2017年高中数学竞赛试题及答案-人教版高中数学课本必修三
初高中数学衔接
——数学思想方法
目录
一、方程与函数思想
1.1方程思想
1.2函数思想
二、数形结合思想
2.1数形结合思想
三、分类讨论思想
1.1 方程思想
方程知识是初中数学的核
心内容。理解、掌握方程思想并应用与解题当中
十分重要。所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手
,适当设定未知数,
把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程(组)模型,从而使问题得到解
决的思维方法。对方程思想的考查主要有两个方面:一是列方程(组)解应用
题;二是列方程(组)解
决代数或几何问题。
(1)高中体现
函数与方程思想是最重要的一种数学思想,高考中所占
比重较大,综合知
识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单,即将所研究的问题借助建立函数关
系式亦或构造中间函数,结合初等函数的图象与性质,加以分析、转化、解决
有关求值、解(证)不等
式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;方程思想即
将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模
型加以解决
举例:
x?3
x?3
(1)若f(x)的定义域为
[α,β],(β>α>0),判断f(x)在定义域上的增减
例1已知函数f(x)=log
m
性,并加以说明;
(2)当0<m<1时,使f(x)的值域为[log
m
[m(β–1)],log
m
[m(α–1)]]
的定义域区间为[α,β](β>
α>0)是否存在?请说明理由
解
(1)
x?3
?0?
x<–3或x>3
x?3
∵f(x)定义域为[α,β],∴α>3
设β≥x
1
>x
2
≥α,有
x
1
?3x
2
?36(x
1<
br>?x
2
)
???0
x
1
?3x
2
?3(x
1
?3)(x
2
?3)
当0<m<1时,f(x)
为减函数,当m>1时,f(x)为增函数
(2)若f(x)在[α,β]上的值域为[log<
br>m
m(β–1),log
m
m(α–1)]
∵0<m<1,
f(x)为减函数
?
?3
?
f(
?
)?log?lo
g
m
m(
?
?1)
m
?
?
?3
?
∴
?
?
f(
?
)?log
?
?
3
?logm(
?
?1)
mm
?
?
?3
?
2
?
?
m
?
?(2m?1)
??3(m?1)?0
,又
?
?
?
?3
即
?<
br>2
?
?
m
?
?(2m?1)
?
?3(m?1
)?0
即α,β为方程mx
2
+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根
?
0?m?1
?
2
??16m?16m?1?0
?
2?3
?
∴
?
2m?1
∴0<m<
4
?3
?
?
?
2m
?
?
mf(3)?0
故当0<
m<
2?3
时,满足题意条件的m存在
4
例2.对于函数f(x),若
存在x
0
∈R,使f(x
0
)=x
0
成立,则称x
0
为f(x)的不动点
已知函数f(x)=ax
2
+(b+1)x+(b–1)(a≠0)
(1)若a=1,b=–2时,求f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围;
(3)在(
2)的条件下,若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的
不动点,且A、B关于直线
y=kx+
1
2a?1
2
对称,求b的最小值
解
(1)当a=1,b=–2时,f(x)=x
2
–x–3,
由题意可知x=x
2
–x–3,得x
1
=–1,x
2
=3
故当a=1,b=–2时,f(x)的两个不动点为–1,3
(2)∵f(x)=ax
2
+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点,
∴x=ax
2
+(b+1)x+(b–1),
即ax
2
+bx+(b–1)=0恒有两相异实根
∴Δ=b
2
–4ab+4a>0(b∈R)恒成立
于是Δ′=(4a)
2
–16a<0解得0<a<1
故当b∈R,f(x)恒有两个相异的不动点时,0<a<1
(3)由题意A、B两点应
在直线y=x上,设A(x
1
,x
1
),B(x
2
,x2
)
又∵A、B关于y=kx+
1
2a?1
2
对称
∴k=–1 设AB的中点为M(x′,y′)
∵x
1
,x
2<
br>是方程ax
2
+bx+(b–1)=0的两个根
x
1
?x
2
b
??
,
2
2a
1bb1
??
2
又点M在直线
y??x?
2
上
有
?
,
2a2a
2a?12a?1
a1
即
b??
