高中数学教研活动报告-有关高中数学诗句
谈高中立体几何中二面角的求解方法
贵州省印江民族中学 张
学
二面角是立体几何三种空间角中最重要的一种角 ,是高考常考的考点,如
何准
确找出二面角的平面角是解题的关键,在学习中,许多同学都对其感到困难,
而且不能很好地解决求二面
角的问题。下面,我就二面角的求解问题介绍几种常
用的方法与技巧,希望对同学们的学习有所帮助。
1、定义法:
利用定义作出二面角的平面角,并设法求出其大小。
例1、
如图,已知二面角а-L -β等于120°,PA⊥а,A∈а,PB⊥β,B∈β.
求
∠APB的大小.
解: 设平面PAB∩а=OA,平面PAB∩β=OB。
∵PA⊥α, а?α ∴PA⊥а
同理PB⊥а ∴а⊥平面PAB
又∵OA?平面PAB ∴а⊥OA
同理а⊥OB.
∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.
在四边形PAOB中, ∠AOB=120°,.
∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60°
2、三垂线法:
由二面
角的一个面上的斜线(或它的射影)与二面角的棱垂直,推得它位于
二面角的另一面上的射影(或斜线)
也与二面
角的棱垂直,从而确定二面角的平面角。
例2、如图,ΔABC中,∠A=90°,
AB=4,
AC=3,平面ABC外一点P在平面ABC内的
射影是AB中点M,二面角P—A
C—B的大
小为45°。求(1)二面角P—BC—A的大小;
(2)二面角C—PB—A的大
小
P
A
O
B
P
B
D
A
M
C
解:∵PM丄平面ABC,AC丄AB,
∴由三垂线定理得:AC 丄AP,
∴∠PAB是二面角P—AC—B的平面角,
即∠PAB =45°,
又AM=2
AB=4. ∴PM=2
作MD丄 BC于D,连PD,
则PD丄 BC,
故∠ PDM是二面角P—BC—A的平面角
RtΔMBD∽RtΔCAB
BM:BC=MD:CA 又BC=5,MD=
在Rt
ΔPDM中,tan∠PDM=
6
5
PM5
=,
DM3
55
故∠PDM=arctan,
即二面角P—BC—A的大小为arctan。
33
(2)∵PM丄平面ABC,BM=MA
,∴PA=PB,又∠PAB=45°∴PM丄PA,
又PM丄平面ABC,BM丄AC,∴PB丄PA,
又PM丄平面ABC,BM丄AC∴PB丄AC,
故PB丄平面PAC,∴PB丄PC,即∠APC是二面C—PB—A的平面角,
在RtΔPAB中,∠PAC=90°,AC=3,PA=
2
,AM=2
因此二面角C—PB—A的大小为arctan
32
。
4
2
, ∴tan∠APC=
32
4
3、平移法: 将图形中有关线段或平面进行平移,以其得到二面角的两个平面的交线,进
而得到其二面角的方法。
例3、正三角形ABC的边长为10,A∈平面а,B、C在平面а的同侧,且
与а的距离分别
是4和2,求平面ABC与а所成的角的正弦值。
解:设E、F分别为B、C的射影,连EF并延长交BC延长线于D,连AD;
AE
∵E、F是B、C射影 ∴BE丄а;
∵CF丄а
∴BE∥CF 又CF:BE=
1
, B
2
∴C是BD的中点 ∴BC=DC,
C
∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°,
又∠ACB+∠ACD=180° ,
A E F D
∴∠ACD=120°又AC=DC ,
?
A
∴∠CAD=∠CDA=30°,又∠BAD=∠BAC+∠CAD ,
∴∠BAD=90°,∴BA丄AD ,
又∵AE是AB在平面а上的射影,
∴AE⊥AD 又 BA⊥AD ,平面ABC∩平面а=A,
∴∠BAE是平面ABC与а所成的角,
∴BE⊥平面а,∴ BE⊥AE ,
∴ΔABC是 RtΔ
sin∠BAE=BE:AB=
4、射影面积法:
由公式
S
射影
=S
斜面
cosθ,作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关
键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影,而且它们的面积容易求
得。
例
4、如图,设M为正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱CC
1
的中点,求平面BMD
与底面ABCD所成的二面角的大小。
解:∵D
1
D⊥面ABCD,C
1
C⊥面ABCD,∴
?BMD
1
在底面上的射影为
?BDC,
1
2
设正方体的
棱长a,则S
?BCD
=a,BD
1
=
3
a
2
D
1
C
1
22
,即平面ABC与а所成角的正弦值为。
55
26
2
∴MH=a,S
?
BMD1
=a
24
A
1
D
H
B
1
M
C
由S
?
BDC
=S
?
BMD1
cos
θ得θ=arccos
6
3
A
B
5、垂面法:
由二面角的平面角的定义可知两个面的公
垂面与棱垂直,因此公垂面与两个
面的交线所成的角,就是二面角的平面角。
例5、如图,已
知PA与正方形ABCD所在平面垂直,且AB=PA,求平面
PAB与平面PCD所成的二面角的大小
。
解: ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
又CD⊥AD,故CD⊥平面PAD. P
而CD?平面PCD, A
D
所以 平面PCD⊥平面PAD.
同理可证
平面PAB⊥平面PAD. B C
因为 平面
PCD∩平面PAD=PD,平面PAB∩平面PAD=PA,所以PA、PD与
所求二面角的棱均垂直
,即∠APD为所求二面角的平面角,且∠APD=45°.
6、向量法:
两平面所成的角的大小与分别垂直于这两个平面的两向量所成的角(或补
角)相等。
例6、在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1中,点E、F分别在BB
1
、DD
1
上,且AE
⊥A
1
B,AF⊥A
1
D. AB=4,AD=3,AA
1
=5,求平面A
EF与平面D
1
B
1
BD所
成角的大小.
解::如图,以D为原点,DA为X轴建立空间直角坐标系
过C作CG⊥BD,交AB于G。
Z
AD=3,AB=4,AA
1
=5 ∴A
1
(3, 0,
5)、
7
C(0, 4, 0)、 G(3, , 0)
D
1
C
1
4
A
1
C⊥平面AEF,
GC⊥平面D
1
B
1
BD(易证)
A
1
B
1
∴
A
1
C
⊥平面AEF,
F E
C
CG
⊥平面D
1
B
1
BD
D Y
则平面AEF与平面D
1
B
1
BD所成角
A B
的大小等于
A
1
C
与
CG
所成的角.
A
1
C
={-3, 4, -5}、
CG
={-3,
9
, 0}
4
设
A
1
C
与
CG
所成角为θ
则Cosθ=
A
1
C
GC
A
1
CGC=
9?9?0
122
=
15
25
52?
4
则θ=arccos
122
25
122
。
25
∴平面AEF与平面D
1
B<
br>1
BD所成角为arccos