高中数学随机变量分布列知识点

WORD整理版
第二章 随机变量及其分布
内容提要：
一、 随机变量的定义
设是一个随 机试验，其样本空间为
与之对应，则称上的实值函数
，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数
）。 是一个随机变量（简记为
二、 分布函数的概念和性质
1．分布函数的定义
设是随机变量，称定义在上的实值函数
为随机变量的分布函数。
2．分布函数的性质
(1) ，
，

。
是某一随机变量的分布函数的充要条件。在不同的教科书
，其性质也会有所不同。
（2）单调不减性：
（3）
（4）右连续性：
注：上述4个性质是函数
上，分布函数的定义可能有所不同，例如
（5）


注：该性质是分布函数对随机变量



的统计规律的描述。
三、 离散型随机变量
1．离散型随机变量的定义
若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量
2．离散型随机变量的分布律
（1）定义：离散型随机变量
为离散型随机变量

或用表格表示：

优质参考资料
是离散型随机变量。
的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称
的分布律，表示为

WORD整理版

x
1
x
2
… x
n
…
p
k

或记为
P
1
p
2
…
p
n
…


~
（2）性质：
注：该性质是
，
是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。

注：常用分布律描述离散型随机变量
3．离散型随机变量的分布函数
其中
的统计规律。
。
=， 它是右连续的阶梯状函数。
4．常见的离散型分布
（1） 两点分布（0—1分布）：其分布律为

即


0
1

p 1–
p p

（2）二项分布
（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设
果及，，将
是一个随机试验，只有两个可能的结独立重复地进行次，则称这一串重复的独立
试验为重伯努利试验。
（ⅱ）二项分布的定义
设

称随机变量服从参数为
表示在重伯努利试验中事件
，
的二项分布，记作
发生的次数，则随机变量
，
。
的分布律为
优质参考资料

WORD整理版
注：即为两点分布。
的分布律为 （3）泊松分布：若随机变量

则称随机变量
，
服从参数为
，
（或。 的泊松分布，记作


















优质参考资料

WORD整理版

高中数学系列2—3练习题（2.1）
一、选择题：
1、如果
X
是一个离散型随机变量，则假命题是( )
A.
X
取每一个可能值的概率都是非负数；
B.
X
取所有可能值的概率之和为1；
C.
X
取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D.
X
在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
2①某寻呼台一小 时内收到的寻呼次数
X
；②在
(0,1)
区间内随机的取一个数
X< br>；③某超市
一天中的顾客量
X
其中的
X
是离散型随机变量的是（ ）
A．①； B．②； C．③； D．①③
3、设离散型随机变量
?
的概率分布如下，则
a
的值为（ ）
X

P

1 2 3 4
1

6
1

3
1

6
a

A．
1111
B． C． D．
63
24
4、设 随机变量
X
的分布列为
P
?
X?k
?
?
?
k
?
k?1,2,3,?,n,?
?
，则
?
的值为 （ ）
111
； C．； D．
3
24
1
k?1,2,3,?
，5、已知随机变量
X
的分布列为：
p
?
X?k
?
?
k
，则
p
?
2?X?4< br>?
=（ ）
2
3115
A. B. C. D.
1641616
A．1； B．
6、设随机变量
X
等可能取1、2、3...
n
值，如果
p(X?4)?0.4,则
n
值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 10 D. 无法确定
7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为< br>X
，那么
X?4
表示的随机实验结果是（ ）
A. 一枚是3点，一枚是1点 B. 两枚都是2点
C. 两枚都是4点 D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
8、设随机变量
X
的分布列为P
?
X?k
?
?2?
?
A．1； B．
k

?
k?1,2,3,?,n,?
?
，则
?
的值为（ ）
111
； C．； D．
3
24
二、填空题：
9 、下列表中能成为随机变量
X
的分布列的是 （把全部正确的答案序号填上）

2 3
X

1
-1 0 1
0 -5
X

5

X

①


p

0.3 0.4 0.4
②
p

0.4 0.7 -0.1
③
p

0.3 0.6 0.1



优质参考资料

WORD整理版

2
k?1
P

?
X?k
?
?
n
,k?1,2,3,
④
2?1

,n

⑤
P
?
X?k
?
?

1
,k?2,3,4,5,
k

10、已知
Y?2X
为离散型随机变量，
Y
的取值为
1,2,3,,10
，则
X
的取值为
11、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，
被取出的球的最大号码数
X
可能取值为
三、解答题：
12、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元 的标准收租车费若
行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lk m计)．从这
个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客 ，
由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟
按l km路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租
车费可也是一个随 机变量
(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(2)已知某旅客实付租车费38元， 而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车
累计最多几分钟?

13 、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，
黄球个数是绿球 个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球
得0分，取出绿球得－1分，试 写出从该盒中取出一球所得分数
X
的分布列．
分析：欲写出
ξ
的分 布列，要先求出
ξ
的所有取值，以及
ξ
取每一值时的概率．

14、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，

而随机终止．设分裂
n
次终止的概率是
所生成的子块数目，求
P(X ?10)
.


1
(
n
=1,2,3,…)．记
X
为原物体在分裂终止后
2
n













优质参考资料

WORD整理版

高中数学系列2—3练习题（2.1）参考答案

一、选择题：
1、D 2、D 3、C 4、B 5、A 6、C 7、D 8、C
二、填空题：
9、 ③④
10、
13579
,1,,2,,3,,4,,5

22222
11、
3,4,5

三、解答题：
12、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2
(2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．
所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．

13、解：设黄球的个数为
n
，由题意知
绿球个数为
2n
，红球个数为
4n
，盒中的总数为
7n
．

4n4n12n2
?
，
P(X?0)??
，
P( X??1)??
．
7n77n77n7
所以从该盒中随机取出一球所得分数
X
的分布列为
0 －1
X

1
412

P

777
∴
P(X?1)?

14、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目
X
的分布列为


．．．
2
n

11111

．．． ．．．
P

n
8
2416
2
1117
∴
P(X?10)?P(X?2)?P(X?4)?P(X?8)?
???
．
2488
X

2 4 8 16 ．．．


优质参考资料