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重点高中数学论文:巧解外接球
的问题
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2
巧解外接球问题
如果一个多面体的各个顶
点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多
面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外
接球的问题,是立体几何的一个重点,也
是高考考查的一个热点.
考查
学生
的空间想象能力以及化归能力.
研究多面体的外接球
问题,既要运用多面体的知识,又要运用球
的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元
素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在
解题中往往会起到至关重要的作
用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1 (2006年广东高考题)若棱长为3的正方体的顶
点都在同一球面上,则该球的表
面积为______________ .
解析:要求球的表
面积,只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球,所以它的体对
角线正好为球的直径,因此,求球的
半径可转化为先求正方体的体对角线长,再计算半径.
故表面积为
27
?
.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为
24
,则该
球
的体积为______________.
解析:要求球的体积,还是先得求出球的半径,
而球的直径正好是正方体的体对角线,
因此,由正方体表面积可求出棱长,从而求出正方体的体对角线是
23
所以球的半径为
3
.
故该球的体积为
43
?<
br>.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 (2007年天津高考题)一个长方体的
各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三
条棱长分别为
1,2,3
,则此球的表面积
为 .
解析:关键是求出球的半径,因为长方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的
直径。
长方体体对角线长为
14
,故球的表面积为
14
?
.
例4、(2006年全国卷I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,
则
这个球的表面积为( ).
A.
16
?
B.
20
?
C.
24
?
D.
32
?
4302020
3
<
br>解析:正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为
2,因此,
长方体的长、宽、高分别为2,2,4,于是等同于例3,故选C.
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同
9一个球面上,且该六棱柱的体积为
8
,底面周长为3,则这个球的体积为
.
6x?3,
1
?
?
x?,
??
2
?<
br>93
2
?
?
xh,
??
?6?
84
?
h?3.
?
解
设正六棱柱的底面边长为
x
,高为
h
,则有
r?
∴正六
棱柱的底面圆的半径
3
1
d?
2
.∴外接球的半径
2
,球心到底面的距离
R?r
2
?d
2
?1
.
?V
球
?
4
?
3
.
222
小结
本题是运用公式
R?r?d
求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 (2008年福建高考题)
若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为
3
,则其
外接球的表面积是______
_________.
解析:此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,利用直角三角形
计算球
的半径.而作为填空题,我们更想使用较为便捷的方法,所以三条侧棱两两垂直,使我们很
快联想到长方体的一个角,马上构造长方体,且侧棱长均相等,所以可构造正方体模型,如
图1,则<
br>AC=BC=CD?3
,那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线,故所求
表面
积是
9
?
.(如图1)
例3
若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为
3
,则其外接球的表面积是 .
解 据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为
3的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为
R
,
则有
?
2R
?
2
2
?
?
3
??
?
3
?
?
?
3
?
222
?
9
R
2
?
.∴
9
4
.
故其外接球的表面积
S?4
?
R?9
?
.
小结
一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为
a、b、c
,则就
430
2020
4
可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体
对角线的长就是该三棱锥的外接球的直
径.设其外接球的半径为
R
,则有
2R
?a
2
?b
2
?c
2
.
出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。
【原理】:长方体中从一个顶点出
发的三条棱长分别为,则体对角线长为
,几何体的外接球直径为
【例题】:在四面体
体对角线长 即
中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为,
若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。
解:
因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长
所以:四面体外接球的直径为
即:
球的表面积为
所以
的长
例 6 (2003年全国卷)一个四面体的所有棱长都为
2
,四个顶点在
同一球面上,则
4302020
5
A
此球的表面积为( )
B
C
D
A.
3
?
B.
4
?
C.
33
?
D.
6
?
解析:一般解法
,需设出球心,作出高线,构造直角三角形,再计算球的半径.在此,
由于所有棱长都相等,我们联想只
有正方体中有这么多相等的线段,所以构造一个正方体,
再寻找棱长相等的四面体,如图2,四面体A?BDE
满足条件,即
图
AB=AD=AE=BD=DE?BE?2
,
由此可求得正方体的棱长为1,体对角线为
3
,从
而外接球的直径也为
3,所以此球的表面积便可求得,故选A. (如图2)
例7(2006年山东高考题)在等腰梯形
ABCD
中,
AB=2DC=2
,
?DAB=60
,
E
为
0
AB
的中点,将
?ADE
与
?BEC分布沿
ED
、
EC
向上折起,使
A、B
重合于点
P
,则三
棱锥
P-DCE
的外接球的体积为( ).