2
??
1
2a?1
2a?
a
∴x′=y′=
11
2
∵a>0,∴2a+≥2
2
当且仅当2a=即a=∈(0,1)时取等号,
aa
2
故b≥–
1
22
,得b的最小值–
2
4
(2)初中体现
所谓方程思想,是指在求解数学问题时,从题中的已知量和未知量
之间的
数量关系入手,找出相等关系,运用数学符号语言将相等关系转化为方程(或
方程组),
再通过解方程(组)使问题获得解决。方程思想是中学数学中非常
重要的数学建模思想之一,在初中数学
中的应用十分广泛。方程型综合题,主
要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景,结合代数
式的恒等变
形、解方程(组)、解不等式(组)、函数等知识.其基本形式有:求代数式的
值、
求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明。
举例
例3、如图,抛物线y=-x<
br>2
+px+q与x轴交于A、B两点,与y轴交于
C点,若
∠ACB=90
O
,且tan∠CAO-tan∠ABO=2。(1)求Q的值,
(2)求此抛物
线的解析式。(3)设平行于x轴的直线交抛物线于M、
N两点。若以MN为直
径的圆恰好与x轴相切,求此
圆的半径。
y
C
A
O
B
x
例4、如图,D、E分别是三角
形ABC的AC、AB
边上的点,BD、CE相交于点O,若三角形OCD的面积是2,三角形OBE的
面积
是3,三角形OBC的面积是4,求四边形ADOE的面积。
解:连接AO并延长交BC于F。设S△AOE为x,S△AOD为y。
因为△ABF与
△ACF同高,所以S△ABF:S△ACF=底之比=BF:CF=2BF:2CF。①
同理S△OBF:S△OCF=底之比=BF:CF。②
由①和②得S△ABF:S△AC
F=S△OBF:S△OCF=(S△ABF-S△OBF):(S△ACF-S
△OCF)=S△AO
B:S△AOC。 所以S△AOB:S△AOC=S△OBF:S△OCF
同理,S△BOA:S△BOC=S△OAD:S△OCD。即(3+x):4=y:2
同理,S△COA:S△COB=S△OAE:S△OBE。即(y+2):4=x:3
解这个方程组即可。解得x=4.2,y=3.6。所以所求四边形面积=x+y=8。
例5、正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,则所围成的图
形阴影部分的面积是____
. (设每一个叶片的面积为x,“高脚杯 ”面积为y)
2
例6、在直角坐标系中,抛物线y=x
2
+mx-
3
(m
>0)与x轴交于A、B两点。
4
m
若点A、B到原点的距离分别为OA、OB,且满
足
112
??
,则m的值为
OBOA3
思路点拨:
设A(x
1
,0),B(x
2
,0),把OA、OB用x
1
,x
2
的式子表示,建立m
的方程。
1. 2 函数思想
函数的思想方法就是用联系和变化的观点看待或揭示数学
对象之间的数量
关系。能充分利用函数的概念、图象和性质去观察分析并建立相应的函数模型
解
决问题。方程与函数联系密切,我们可以用方程思想解决函数问题,也可以
用函数思想讨论方程问题。在
确定函数解析式中的待定系数、函数图像与坐标
的交点等问题时,常将问题转化为解方程和解方程组。
(1)高中体现
举例:例1、实数k为何值时,方程kx
2
+2|x|+k=0有实数解?
解:运用函数的思想解题,变形得
由方程可得k=
?
2x
1?x
2
2x
1
?x
2
方程有解时k的了值范围就是函数f(x)=
?
故-1≤k≤0即为所
求。
的值域,显然-1≤f(x)≤0
例2、有一组数据
:x
1
,x
2
,?,x
n
(x
1
?x
2
???x
n
)
的算术平均值为10,若去掉
其中最大的一个,余下数据的算
术平均值为9;若去掉其中最小的一个,余下
数据 的算术平均值为11
(1)求出第一
个数
x
1
关于
n
的表达式及第
n
个数
x<
br>n
关于
n
的表达式;
(2)若
x
1
,x<
br>2
,
?
