高中数学解答题用时-高中数学常規教学
利用空间向量证明线面平行问题
<
br>向量是高中数学的新增内容，是一个具有代数与几何双重属性的量，为我们用代数方
法研究几何问
题提供了强有力的工具。线面平行是立体几何的一个重要内容，是面面平行
等内容的基础，也是学生学习
的一个难点和重点，若我们能充分应用好向量这个工具的特
点，发挥它的双重属性，能起到事半功倍的效
果。
一、应用空间共线向量定理：由平面外的一条直线和平面内一条直线共线，得到线面
平行。
例1 、（2004年天津）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD
?<
br>底面ABCD，
PD=DC，E是PC的中点。证明：PA平面EDB。
Z
P
E
D
G
C
Y
A
X
B
证明：如图所示建立空间直角坐标系D为坐标原点，设DC=a，连结AC，AC交BD于G，
连结EG。
aa
，）。
?
底面ABCD是正方形
，
22
aaa
G是此正方形的中心，则点G的坐标为（，，0），
?
PA
=（a，0，-a），
EG
=（，
222
a
0，-）<
br>?
PA
=2
EG
，
?
P
?
EG，<
br>?
PAEG，而EG
?
平面EDB，PA
?
平面EDB，?
PA
2
依题意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，
平面
EDB。
二、应用向量平行于平面和空间向量共面定理，我们可得到如下的性质：如图，已
知
直线L不在平面α内，取直线L上的任一非零向量
n
，平面α中存在两个不共线向量
a
，
b
，若存在唯一的实数对λ
1
，λ
2
，使得n
=λ
1
a
+λ
2
b
，则Lα。
n
L
a
b
α
证明：由
n
=λ
1
a
+λ
2
b
知
n
，
a
与
b
共面，因此
n
α，由直线L不
在平面α内得到Lα。
例2 、已知平行四边形ABCD，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，
M，N分别为
PC，PB的中点；求证：MN面PAB。
P
M
A
D
B
N
C
证明：构造向量
MN
，
AP
，
A
B
，
PC
和
CB
。
?
<
br>MN
=
111
（
PC
+
CB
）=（
AC
—
AP
+
CB
）=（
AB
—
AP）
222
?
MN面PAB
例3、 已知四边
形ABCD是正方形，S是平面ABCD外一点，且SA=SB=SC=SD，SP:PD=1:2，
S
N: NA=2:1，SM:MC=2:1。求证：SB平面PMN。
Z
S
P
N
A
D
O
M
X
B
C
Y
证明：如图，连结AC与BD交于O，连结SO，易证SO
?
平面ABCD
，由四边形ABCD
为正方形知BD
?
AC，如图建立空间直角坐标系O-XYZ。构
造向量
SB
，
PN
与
PM
，
令BC=
2<
br> ，SO=1，
由题目已知可得坐标：O（0，0，0），S（0，0，1），A
（0，-1，0），B（1，0，0），
12
2
1
2
1
，0
，），M（0，，），N（0，-，），
33
3
3
3
3
1<
br>2
11
2
133
则
SB
=（1，0，-1），
PN
=（，-，-），
PM
=（，，-），所以
SB
=
P
N
+
PM
，
3
3
33
3
322
C
（0，1，0），D(-1，0，0)，所以P（-
所以SB平面PMN。
三、应用法向量：如果能证明平面外直线的方向向量垂直平面的法向量，得到线面平
行。
例4 、已知四边形ABCD是正方形，S是平面ABCD外一点，且SA=SB=SC=SD，
SP:PD=1:2，SN:
NA=2:1，SM:MC=2:1，求证：SB平面PMN。
Z
S
P
N<
br>A
D
O
M
X
B
C
Y
证
明：从例3可知
SB
=（1，0，-1），
PN
=（
111
2
1
2
，-，-），
PM
=（，，-），
333
3
3
3
由
PN
，
PM
可得到平面PMN的法向量n
=（-1，0，1），则
SB
·
n
=0，所以
SB<
br>?
n
，
得到SB平面PMN。
从上述问题中可以看到，在解决线面平
行问题时一定要善于运用向量的代数属性，能
融数形于一体的属性。通过代数的方法解决立体几何的空间
问题，降低了立体几何的空间
难度，给学生一个比较低的门槛，值得我们深入思考。