数列求和_论文

数列求和常见法
王帅
数列是高中代数的重要内容，数列求和是数列的重要内容之一。数列求和是
对按照一定规律排列 的数进行求和。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大
部分数列的求和都需要一定的技巧。
常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分解分组法、裂项法、通项化
归、并项求和等等。
1. 公式法：
适用题型：直接是等差数列或是等比数列形式的可以直接利用公式求和
等差数列求和公式:
s
n
=
n(
a
1
?
a
n
)
2
= n
a
1
+
n(n?1)d

2
n
等比数列求和公式：
s
n
=n
a
1
（q=1) Sn=
a
1
(1?
q
)
1?q
（q
?
1）
例如 ：已知数列﹛
a
n
﹜满足
a
1
=
项和。
1
3
n?1
，
a
n
?
3
?
an?1
（n≥2），求数列的前n
2
2n?1
解：
a
1
?1

a
2
?
a
1
?
3

a
3
?
a
2
?
3
……
a
n
?
a
n?1
?
3
所有等式的左边与左
3
边相加等于右式与右式相加（叠加法）得
a
n
=
3
，所以﹛
a
n
﹜是以为首项，
2
2
n
3
n
n?1< br>(1?
3
)
?3
以3为公比的等比数列，直接应用公式
sn
?
2

?
3
4
1?3
注意：有些题目需要经过转化才能利用公式。
2.错位相减法（倍差法）
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 ，如
{
a
n
}、
?
b
?
分别是等差数列和等比数列. 则
s
=
ab
?
ab
???
ab

nn
1122nn
n
例如：
a
n
?3n?1

b
n
?
2

12
c
=
ab
nnn
求
c
n
的前n项和
T
n
。
n
解：
T
n
= 2×
2
+5×
2
+8×
2
+………（3n-1）×
2
………….
（1）
2
T
n
= 2×
3
2
2
+5×
2
+………(3n-4) ×
2
+(3n-1)
3n
2

n?1
……….(2)

（1）－（2）得
－
T
n
= 2×
2
+ 3×
2
+3×
2
+…………3×
2
－(3n-1)
2
123nn?1
从
第二项起到倒数第二项这（ｎ－１）项正好是以２为公比的等比 数列，共n-1
项可以利用公式化简
即 －
T
n
＝２×
2
＋３×
整理，得
1
4? (1?
2
)
1?2
n?1
n?1
－（３ｎ－１）
2

n?1
T
n
＝８＋（３ｎ－４）
2
．
注意：在错位相减后要数准形成的等比数列的项数。
3.裂项法
适用于通项公式 是分式形式的，可以把一项拆成两个或多个的差的形式，然
后进行累加抵消中间的许多项。
常用公式：
（1）
111

??
n(n?1)nn?1
1111
?(?)

n(n?k)knn?k
1111
?(?)

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
（2）
(3)
(4)
1111
?(?)

(n?1)(n?2)(n?3)2(n?1)(n?2)(n?2)(n?3)
（5）
1
a?b
?
1
(a?b)

a?b
例： 求数列
?
1
n(n?1)
?
的前n项和.
解：
a
n
=
111
??
（裂项）
n(n?1)nn?1
1n
1111111
?????
?
??
=1-
=
n?1n?1
22334nn?1
注意：数列每 一项拆为两项，首尾相消或隔项相消，无限项化为有限项，余
下的项首尾前后呼应，即前面剩正项则后面 剩负项， 前面剩负项则后面剩正项，
前后剩项个数一致。
则 Sn =
1?
4.倒序相加法

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排
列（反序），再把它与原数列相加，
s< br>n
?
a
1
?
a
2
?
a
3< br>?
??
a
n?1
?
a
n

s
?
a
?
a
nnn?1
?
??
a
3
?
a
2
?
a
1
。

上下相加 得到2
s
n
即
s
n
=
5.分解分组法
(a
?
a
)n
1
n
2
适 用数列表面看既不是等差数列，也不是等比数列，但将这类数列适当分组，
可分为几个等差、等比或常见 的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
392565
例如： 求 , ,, ……前n项的和。
248
16
1111
解：此数列可化为1+ ，2+ ，3+ ，4+ ……
248
16
通项公式
a
n?n?
∴
s
n
?
1
?
2
?
3
??
n
?
1
2
n

111
?
2
??
n

2
22
=
n(1?n)
?
2
11
(1?
n
)
2
2
1?
1
2
=
n(1?n)
1
+
(1?
n
)

2
2
注意：准确把握等比数列的公比、等差数列的公差，及项数。
6.通项化归
适用于数列通项公式没先将通项公式进行化简，再进行求和。
例如：求数列1，1+2，1+2+4，1+2+4+8,……的前n项和。此时先将
a
n
求
出
即
a
n
?
2
?
2
?
2
?
?
2
12
012n?1
=
1?
2
n
1?2
?
2
?
1
再利用分组求和法求和。
n
n
即
s
n
?
2
?1?
2
?1?
?
2
?1?
n
2(1?
2
)
1?2
?n?
2
n?1
?2?n

注意：准确把握通项时的项数及分组求和时的项数。
7.并项求和：
适用于相邻几项合并后形成等差，等比或常数的数列。

例如：1-2+3-4+5-6+……+99-100 =（1-2）+（3-4）+……(99-100)=50
注意：此数列可视为两个等差数列，但运算 量大，用并项求和轻而易举就解决了。
运算时注意项数的奇偶，是否都能并成一组还是有剩项。
8周期数列求和
适用于具有周期性的数列，求出一个周期内各项的和，及一个周期内各项分别是
什么再求和。
例如：已知数列
?
a
?
中，
a
=3，
a< br>n12
?6
，且
a
n?2
?
a
n?1
?
a
n
，求
s
100

解：由
a
1
?3
，
a
2
?6
，
a
n?2
?
a
n?1
?
a
n
知< br>a
3
?3
，
a
4
??3
，
a
5
??6
，
a
6
??3
，
a
7
?3
，
a
8
?6
，
a
9
?3
…… 由此观察
?
a
?
周期为
n
6.
s
6?
0，
s
100
?16
s
6
?3?6?3?3
=9。
注意：周期数列一般给出的都是递推关系式，需要展开一些项观察周期和一
个周期内各项的值。
以上是数列求和的常见的几种方法，做题时观察数列的特点和规律选择适当
的方法就会轻而易举 的进行求解。