,x
n
都是正整数,试求第
n
个数<
br>x
n
的最大值,并举出满足题目要
求且
x
n
取到最大
值的一组数据
(1)
?
x
1
?x
2
?
?
?x
n
?10n
?
解(1) 依条件得:
?
x
1
?x
2
?
?
?x
n?1
?9(n?1)
(2)
?
x?x?
?
?x?11(n?1)(3)
3n
?<
br>2
由
(1)?(2)
得:
x
n
?n?9
,又
由
(1)?(3)
得:
x
1
?11?n
?1?n?10
,(2)由于
x
1
是正整数,故
x
1
?11?n?1
,故
x
n
?n?9?19
当
n
=10时,
x
1
?1
,
x
10
?19<
br>,
x
2
?x
3
???x
9
?80
,
此时,
x
2
?6
,
x
3
?7
,
x
4
?8
,
x
5
?9
,
x
6
?11
,
x
7
?12
,
x
8
?13,
x
9
?14
例3、已知二次函数
f
(
x
)=
ax
2
+
bx
(
a,
b
为常数,且
a
≠0)满足条件:
f
(
x
-1)=
f
(3-
x
)且方程
f
(
x)=2
x
有等根
(1)求
f
(
x
)的解析式;
(2)是否存在实数
m
,
n
(
m
<
n
),使
f
(<
br>x
)的定义域和值域分别为[
m
,
n
]和
[4
m
,4
n
],如果存在,求出
m
,
n
的值;如果
不存在,说明理由
解:(1)∵方程ax
2
+bx-2x=0有等根,∴△=(
b-2)
2
=0,得b=2。
由f(x-1)=f(3-x)知此函数图像的对称轴
方程为x=-
故f(x)=-x
2
+2x
b
=1,得a=-1,
2a
(2)∵f(x)=-(x-1)
2<
br>+1≤1,∴4n≤1,即n≤
而抛物线y=-x
2
+2x的对称轴为x=1,
∴当n≤
1
4
1
时,f(x)在[m,n]上为增函数。
4
?
f(m)?4m
若满足题设条件的m,n存在,则
?
f(n)?4n
?
2
?
?
m?0或m??2
1?
?m?2m?4m
即
?
2
又m
?
4
?
?
n?0或n??2
?
?n?2n?4n
∴m=-2,n=0,这时,定义域为[-2,0],值域为[-8,0]
由以上知满足条件的m,n存在,m=-2,n=0
(2)初中体现
函数思想
的实质是剔除问题的非本质特征,用联系和变化的观点研究问题,
转化为函数来解决问题。函数型主要是
几何与函数相结合型、坐标与几何方程
与函数相结合型综合问题.主要是以函数为主线,建立函数的图象
及性质、方
程的有关理论的综合.解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互
转化.
例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根;点在函数图象上
即点的坐标满足函数的解析式等.
函数是初中数学的重点,也是难点,更是中
考命题的主要考查对象,由于这类题型能较好地考查学生的函
数思想、数形结
合思想、分类讨论思想、转化思想,能较全面地反映学生的综合能力.
例4.
某农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台.
现将这50台联合收割机派往A
、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,
20台派往B地区.
两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表:
A
地区
B
地区
每台甲型收割机的
租金
1800元
每台乙型收割机的
租金
1600元
1600元
1200元
(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一
天获得
的租金为y(元),求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于
79600元,说
明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来;
(3)如果要使这50台联合收割机每天获得
的租金最高,请你为光华农机
租赁公司提出一条合理建议.
解:(1)若派往A地区的乙型收
割机为x台,则派往A地区的甲型收割机
为(30-x)台;派往B地区的乙型收割机为(30-x)台
,派往B地区的甲型收
割机为(x-10)台. ∴y=1600x+1800(30-x)+1200
(30-x)+1600(x-10)=
200x+74000.
x的取值范围是:10≤x≤30(x是正整数).
(2)由题意得200x+74000≥79600,
解不等式得x≥28.由于10≤x≤30,∴x取28,29,30这三个值,
∴有3种不同分配方案.
① 当x=28时,即派往A地区甲型收割机2台,乙型收割机28
台;派往B地区甲型收割机18台,乙型收割机2台.
