高中数学论文：借助图形巧记基本不等式

对课本中一道例题的思考
(同底的指数、对数函数的图象会出现三个交点)

摘要：高考命题指导思想是突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查，数形结合思
想 是基本思想之一，突出直观思维，对抽象思维的有力解释，另外，新的课标体系要求培养学生自
主学习的 能力，以及多媒体教学的广泛参与，要求在教学中加大这方面的投入。本文阐述的是使用
几何画板来解释 方程的解的个数问题（即讨论函数交点个数问题）
关键词：几何画板 函数图像交点
正文：
数学课程标准明确指出(
P
112
)“现代信息技术的广泛 使用正在对数学课程内容、数学教学、数学
学习等方面产生深刻的影响。在教学中，应重视利用信息技术 来呈现以往课堂教学中难以呈现的课
程内容。同时，应尽可能使用科学型计算器、计算机及软件、互联网 ，以及各种数学教育技术平台，
加强数学教学与信息技术的结合。教师应恰当使用信息技术，改善学生的 学习方式，引导学生借助
信息技术学习有关数学内容，探索、研究一些有意义、有价值的数学问题。下面 本人结合课本中一
例题来谈谈对上述要求的点滴理解。
请看苏教版高中数学必修1第80页
例5：分别就
a?2,a?
5
,
和
a?
1
画出函数
4
2
y?a
x
,y?log
a
x
的图象，并求方程
a
x
?log
a
x
的解的个数
这是一个超越方程，如果直接去求解，在中学阶段学生是不可能求出来的，因此课本提供的方
法是：(数 形结合)分别画出上述两个函数在同一坐标系中的图象，看两个函数的图象有几个公共点，
方程就有几个 解。如果让学生用粉笔在黑板上画，大部分同学会画出图形如下：(传统教学法，一支
粉笔加一块黑板)



4
4
12
y=log
10
??
5
4
x
8
8
y=2
x
6
8< br>6

-10
2
y=log
2
x
51015

- 5
5
y=
4
??
10
x
1
y=
2
??
-5
x
6
4
2

15
2


-5
5
51015
-2
-2
-2
-4
-4
y=log



-6
a?2

图1
a?
5

4
a?
-6
1

2
??
1
2
x
图2
图3
(Ⅰ)学生总结：两图象公共点个数？方程解的个数？
根据图象可知：当
a?2,a ?
5
,
和
a?
1
时，方程
a
x
? log
a
x
的解的个数分别是0、2、1，
2
4
并形成初步 的直觉：
(1)：同底指数、对数函数图象在同一坐标系中公共点个数有三种情况，0、1、2个

(2)：如果有公共点，则它们在直线
y?x
上
(Ⅱ) 提出疑问：这种感知是否正确呢？
下面提出问题：上述两个函数图象的公共点可不可能是3个，4个，…………？
学生再次画画 看，仍然得到与刚才一致的直觉，不可能出现3个，4个及更多的公共点。(传统方法
只能画出这样结果 )
(Ⅲ)有益探索：操作确认
换个角度下面我们一起来看一个具体例子：考察同底指数函数
y?(
1
)
x
、与对数函数
16
它们互为反函数( 不必向学生解释反函数概念及性质)，下面给出
A(
1
,
1
),B(
1
,
1
)
y?log
1
x
，
16
2442
两点，让学生验证一下、发现，也都在对数函数
A,B
两点都在指数 函数
y?(
1
)
x
图象上，
16
y?log
1
x
图象上，这说明
A,B
两点是这两函数图象的公共点，又由互为反函数 的两个函数关系
16
(或前面画图象直觉)，易知它们应该还有一个公共点在直线
y? x
上，也就是说，同底的指数、对
数函数的图象可能有3个公共点，且不全在直线
y? x
上，这个结论得出，的确是出人意料的。
(Ⅳ)画图展示：揭示过程
实际上， 通过现代教育技术手段，我们可以发现同底指数、对数函数图象在同一坐标系中会出
现三个交点，下面我 们以几何画板展示：在几何画板中，任意画一条线段AB，标记AB长度记为
a
，
拖动 B点可控制
a
值的大小，分别以
a
为底画出函数
y?a
x< br>,y?log
a
x
的图象，当
a
由
a?1
逐
渐缩小到
a?1
时，我们发现一，两图象没有公共点，1个公共点，2个公共点，再到 1个公共点，
让
a
值继续缩小，大约在
a?0.01
时，奇迹出现了 ，出现了3个公共点，如下图所示：(现代信息
技术的使用更加直观地揭示知识的生成过程，这是传统教 学法无法比拟的)

1.4

1.2

1







-0.5
0.8
0 .6
0.4
0.2
0.511.52
-0.2
同底指数函数、对数函 数图象出现三个交点图
这是我们始料不及的，利用几何画板可以演示出很多原先我们想象不到的结果，本题就是经典一例。 < br>通过这个例题我认为运用现代教育技术尤其是在研究那些有图象的问题，它比传统教学要方便、
形 象得多，传统教学画出的图象是死的，而运用现代教育技术可以在运动过程中研究图象之间的关
系、变化 规律，使学生更容易发现规律，增强了趣味性和直观性，同时再次提醒我们要加强数学教
学与信息技术结 合，来呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容，这是新课程对我们数学教师提出
的新要求，新理念。