘法公式
法、十字相乘、分组分解法等。

【同步练习】（答题时间：45分钟）
（一）选择题
1. 函数
y?2x?1
中自变量
x
的取值范围是（ ）
111
x≤?x≤
2

2

2
A. B. C. D.
2
?(x?y)
x?1?1?x
2. 若，则x－y的值为（ ）
x≥?x≥
A. －1 B. 1 C. 2
3. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
D. 3
1
2

A.
7
B.
3



C.
1
2
D.

2

4. 估算
27?2
的值（ ）
A. 在1到2之间
C. 在3到4之间

（二）填空题
1. 16的平方根是 。
B. 在2到3之间
D. 在4到5之间
2. 计算：
12?3
= 。
y?
3. 函数
3
x?3
自变量
x
的取值范围是 。
2
1?x?x
x≤0
4. 当时，化简的结果是 。
5. 有这样一个问题：
2
与下列哪些数相乘，结果是有理数？
A.
32
B.
2?2
C.
问题的答案是（只需填字母）： ；

（三）解答题
3
2?3
D.
2
E.
0
< br>?
1
?
(3?2)?
??
?4cos30°?|?12|?
3
?
1. 计算：。
0
?1
2
2
2. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
5
，
3
，
3?1
一样的式子，其实我
们还可以将其进一步 化简：
3
3
3?53
＝5
5
＝
5?5
5
；（一）

2?36
2
＝
3
（二）
3
＝
3?3
2
2?（3－1）（23?1）
＝3?1
2< br>3?1
＝
（3?1）（3?1）
＝
（3）?1
2
（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
2
3?1
还可以用以下方法化简：
2
2
3?1（3）?1
2
（3?1）（3?1）
＝＝＝3?1
3?1
＝
3?13? 13?1
（四）
2
（1）①参照（三）式得
5?3
＝____ _____________________________________；
2
②参 照（四）式得
5?3
＝________________________________ _________。
1111
???...?
5?37?52n?1?2n?1
。 （2）化简：
3?1
22
3. 先化简，再求值：
(a?b)?(a?b)( 2a?b)?3a
，其中
a??2?3，b?3?2
。
x?1
?
1?x
2
?
?
?
x?
?
x2x
? ?
，其中
x?2?1
。 4. 先化简，再求值：

【试题答案】
（一）选择题
1. B
2. C 【解析】本题考查二次根式的意义，由题意可知
x?1
，
y??1
，∴x－y =2，故选C。
3. C
4. C
（二）填空题
1. ±4 2.

3
3.
x??3

2
x＝ｘ
，∵
x≤0
，∴原式=1－x+x=1 4. 1 【解析】二次根式的性质及绝对值的化简，
、D、E
； 5.
A
（三）解答题
?
1
?
(3?2)
0
?
??
?4cos30°?|?12|
?
3
?
1. 解：。
3
?12
2

?4?23?23

?1?3?4?
?1
?4

22(5?3)2(5?3)
? ??5?3
22
5?3(5?3)(5?3)(5)?(3)
2. 解：（1）， < br>2(5)
2
?(3)
2
(5?3)(5?3)
???5?3< br>5?35?35?3
；
3?15?37?5
??
（2）原式=
(3?1)(3?1)(5?3)(5?3)(7?5)(7?5)

?…?
2n?1?2n?1
(2n?1?2n?1)(2n?1?2n?1)

3?15?37?52n?1?2n?1
???…?
222
=
2
2n?1?1
2
=。
2222222
(a?b)?(a?b )(2a?b)?3a?a?2ab?b?2a?ab?b?3a
?ab
。 3. 解：
当
a??2?3
，
b?3?2
时，
22
?(?2?3)(3?2)?(?2)?(3)?1
原式
x?12x
2
?1?x
2
?
2x
4. 解：原式=
x

2x
x
x
?
?
1
1
=
x
x
·
(x?1)(x?1)

2
=
x?1
。

2(2)
2
??2
2
将
x?2?1
代入上式得原式=
2?1?1
。