② 当x=29时,即派往A地区甲型收割机1
台,乙型收割机29
台;派往B地区甲型收割机19台,乙型收割机1台.
③
当x=30时,即30台乙型收割机全部派往A地区;20台甲型收割机
全部派往B地区.
(3)由于一次函数y=200x+74000的值y是随着x的增大而增大的,
所以,当x=30时,
y取得最大值.如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每
天获得租金最高,只需x=
30,此时,y=6000+74000=80000.
建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派
往A地区;20台甲型收割要
全部派往B地区,可使公司获得的租金最高.
2.1数形结合思想
数学是研究数量关系和空间形式的一门科学,每个几何图形中都要蕴涵着
一定的数量关系,而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。
数形结合思想就是
把代数、几何知识相互转化,相互利用的一种解题思想。
运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法:
①“由形化数”
:就是借助所给的图形,仔细观察研究,提示出图形中蕴
含的数量关系,反映几何图形内在的属性。
②“由数化形” :就是根据题设条件正确绘制相应的图形,使图形能充分
反映出它们相应的数
量关系,提示出数与式的本质特征。
③“数形转换” :就是根据“数”与“形”既对立,又统一的特
征,观察
图形的形状,分析数与式的结构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为
直观并提
示隐含的数量关系。
?
?
x-2≤0,
例1、已知点P(x,y)在不等式
?
y-1≤0,
表示的平面区域上运动,则z=x-y的取值范围
?
?
x+2y-2≥0
是
例2、已知二次函数y=f
1
(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f
2
(x)的图象与
直
线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f
1
(x)+
f
2
(x).
(1) 求函数f(x)的表达式;(2)
证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个不同的实数解.
解:(1)由已知,设
f
1
(x)=ax
2
,由f
1
(1)=1,得a=1,
∴f
1
(x)= x
2
.
设f
2
(x)=
k
(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为
x
A(
k
,
k
)B(-
k
,-
k
)
88
.故f(x)=x
2
+.????????????6分
xx
88
(2)
【证法一】f(x)=f(a),得x
2
+=a
2
+,
xa
88
即=-x
2
+a
2
+.
xa
由
AB
=8,得k=8,.
∴f
2
(x)=
在同一坐标系内作出f
2
(x)=
f
3
(x)=
-x
2
+a
2
+
8
和
x
8
a
8
)为顶点,开口向下的抛物线.
a
的大致图象,其中f
2
(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,
f
3
(x)与
的图象是以(0, a
2
+
因此,
f
2
(x)与f
3
(x)的图象在第三象限有一个交点,
即f(x)=f(a)有一个负数解.
8
a
8
当a>3时,. f
3
(2)-f
2
(2)=
a
2
+-8>0,
a
又∵f
2
(2)=4,
f
3
(2)= -4+a
2
+
∴当a>3时,在第一象限f3
(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f
2
(x)图象的上方.
∴f
2
(x)与f
3
(x)的图象在第一象限有两个交点,即f
(x)=f(a)有两个正数解.
因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
????????????14分
【证法二】由f(x)=f(a),得x
2
+
即(x-a)(x+a-
方程x+a-
8
2
8
=a+,
xa
8
)=0,得方程的一个解x
1
=a.
ax
8
=0化为ax
2
+a
2
x-8=0,
ax
由a>3,△=a
4
+32a>0,得
?a
2
?a
4
?32a?a
2
?a
4
?32a
x
2
=, x
3
=,
2a2a
∵x
2
<0, x
3
>0, ∴x
1
≠
x
2
,且x
2
≠ x
3
.
?a
2
?a
4
?32a
若x
1
= x
3
,即a=,则3a
2
=
a
4
?32a
,
a
4
=4a,
2a
得a=0或a=
3
4
,这与a>3矛盾, ∴x
1
≠
x
3
.
故原方程f(x)=f(a)有三个实数解。
例3、设A={
x||x|=kx+1},若A∩R
+
=φ,A∩R
-
≠φ,求实数k的取值
范围.
解法1:方程|x|=kx+1的解是函数y=|x|和y=kx+1交点的横坐标,结合图形
知(如图2),
当直线y=kx+1在角α范围内时,方程有负根,且没有正根,故k≥1.
