分段函数论文

分段函数初探
（三门峡实验高中 河南 三门峡 472000）
摘要：本文就分段函数在高中数学中的应用做了初步的探究。
关键词：分段函数；求值；解析式；最值；奇偶性；单调性；
方程；不等式
【中图分类号】g623.5
高中数学新课标人教必修一课本提到了分段函数，但并没有明< br>确给出定义，学生对其认知不够深入，而在近几年高考中分段函数
屡屡出现，有的试题还有一定难 度。本文就分段函数相关问题作一
探讨，供大家参考。
所谓分段函数，即在定义域内不同部分 上，有不同的对应法则；
它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定
义域 的并集，值域也是各段函数值域的并集.
一、 分段函数的求值问题
分段函数求值关键是搞清楚自变量取值范围，然后代入到对应
的解析式求值即可。
例1、（2009山东卷）定义在r上的函数f（x）满足f（x）= ，
则f（3）的值为（）
a. b. c.1 d.2
解：f（3）=f（2）—f（1）=[f（1）—f（0）]—[f（0）—f
（—1）]
=f（1）—2f（0）+f（—1）=[f（0）—f（—1）]—2f（0）+f

< br>
（—1）
=—f（0）=—log24=—2
二、 分段函数的解析式问题 求分段函数的解析式问题，关键是利用函数的奇偶性等性质然
后根据所给的定义域等条件来求得另外 部分定义域的解析式。
例2、已知奇函数f（x）（x∈r），当x>0时，f（x）=x（5—x）
+1.求f（x）在r上的表达式。
解 ∵f（x）是定义域在r上的奇函数，∴f（0）=0.
又当x0，
故有f（—x）=—x[5—（—x）]+1=—x（5+x）+1。
再由f（x）是奇函数，当x1时，y= f（x）=—x+5，此时y无
最大值.比较可得当x=1时，ymax=4.
方法2利用函数的单调性
由函数解析式可知，f（x）在x∈（∞，0）上是单调递增的，< br>在x∈（0，1）上也是递增的，而在x∈（1，+∞）上是递减的，
由f（x）的连续性可知f（x）当x=1时有最大 值4
方法3 利用图像，数形结合求得
作函数y= f（x）的图像（图1），
显然当x=1时ymax=4.
说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.
四、 分段函数的单调性问题
考虑分段函数的单调性应该是研究每一段的单调性，然后在考

虑在整个定义域内的单调性（注意函数的连续性）。
例4、若 是r上的单调递增函数，则实数a的取值范围为。
分析：函数f（x）在r上单调递增，则函数f（x ）在每一段都
是增函数，并且在x>1时的取值不小于x≤1时的取值。
解：函数f（x）在x≤1时单调递增，则 ，即a1时单调递增则
a>1；由函数f（x）在r上单调递增，所以 ，得a≥4，综上4≤a0时，—x0，f（—x）=（—x）2+5（—x）+1=—x2—5x+1=—f（x）
当x=0时，f（0）=0
综上，函数f（x）是奇函数。
六、 分段函数的周期性问题
例6、（2009年高考山东卷理科）定义在r上的函数f（x）满足 ，
则f（2009）的值为
（a）—1 （b）0 （c）1 （d）2
解：由已知得f（—1）=lgo22=1，f（0）=0，f（1）=f（0）—
f（—1）=—1，
f（2）=f（1）—f（0）=—1，f（3）=f（2）—f（1）=—1—
（—1）=0，
f（4）=f（3）—f（2）=0—（—1）=1，f（5）=f（4）— f（3）
=1，f（6）=f（5）—f（4）=0，
所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现，所以f（2009）
=f（5）=1，故选c.
【说明】本题作为命题看似考查归纳推理以及函数的周期性和

对数的运算，但本质是考查分段函数的周期性，利用的方法是枚举
去寻找规律。
七、分段函数与方程问题
例7、（2011北京理科）已知函数 若关于x的方程f（x）=k有
两个不同的实根，则数k的取值范围是
【解析】画出函数y= f（x）图像（注意f（x）在xf（—a），
则实数a的取值范围是
（a）（—1，0）∪（0，1） （b）（—∞，—1）∪（1，+∞）
（c）（—1，0）∪（1，+∞） （d）（—∞，—1）∪（0，1）
【解析】本题 主要考查对数的单调性、对数的基本运算及分类
讨论思想，由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行 分类讨论。
f（a）>f（—a） 或 a>1或—1总之，分段函数的试题，近
些年在 高考中出现的频率比较高，如2012年新课标、辽宁理科和
江西理科等都有此类问题，限于篇幅，此不 赘述。
参考文献
[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1
[2]五年高考三年模拟（2012）