666
43
???
?
2824
27
A.
B. C. D.
0
?DAB=?CBE=?DEA=60
AE=EB=DC=1
解析:(如图3) 因为,,所以
AD?AE=EB=BC=
DC=DE=CE=1
,即三棱锥
P-DCE
为正四面体,至此,这与
例6就
完全相同了,故选C.
D
C
P
A
E
B
D
E
图
6
C
例8 (2008年浙江高考题)已知球
O
的面上四点A、B、C、D,<
br>DA?平面ABC
,
AB?BC
,
DA=AB=BC=3
,则
球
O
的体积等于 .
4302020
解析:本题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径.而利用长方体模型很快
便可找到球的
直径,由于
DA?平面ABC
,
AB?BC
,联想长方体中的相应线段关系,
构造如图4所示的长方体,又因为
DA=AB=BC=3
,则此长方体为正方体,所以
CD
长
9
?
即为外接球的直径,利用直角三角形解出
CD=
3
.故球
O
的体积等于
2
.(如图4)
2、构造长方体
O
D
A
AB?平面BCD
,
B<
br>C
例9(2008年安徽高考题)已知点A、B、C、D在同一个球面上,
BC?DC<
br>,若
AB?6,AC=213,AD=8
,则球的体积是 .
解析
:首先可联想到例8,构造下面的长方体,于是
AD
为球的直径,O为球心,
图
OB=OC=4
为半径,要求B、C两点间的球面距离,只要求出
?BOC
即可,在
Rt?ABC
中,
4
?
0
?BOC=60
BC=4
3
A
求出,所以,故B、C两点间的球面距离是.(如图5)
O
B
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
D
C
三.多面体几何性质法
4302020
图
7
例2
已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面
积是
A.
16
?
B.
20
?
C.
24
?
D.
32
?
解
设正四棱柱的底面边长为
x
,外接球的半径为
R
,则有
4x?16<
br>,解得
x?2
.
222
2R?2?2?4?26, ?R?6<
br>.∴这个球的表面积是
4
?
R
2
?24
?
.
选C. ∴
2
小结
本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥
S?ABCD
的底面边长和各侧
棱长都为
2
,点
S、A、B、C、D
都在同一球面上,则此球的体积为
.
解 设正四棱锥的底面中心为
O
1
,外接球的球心为
O
,如图1
所示.∴由球的截面的性质,可得
OO
1
?平面ABCD
.
又
SO
1
?平面ABCD
,∴球心
O
必在SO
1
所在的直线上.
A
D
O
1
图3
B
S
C
∴
?ASC
的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的
半径就是外接球的半径.
222
SA?SC?2,AC?2
SA?SC?AC
?ASC
在中,由,得.
∴
?ASC是以AC为斜边的Rt?
.
AC4
?
?1V
球
?
3
.
∴
2
是外接圆的半径,也是外接球的半径.故
小结 根据题意,我们可以选择最佳角
度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截
面圆,于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提
供的这种思路是探求正棱锥外接球
半径的通解通法,该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆,
从而把立体几何问题
转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
五 .确定球心位置法
例5 在矩形
ABCD
中,
AB?4,B
C?3
,沿
AC
将矩形
ABCD
折成一个直二面角
B?AC
?D
,则四面体
ABCD
的外接球的体积为
125125125
???
A.
12
B.
9
C.
6
A
D
C
B
O
图4
4302020
8
125
?
D.
3
解 设矩形
对角线的交点为
O
,则由矩形对角线互相平分,可知
OA?OB?OC?OD
.
∴点
O
到四面体的四个顶点
A、B、C、D
的距离相等,即点O
为四面体的外接球的球心,
R?OA?
如图2所示.∴外接球的半径
5
4125
V
球
?
?
R
3
?
?
2<
br>.故
36
.选C.
出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。
【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。
【例
题】:已知三棱锥的四个顶点都在球
,
解:
因为
所以
在
且<
br>,求球的体积。
,
所以知
所以可得图形为:
中斜边为
,,
,
的球面上,且,,
在
取斜边的中点
在
在
中斜边为
,
中
中
,即为该四面体的外接球的球心
9
所以在几何体中
4302020
所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
四面体是正四面体
外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点,
根据勾股定理知,假设正四面体的边长为时,它的外接球半径为。
4302020
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