解法2:由题意须
?
?
x?0
①有解,
?
?x?kx?1
y=|x+1|
y=|x|
-1
y
?
x
o
1
图2
?
x?0
②无解.
?
?
x?kx?1
?1
?0得k??1
;
k?1
1
?0即k?1,
则②有解, ②中k=1时无解,k≠0时,若x?
1?k
①中k=-1时无解,
k??1时,x?
所以, k≥1.
另:两个数的差的绝对值的几何意义:
a?b
表示在数轴上,数
a
和
数
b
之间的距离.
例1 解不等式:
x?1?x?3
>4. 解法一:由
x?1?0
,得
x?1
;由
x?3?0
,得
x?3
;
①若
x?1
,不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
,
即
?2x?4
>4,解得x<0,
又x<1,
∴x<0;
②若
1?x?2
,不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
,
即1>4,
∴不存在满足条件的x;
③若
x?3
,不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
,
即
2x?4
>4, 解得x>4.
又x≥3,
∴x>4.
综上所述,原不等式的解为x<0,或x>4.
解法二:如图1.1-1,
x?1<
br>表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距
离|PA|,即|PA|=|x-1|;|
x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x
-3|.
|x-3|
所以,不等式
x?1?x?3
>4的几何意义
即为
P
C
A
|PA|+|PB|>4.
x x
0 1
3 4
由|AB|=2,可知
点P
在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点
|x-1|
D(坐标为4)的右侧.
图1.1-1
x<0,或x>4.
二次函数的性质可以分
别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来.因此,在今后解决
二次函数问题时,可以借助于函
数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.
y
x=-
B
D
b
2a
y
b4ac?b
2
,)
A
(?
2a4a
O
x
O
x=-
图2.2-4
x
b4ac?b
2
,)
A
(?
2a4a
图2.2-3
b
2a
例1 求二次函
数y=
-
3x
2
-6x+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或
最小值),并指出当x取何值时,y随x的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.
解
:∵y=
-
3x
2
-6x+1=-3(x+1)
2
+4,
A(-1,4)
y
∴函数图象的开口向下;
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标为(-1,4);
当x=-1时,函数y取最大值y=4;
当x<-1时,y随着x的增大而增大;当x>-1时,y
D(0,1)
随着x的增大而减小;
采用描点法画图,选顶点A(-1,4)),与x轴交于点
2
3?323?3
B
(
与y轴的交点为D(0,1),
,0)
和C(?,0)
,
33
过这五点画出图象(如图2-5所示).
说明:从这
个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函
数的图象,可以直接选出关键点,减少了选点的盲目性,使
画
图更简便、图象更精确.
(2)初中体现
C
O
B
x=-1
图2.2-5
x
例1、已知抛物线过点(4,6
)(–2,6),在x轴上截得的线段长为
23
,求函数解
析式。
例2、已
知抛物线
y?ax?bx?c
与直线
y?kx?4
相交于A(1,m),B(
4,8),
与x轴交于原点O及C,(1)求直线与抛物线解析式;(2)在x轴上方是否存在点D,使
得
S
?OCD
?
2
1
S
?OCB
,如果存在,请求出所有满足条件的点D,若不存在,请说明理由。
2
3.1.1分类讨论思想 分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性,将其区分为不同种类,
从而克服学生思维的片面
性,有效地考查学生思维的全面性与严谨性。要做到
成功分类,要注意两点:一是要有分类意识,善于从
问题的情境中抓住分类的
对象;二是找出科学合理的分类标准,满足不重不漏的原则。分类讨论的思想<
br>是一种重要的解题策略,对于培养学生思维的严密性,严谨性和灵活性以及提
高学生分析问题和解
决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并不是问题中一
出现含参数问题就一定得分类讨论,如果能结合
利用数形结合的思想,函数的
思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论,从而达到迅速、准确的解题效
果。
(1)高中体现
参数广泛地存在于中学数学的各类问题中,也是近几年来高考重点考查
的
热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准,含参数的问题可分为两种
类型,。一种类
型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值(或取值范围),
去探求命题可能出现的结果,然后归纳
出命题的结论;科学的分类满足两个条
件:条件①保证分类不遗漏;条件②保证分类不重复。在此基础上
根据问题的
条件和性质,应尽可能减少分类。
?
a(a?0)
?
