对高中数学中向量认识论文

对高中数学中向量的几点认识
向量早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象，20 世
纪初被引入中学数学。我国在1996年高中数学教学大纲中引入了
向量，是高中数学中的重 要内容。
向量可以表示物体的位置，是一种几何图形（有向线段），因而
它成为几何学的基本 研究对象。作为几何学的研究对象，向量有方
向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向 量有长
度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量可以进行加、
减、数乘、数量积（ 点乘）、向量积（叉乘）等多种运算，这些运
算及其规律赋予向量集合特定的结构，使得向量具有一系列 丰富的
性质。向量作为有向线段，可用来确定位置。利用向量的数乘运算
可以刻画平行，利用向 量的数量积运算可以刻画垂直、角度、三角
函数等。因此，向量集数、形于一身，是数形结合的最好体现 ，沟
通了代数、几何、三角。
向量作为代数对象，可以进行运算。运算对象的不断扩展是数< br>学发展的一条重要线索。数运算，字母、多项式运算，向量运算，
函数、映射、变换运算，矩阵运 算等是数学中的基本运算。从数运
算，字母、多项式运算到向量运算，是运算的一次飞跃。数运算、多项式运算都是a×a→a型的代数运算，数与多项式的运算属于a
×b→b型的代数运算，而向量 运算除了前两种类型的运算，还有数
量积运算，它属于a×a→b型的代数运算。向量的数量积运算可以
刻画向量的长度，从而使得我们可以通过向量的代数运算刻画长

度、面积、体积等几何度量问题。向量运算更加清晰地展现了不同
类型的代数运算的特征及其功 能，同时，向量运算具有与数运算不
同的一些运算律，这对于学生进一步理解其他数学运算、发展学生< br>的运算能力具有基础作用。向量的学习，有助于学生进一步体会数
学运算的意义以及运算在建构数 学系统中的作用，为理解函数、映
射、变换运算，矩阵运算等奠定了基础。
向量既是代数的对 象，又是几何的对象。作为代数对象，向量
可以进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、 平面、
切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何
度量问题。运用向量刻 画几何对象和几何度量问题都是通过向量的
代数运算来实现的。因此，向量提供了一种通过代数运算刻画 几何
对象及其位置关系以及几何度量问题的工具。向量集数形于一身，
是沟通代数与几何的天然 桥梁。向量的学习，有助于学生掌握处理
几何问题的代数方法，体会数形结合的思想。
在向量 的教学中，特别要重视向量的数乘运算、数量积运算与
数的乘法运算的区别与联系，应将向量的运算及运 算律与数的运算
及运算律进行比较，帮助学生理解向量运算的意义及其运算律，为
进一步理解其 他代数运算奠定基础。例如，对于数运算来说，0是
唯一的加法“零元”，1是唯一的乘法“单位元”。 对于向量的加法
运算来说，零向量0也是唯一的加法“零元”，对于任何向量a，0
＋a＝a。 但是向量的数乘运算与数量积运算则具有不同于数运算的
运算律：对于任何向量a，0a＝0，1a＝a ，0a＝0。虽然也有单位向

量的概念，但单位向量不是数量积运算的单位元，即ea≠a,而且单
位向量也不唯一。若把单 位向量的起点放在同一点，则所有单位向
量构成一个单位圆（球）；数的乘法运算满足结合律、消去律， 即
对于任何数a、b、c，（ab）c＝a（bc），若ab＝ac，且a≠0,则b
＝c。对 于向量的数量积运算来说，（ab）c≠a（bc）。这是因为，
ab，bc都是实数，（ab）c是与 c方向相同或相反的向量，a（bc）
是与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线，即使共线，
（ab）c与a（bc）也不一定相等。若向量a、b、c是三个互相垂
直的非零向量，则ab ＝ac＝0,且a≠0,但b≠c。因此，向量的数量
积运算不满足结合律、消去律。在教学中，应让学 生明确向量运算
与数运算的这些区别，这样才能对向量运算乃至代数运算有深入的
认识。 向量与几何之间存在着密切联系，有加、减、数乘积及数量积
等运算，也有平面向量的坐标运算，因 而向量具有几何和代数的双
重属性，向量代数性质的几何意义对于运用向量刻画几何对象是非
常 重要的。例如，向量数乘运算λa的几何意义是与a平行的向量，
也可以表示一点和一个方向向量a所确 定的直线，两个不共线向量
a与b的线性组合λa＋γb表示向量a与b所确定的平面。这就把
向量的线性运算与直线、平面联系起来了。aa的几何意义就是向量
a的长度的平方，这就把向量的数量 积运算与向量的长度联系起来，
从而，也就把向量的数量积运算与两点间的距离公式联系起来了。
ab＝0的几何意义是向量a与b垂直，这就把向量的数量积运算与

向量的位置关系联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与直线
的位置关系以及点到直线的距 离联系起来了。设e是单位向量，则
ae表示向量a在单位向量e上的投影的长度，这就把向量的数量积
运算与向量夹角的三角函数联系起来了。在教学中，应帮助学生将
向量代数运算与它的几何意义 联系起来，这样才能运用向量代数性
质更好地刻画几何对象，从而体会代数与几何的联系。
向 量的几何形式和代数形式使它成为中学数学知识的一个交汇
点，成为联系多项初等数学知识的桥梁。尤其 是利用向量将一些几
何元素间的位置关系转化为数量关系，将一些形式逻辑证明转化为
数值计算 ，从而化难为易，化复杂为简单。向量作为新课程的重点
内容之一，已经成为新课程卷高考命题的一个重 点和热点，高考逐
年加大了对向量部分的考查力度。
在教学中，只要我们坚持广泛应用向量方 法的基础，让学生掌
握向量的思想方法，并借助于向量，运用联系的观点、运动观点、
审美的观 点、进行纵横联系，广泛联想，将各部分的数学知识、数
学思想方法进行合理重组和整合，充分展示应用 向量的过程；体现
向量法解题的简单美和结构美，就能充分体现“向量”在提高学生
的数学能力 方面的教学价值。