绝对值的定义是:
|a|?
?
0(a?0)
?
?a(a?0)
?
3
所以在解含有绝对值的不等式|log
1
x|+|log
1
(3-x)|≥1时,就必须根据确定
3
log
1
x ,
3<
br>log
1
(3-x)正负的x值1和2将定义域(0,3)分成三个区间进行讨论,3
即0<x<1,
1≤x<2,2≤x<3三种情形分类讨论。
例1、解关于x 的不等式:
a(x?1)
?1(a?1).
x?2
sinx|cox|tanx|cotx|
y?
例
2、求函数的值域
|sinx|
?
cox
?
|tanx|
?
cotx
例3,设首项为1,公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为S
n,又设T
n
=
S
n
,n=1,2,···,求T
n
S
n?1
解:当q=1时,S
n
=n,T
n
=
n
,
?limT
n
?1
n??
n?1
1?q
n
当q≠1时,S
n
=
1?q
n??
S
n?1
1?q
n?1
?
1?q
n??
1
?q
n
T
n
?
1?q
n?1
于是当0<
q<1时,
limq
n
?0,?limT
n
?1
当q>1时,
lim
11
?0,?limT?
n
n??
q
n
n??
q
?
1(0?q?1)
?
综上所述,
limT
n
?
?
1
(q?1)
n??
?
?
q
(2)初中体现
分类讨
论涉及全部初中数学的知识点,其关键是要弄清楚引起分类的原因,
明确分类讨论的对象和标准,应该按
可能出现的情况做到既不重复又不遗漏,
分门别类加以讨论求解,再将不同结论综合归纳,得出正确答案
,避免考虑不
周全,思维定势化,否则就会掉入陷阱之中。如初中绝对值的概念,数学定理、
公
式、或运算性质、法则的分类;求解的数学问题的结论有多种情况或多种可
能性;数学问题中含有字母变
量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的;
较复杂或非常规的数学问题,若解含有参数的不等式、方
程和函数等,需要采
取分类讨论的解题策略来解决的。
举例
例1、解方程|x+2|+|3–x|=5
对于绝对值的问题,往往要对绝对值的符号内的对
象区分为正数、负数、
零三种,在每种情形下再分别处理。这一方程里出现了两个数的绝对值,即|
x+2
|和|3 –x|,对于| x +2|应分为x= -2,x<-2,x>-2;对|3
–x| 应区分为
x=3与x>3,x<3,把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划
分为以下三种
情形分别处理:x>-2,-2≤x≤3,x>3。得解如下:
当x<-2时,原方程为 –(x+2)+3-x=5,得x=
-2,这与x<-2矛盾,故
在x<-2时方程无解。
当-2≤x≤3时,原方程为x+2+
3-x=5恒成立,故满足-2≤x≤3的一切实数
x都是此方程的解。
当x>3时,原方程为x+2-(3 -
x)=5,得x=3,这与x>3矛盾,故在x>
3时,方程无解。
综上所述,原方程的解为满足-2≤x≤3的任何实数。
例2、Rt△ABC中有两边为6和8,求第三边。
例3、等腰△ABC中有两边为3和4,求它的周长。
例4、⊙O中的弦AB把圆周分成1:3两部分,求AB弦所对的圆周角的度数。
例5、当平
行弦在圆心的两侧时,两弦的距离为7cm,已知⊙O的半径OA=1,
弦AB,AC的长分别是,求∠
BAC的度数。
当数学问题中的条件,结论不明确或题意中含参数或图形不确定时,就应
分类
讨论,一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题。另一方面恰当的
分类可避免丢值漏解,从而提高
全面考虚问题的能力,提高周密严谨的数学素
养。
通过对初高中数学教学衔接的研究发现,数
学思想在数学教学上和学生的
学习上有着十分重要的地位,它关系到学生对学习数学的兴趣、信心和效果
,
加强数学思想的教学和研究,专题进行讲练,分类进行思想方法的指导,一定
会得到良好的效
果。
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